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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Gegeben sei die Kurvenschar [mm] f_a(x)=x^4-ax^2 [/mm] a R
a) Gibt es Kurven der Schar [mm] f_a, [/mm] die genau 1 Nullstelle besitzen?
b) Für welche WErte von "a" hat [mm] f_a [/mm] keine lokalen Extrema?
c) Welche Kurve der Schar [mm] f_a [/mm] hat einen Wendepunkt bei [mm] x=\bruch{1}{3}?
[/mm]
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Guten Tag,
ich weiss, dass es sehr viele Aufgaben sind und habe auch sehr viel Zeit. Wenn jemand also auch Zeit hat, würde ich mich freuen, dass er mir hilft.
Ich habe da einige Lösungen, aber möchte die hie rnicht reinschreiben, da es nur verwirrend und falsch ist... =D
Vielen Dank schonmal im Voraus für die Hilfe!
MfG Random.
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Keine Lösung ist verwirrend für uns  . Beim nächsten Mal schreibe deine Ideen bitte hier auf, damit wir sehen können welche Probleme du konkret hast.
Ich gebe dir nun jeweils Anleitungen zu den Aufgaben.
a) Damit überhaupt irgendetwas, was mimt Nullstellen zu tun hat beantworten kann, sollte man zunächst die Nullstellen der Kurvenschar bestimmen. Hier ist das einfach:
[mm]f_{a}(x) = x^{4}-a*x^{2} = 0[/mm]
Wir können nämlich [mm] x^{2} [/mm] ausklammern:
[mm]\gdw x^{2}*\left(x^{2}-a\right)= 0[/mm]
Nun kennen wir die Regel: Links stets ein Produkt aus zwei Termen. Ein Produkt wird 0 (siehe rechte Seite der Gleichung), wenn einer der beiden Faktoren 0 wird. D.h. unsere Aufgabe der Nullstellenbestimmung vereinfacht sich wie folgt:
Fall 1: Erster Faktor wird 0:
(i) [mm]x^{2} = 0 \gdw x = 0[/mm]
Es folgt sofort x = 0. Das heißt, wir haben bei der Kurvenschar stets die Nullstelle x = 0. (Sieht man ja auch: Wenn ich 0 für x in die Kurvenschar einsetze, erhalte ich 0).
Fall 2: Zweiter Faktor wird 0:
(ii) [mm]x^{2} - a = 0 \gdw x^{2} = a \gdw x = \pm\wurzel{a}[/mm]
Wir kennen nun also die Nullstellen: Sie liegen bei
0, [mm] \wurzel{a} [/mm] und [mm] -\wurzel{a}.
[/mm]
Es sind drei Stück. Nun muss man sich (im Sinne der Aufgabenstellung) überlegen, ob wir vielleicht a irgendwie wählen können, dass die beiden hinteren Lösungen wegfallen - und ja: das können wir. Wenn nämlich a negativ ist, existieren die Wurzeln nicht, weil unter Wurzeln nichts negatives stehen darf. Und wenn a = 0 ist, produzieren die Wurzeln auch 0, und somit haben wir auch nur eine Nullstelle.
Also Lösung der Aufgabenstellung: Falls a [mm] \le [/mm] 0, hat die Kurvenschar nur eine Nullstelle.
b) Das Prinzip ist genauso wie bei a). Um die Frage beantworten zu können, sollte man erstmal die Extremstellen in Abhängigkeit von a wissen. Dazu muss man die Funktion ableiten und gleich 0 setzen:
[mm]f_{a}'(x) = 4*x^{3}-2*a*x = 0[/mm]
Wieder selbes Vorgehen: Wir klammern soviel wie möglich aus, um die Regel mit den Faktoren und dem Produkt anwenden zu können:
[mm]\gdw 2x*\left(2*x^{2}-a) = 0[/mm]
Es ergeben sich wie oben die Nullstellen
0, [mm] \wurzel{\bruch{a}{2}}, -\wurzel{\bruch{a}{2}}
[/mm]
Wir sehen also: Falls wir a negativ wählen, gibt es nur eine Extremstelle bei x = 0. (vgl. a))
Die Aufgabe fragt aber, für welches a gar keine lokalen Extremstellen vorliegen. Und dies ist genau für a [mm] \le [/mm] 0 der Fall. Warum? Weil dann die Funktion bei x = 0 kein lokales, sondern sogar ein globales Minimum hat. (sieh dir dazu den Graphen von der Kurvenschar für z.B. a = -1 an) D.h. es ist keine lokale, sondern eine globale Extremstelle.
c) Selbes Prinzip wie oben: Wendestellen in Abhängigkeit von a bestimmen. Diese Wendestelle, die abhängig von a ist, mit [mm] \bruch{1}{3} [/mm] gleichsetzen und nach a umstellen. Probiers aus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Keine Lösung ist verwirrend für uns . Beim nächsten Mal
> schreibe deine Ideen bitte hier auf, damit wir sehen können
> welche Probleme du konkret hast.
> Ich gebe dir nun jeweils Anleitungen zu den Aufgaben.
>
> a) Damit überhaupt irgendetwas, was mimt Nullstellen zu tun
> hat beantworten kann, sollte man zunächst die Nullstellen
> der Kurvenschar bestimmen. Hier ist das einfach:
>
> [mm]f_{a}(x) = x^{4}-a*x^{2} = 0[/mm]
>
> Wir können nämlich [mm]x^{2}[/mm] ausklammern:
>
> [mm]\gdw x^{2}*\left(x^{2}-a\right)= 0[/mm]
>
> Nun kennen wir die Regel: Links stets ein Produkt aus zwei
> Termen. Ein Produkt wird 0 (siehe rechte Seite der
> Gleichung), wenn einer der beiden Faktoren 0 wird. D.h.
> unsere Aufgabe der Nullstellenbestimmung vereinfacht sich
> wie folgt:
>
> Fall 1: Erster Faktor wird 0:
> (i) [mm]x^{2} = 0 \gdw x = 0[/mm]
> Es folgt sofort x = 0. Das
> heißt, wir haben bei der Kurvenschar stets die Nullstelle x
> = 0. (Sieht man ja auch: Wenn ich 0 für x in die
> Kurvenschar einsetze, erhalte ich 0).
>
> Fall 2: Zweiter Faktor wird 0:
> (ii) [mm]x^{2} - a = 0 \gdw x^{2} = a \gdw x = \pm\wurzel{a}[/mm]
>
> Wir kennen nun also die Nullstellen: Sie liegen bei
>
> 0, [mm]\wurzel{a}[/mm] und [mm]-\wurzel{a}.[/mm]
>
> Es sind drei Stück. Nun muss man sich (im Sinne der
> Aufgabenstellung) überlegen, ob wir vielleicht a irgendwie
> wählen können, dass die beiden hinteren Lösungen wegfallen
> - und ja: das können wir. Wenn nämlich a negativ ist,
> existieren die Wurzeln nicht, weil unter Wurzeln nichts
> negatives stehen darf.
> Also Lösung der Aufgabenstellung: Falls a < 0, hat die
> Kurvenschar nur eine Nullstelle.
Ich bin hier mal ein bisschen kleinlich. es ist $a [mm] \in \mathbb{R}$, [/mm] daher darf man den Fall a = 0 nicht übersehen.
Aber ansonsten eine fabelafte Antwort von dir!
MfG
Disap
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Du hast völlig recht, daran hab ich gar nicht gedacht! Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Random |
Vielen Dank! Habe alles perfekt verstanden!
[mm] f''_a(x)=12x^2-2a [/mm] f''_a(x)=0
[mm] 2a=12x^2 [/mm]
[mm] x_1=\wurzel{\bruch{a}{6}} [/mm]
[mm] x_2=-\wurzel{\bruch{a}{6}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}=\wurzel{\bruch{a}{6}}
[/mm]
[mm] a=\bruch{2}{3}
[/mm]
Die Kurvenschar lautet also: [mm] f_a(x)=x^4-\bruch{2}{3}(=a)x^2 [/mm]
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Alles richtig gerechnet
Du müsstest zwar eigentlich noch den zweiten x-Wert [mm] (x_{2}) [/mm] auswerten, aber da kommt dasselbe raus
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