Kurvenlänge einer Wurzelfkt < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Fr 18.12.2009 | | Autor: | n0rdi |
| Aufgabe | | Berechne die Länge des Graphens der Funktion f(x) = [mm]\bruch{1}{12}x^3+\bruch{1}{x}[/mm] für x [mm] \in [/mm] [2;3]. |
Die Länge einer Kurve lässt sich ja "einfach" mit der folgenden Formel berechnen:
[mm]
\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+f'(x)^2} dx}[/mm]
Die Ableitung zu bilden, ist auch kein Problem, das Problem ist eher, wie integriere ich diese Funktion?
Substituieren funktioniert nicht, weil das x nicht im Integral herausfällt:
f(x) = [mm]\bruch{1}{12}x^3+\bruch{1}{x}[/mm]
f'(x) = [mm]\bruch{x^2}{4}-\bruch{1}{x^2}[/mm]
[mm] f'(x)^2=[/mm] [mm]\bruch{x^4}{16}-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{x^4}[/mm]
[mm]\integral_{2}^{3}{\wurzel{\bruch{x^4}{16}+\bruch{1}{x^4}+\bruch{1}{2}} dx}[/mm]
u(x) = [mm]\bruch{x^4}{16}+\bruch{1}{x^4}+\bruch{1}{2}[/mm]
u'(x) = [mm]\bruch{x^3}{4}-\bruch{4}{x^3}[/mm]
[mm]\integral_{2}^{3}{\wurzel{u} \bruch{du}{\bruch{x^3}{4}-\bruch{4}{x^3}}[/mm] = [mm]\integral_{2}^{3}{\bruch{\wurzel{u} * du}{\bruch{x^3}{4}-\bruch{4}{x^3}}[/mm]
Produktintegration ist hier Schwachsinn und Partialbruchzerlegung ebenfalls, da es keine gebrochenrationale Funktion ist.
Wie gehe ich bei diesem Problem an?
Ich danke euch schon einmal im Voraus.
MfG
n0rdi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Fr 18.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt (Binomische Formel)
[mm] \bruch{x^4}{16}+\bruch{1}{x^4}+\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{x^4}{16}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{x^4}
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{x^{2}}{4}+\bruch{1}{x^{2}}\right)^{2}
[/mm]
Also:
[mm] \integral_{2}^{3}\wurzel{\bruch{x^4}{16}+\bruch{1}{x^4}+\bruch{1}{2}}dx
[/mm]
[mm] =\integral_{2}^{3}\wurzel{\left(\bruch{x^{2}}{4}+\bruch{1}{x^{2}}\right)^{2}}dx
[/mm]
[mm] =\integral_{2}^{3}\bruch{x^{2}}{4}+\bruch{1}{x^{2}}dx
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Marius
P.S.: Schau dir mal deine angewandte Binomische Formel an.... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Fr 18.12.2009 | | Autor: | n0rdi |
aah (:
Ich Blindfisch ;)
Ich kann ja einfach die Wurzel aus dem Quadrat ziehen und dann ist diese weg. Ich brauch diese dann ja nicht mehr ausmultiplizieren.
Mh ich habe mich schon gewundert, warum es in der Schule so einfach war^^
danke dir sehr ;)
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