Kurvenlänge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wenn man die Kurve X: [-1,1] [mm] \to \IR^{2} ,X(t)=(t^{2},t^{3}) [/mm] hat und die Länge berechnen möchte , dann gilt wegen der stetigen Differenzierbarkeit von X
L(X) = [mm] \integral_{-1}^{1}{|| X(t)' || dt}=\integral_{-1}^{1}{\wurzel{2t+3t^{2}}dt}.
[/mm]
Wie kann man dann das Integral berechnen? Soll man hier etwas substituiren ?
Ich denke, in Erinnerung zu haben, dass wenn Wurzel beim Integranden steht, dann macht man Substitution mit cosh bzw. sinh .
Ich bin mir aber nicht sicher.
Gruss
Igor
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Hallo Igor,
> Hallo,
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> wenn man die Kurve X: [-1,1] [mm]\to \IR^{2} ,X(t)=(t^{2},t^{3})[/mm]
> hat und die Länge berechnen möchte , dann gilt wegen der
> stetigen Differenzierbarkeit von X
>
> L(X) = [mm]\integral_{-1}^{1}{|| X(t)' || dt}=\integral_{-1}^{1}{\wurzel{2t+3t^{2}}dt}.[/mm]
>
> Wie kann man dann das Integral berechnen? Soll man hier
> etwas substituiren ?
Ja, klammere erstmal [mm]3[/mm] aus und mache quadratische Ergänzung:
[mm]\ldots=\sqrt{3}\int{\sqrt{\left(t+\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{9}} \ dt}[/mm]
Klammere nun noch [mm]\frac{1}{9}[/mm] aus, um eine [mm]-1[/mm] zu erhalten:
[mm]=\frac{1}{\sqrt{3}}\int{\sqrt{(3t+1)^2-1} \ dt}[/mm]
Alles modulo Rechenfehler - also nachrechnen!
Wenn du dann [mm]\int{\sqrt{x^2-1} \ dx}[/mm] lösen kannst, ist dein Integral kein Problem mehr ...
Tipp für das Integral in "Standardform": [mm]x=\cosh(z)[/mm]
Rechne vllt. mal das Standardding durch, dann musst du nur noch leicht abwandeln, um dein Integral zu knacken.
> Ich denke, in Erinnerung zu haben, dass wenn Wurzel beim
> Integranden steht, dann macht man Substitution mit cosh
> bzw. sinh .
Deine Erinnerung trügt dich nicht 
>
> Ich bin mir aber nicht sicher.
>
>
>
> Gruss
> Igor
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Mi 19.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Tach auch!
> Hallo,
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> wenn man die Kurve X: [-1,1] [mm]\to \IR^{2} ,X(t)=(t^{2},t^{3})[/mm]
> hat und die Länge berechnen möchte , dann gilt wegen der
> stetigen Differenzierbarkeit von X
>
> L(X) = [mm]\integral_{-1}^{1}{|| X(t)' || dt}=\integral_{-1}^{1}{\wurzel{2t+3t^{2}}dt}.[/mm]
Müsste das Integral nicht
[mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel{4t^{2}+9t^{4}}dt}
[/mm]
sein?
Ich mein euklidische Norm undso... Oder bin ich grad mal wieder ganz blind?
>
> Wie kann man dann das Integral berechnen? Soll man hier
> etwas substituiren ?
>
> Ich denke, in Erinnerung zu haben, dass wenn Wurzel beim
> Integranden steht, dann macht man Substitution mit cosh
> bzw. sinh .
>
> Ich bin mir aber nicht sicher.
>
>
>
> Gruss
> Igor
>
Grüße!
skoopa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
Stimmt !
Danke !
Das ist alles wegen dem Vollmond  .
Gruss
Igor
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