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Hallo kann mir vielleicht jemand sagen wie ich mit den beiden folgenden Punkten die Länge bestimmen kann. Habe da absolut keine Idee.
Berechnen Sie für die durch die Parameterdarstellung
[mm] \vec{r}(t)=\vektor{a cos (t) \\ a sin (t)\\bt}, 0\le [/mm] t [mm] \le 2\pi [/mm] gegebene Spirale die Länge der Kurve zwischen den Punkten
[mm] P_1=\vec{r}(t=0)=(a,0,0) [/mm] und [mm] P_2=\vec{r}(t=2\pi)=(a,0,2\pi [/mm] b)
Danke für Eure Hilfe.
Liebe Grüsse Jessy
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Hallo Jessy,
> Hallo kann mir vielleicht jemand sagen wie ich mit den
> beiden folgenden Punkten die Länge bestimmen kann. Habe da
> absolut keine Idee.
>
> Berechnen Sie für die durch die Parameterdarstellung
> [mm]\vec{r}(t)=\vektor{a cos (t) \\
a sin (t)\\
bt}, 0\le[/mm] t [mm]\le 2\pi[/mm]
> gegebene Spirale die Länge der Kurve zwischen den Punkten
> [mm]P_1=\vec{r}(t=0)=(a,0,0)[/mm] und [mm]P_2=\vec{r}(t=2\pi)=(a,0,2\pi[/mm] b)
Na, du sollst die Bogenlänge berechnen, die Grenzen des zu berechnenden Integrals sind ja angegeben: untere: [mm]t=0[/mm], obere [mm]t=2\pi[/mm]
Wie lautet die Formel für die Bogenlänge?
Nachschlagen!
>
> Danke für Eure Hilfe.
> Liebe Grüsse Jessy
Gruß
schachuzipus
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So habe die Formel gefunden.
[mm] \integral_{0}^{2\pi} {\wurzel {(\bruch{dx(t)}{dt})^2+(\bruch{dy(t)}{dt})^2+(\bruch{dz(t)}{dt})^2{}} dt}
[/mm]
Also muss ich erstmal x,y und z von [mm] \vec{r}(t) [/mm] ableiten oder?
Liebe Grüsse Jessy
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Hallo jessy1985,
> So habe die Formel gefunden.
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} {\wurzel {(\bruch{dx(t)}{dt})^2+(\bruch{dy(t)}{dt})^2+(\bruch{dz(t)}{dt})^2{}} dt}[/mm]
>
> Also muss ich erstmal x,y und z von [mm]\vec{r}(t)[/mm] ableiten
> oder?
Ja.
> Liebe Grüsse Jessy
Gruss
MathePower
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Ok danke. Also ergibt sich [mm] \bruch{d\vec{r}}{dt}= \vektor{-asin(t) \\ acos(t)\\ t}
[/mm]
Ist das richtig?
Liebe Grüsse jessy
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Hallo nochmal,
> Ok danke. Also ergibt sich [mm]\bruch{d\vec{r}}{dt}= \vektor{-asin(t) \\
acos(t)\\
t}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Fast, die Ableitung der 3. Komponente solltest du nochmal prüfen ...
> Liebe Grüsse jessy
Zurück ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
schachuzipus
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Danke. Das müsste b sein.Das setze ich nun einfach in die Formel ein und erhalte: [mm] \wurzel{a^2sin^2 t + a^2 cos^2 t +b^2}= \wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
Liege ich da falsch?
Liebe Grüsse Jessy
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Hallo jessy1985,
> Danke. Das müsste b sein.Das setze ich nun einfach in die
> Formel ein und erhalte: [mm]\wurzel{a^2sin^2 t + a^2 cos^2 t +b^2}= \wurzel{a^2+b^2}[/mm]
>
> Liege ich da falsch?
Da liegst Du goldrichtig.
> Liebe Grüsse Jessy
Gruss
MathePower
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Super danke! :)
Das ist aber eine Konstante die vor dem Integral stehen kann oder? Somit würde nach dem Integral doch nur 1dt stehen und das wäre mit den Grenzen eingesetzt 2 [mm] \pi [/mm] - 0. Und insgesamt wäre die Länge [mm] \wurzel{a^2+b^2} 2\pi
[/mm]
Liebe Grüsse
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Hallo jessy1985,
> Super danke! :)
> Das ist aber eine Konstante die vor dem Integral stehen
> kann oder? Somit würde nach dem Integral doch nur 1dt
Ja, das ist richtig.
> stehen und das wäre mit den Grenzen eingesetzt 2 [mm]\pi[/mm] - 0.
> Und insgesamt wäre die Länge [mm]\wurzel{a^2+b^2} 2\pi[/mm]
Auch das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Liebe
> Grüsse
Gruss
MathePower
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Danke für eure Hilfe.
So weit so gut aber warum wurden die Werte der Punkte für t=0 und [mm] t=2\pi [/mm] angegeben. Die Punkte waren für das Lösen der Aufgabe ja nicht wirklich von Bedeutung.
Liebe Grüsse
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Hallo jessy1985,
> Danke für eure Hilfe.
> So weit so gut aber warum wurden die Werte der Punkte für
> t=0 und [mm]t=2\pi[/mm] angegeben. Die Punkte waren für das Lösen
> der Aufgabe ja nicht wirklich von Bedeutung.
Ja.
> Liebe Grüsse
Gruss
MathePower
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