matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisKurvenkrümmung + implizite Fkt
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Analysis" - Kurvenkrümmung + implizite Fkt
Kurvenkrümmung + implizite Fkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kurvenkrümmung + implizite Fkt: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:51 Di 05.07.2005
Autor: Faenol

Hi Leuds !

Hab hier ne Aufgabe, dir mir eigentlich ganz verständlich ist, aber ich mir sehr unsicher bin, ob meine Gedanken so stimmen.

Gegeben ist irgendeine Funktion f(x,y), welche auf ein Polynom in zwei Variablen abbildet, es gelte grad [mm] f(x_0,y_0) \not=0 [/mm] für alle [mm] (x_0, y_0) [/mm] mit [mm] f(x_0, y_0)=0. [/mm]

Nun sei c: [mm] I\to \IR^2 [/mm] eine reguläre Kurve, mit |c'(t)|=1, sodass f(c(t))=0 für alle t [mm] \in [/mm] I gilt. Ich soll nun den Krümmungsradius von c in einem Punkte [mm] c_0 [/mm] := [mm] c(t_0) [/mm] als Funktion von f und seinen partiellen Ableitungen im Punkte [mm] c_0 [/mm]  bestimmen !

Ich muss also [mm] c(t_0)' [/mm] und [mm] c(t_0)'' [/mm] wissen, dann die Determinante davon und ich wäre fertig...

Definiere ich erstmal c(t)=(h(t),m(t))

Also aus den Bedindungen folgt ja, dass f in allen Punkten der Kurve lokal umkehrbar ist (bzw. in diesem Intervall I ist die Funktion f eine Kurve) , da ja f(c(t))=0 und  grad [mm] f(c(t))\not=0 [/mm] gilt. Also existiert für f eine Funktion [mm] g(x_0)=y_0 [/mm] mit f(x,g(x))=0

### So bisher müsste es richtig sein ###

Dann müßte das ja auch für die Kurve gelten !
[mm] f(c_0)=f(c(t_0))=f((h(t_0),g(h(t_0)))=0 [/mm]

Weiter gilt für f
g'=- [mm] \bruch{f_x(x_0,y_0)}{f_y(x_0,y_0)} [/mm]

bzw. also [mm] g'(h(t_0))=- \bruch{f_x(c_0)}{f_y(c_0)} [/mm]

bzw. das ganze Spiel könnte ich auf x machen:

Also wäre [mm] c'(t_0)= \vektor{ - \bruch{f_y(c_0)}{f_x(c_0)} \\ - \bruch{f_x(c_0)}{f_y(c_0)} } [/mm]

Wäre das bisher richtig ? Oder hab ich [mal wieder] alles falsch angepackt bzw. zu kompliziert gedacht ?

Bitte um Rat bzw. Vorschläge ! Danke

Faenôl

        
Bezug
Kurvenkrümmung + implizite Fkt: Vorgehensweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Di 05.07.2005
Autor: MathePower

Hallo Faenol,

> Gegeben ist irgendeine Funktion f(x,y), welche auf ein
> Polynom in zwei Variablen abbildet, es gelte grad
> [mm]f(x_0,y_0) \not=0[/mm] für alle [mm](x_0, y_0)[/mm] mit [mm]f(x_0, y_0)=0.[/mm]
>
> Nun sei c: [mm]I\to \IR^2[/mm] eine reguläre Kurve, mit |c'(t)|=1,
> sodass f(c(t))=0 für alle t [mm]\in[/mm] I gilt. Ich soll nun den
> Krümmungsradius von c in einem Punkte [mm]c_0[/mm] := [mm]c(t_0)[/mm] als
> Funktion von f und seinen partiellen Ableitungen im Punkte
> [mm]c_0[/mm]  bestimmen !

Die Formel für den Krümmungsradius einer expliziten Funktion y=f(x) ist ja bekannt.

>  
> Ich muss also [mm]c(t_0)'[/mm] und [mm]c(t_0)''[/mm] wissen, dann die
> Determinante davon und ich wäre fertig...


>  
> Definiere ich erstmal c(t)=(h(t),m(t))

Also f(c(t)) = f(h(t), m(t)).

>

> Also aus den Bedindungen folgt ja, dass f in allen Punkten
> der Kurve lokal umkehrbar ist (bzw. in diesem Intervall I
> ist die Funktion f eine Kurve) , da ja f(c(t))=0 und  grad
> [mm]f(c(t))\not=0[/mm] gilt. Also existiert für f eine Funktion
> [mm]g(x_0)=y_0[/mm] mit f(x,g(x))=0
>
> ### So bisher müsste es richtig sein ###
>  
> Dann müßte das ja auch für die Kurve gelten !
>  [mm]f(c_0)=f(c(t_0))=f((h(t_0),g(h(t_0)))=0[/mm]
>  
> Weiter gilt für f
>  g'=- [mm]\bruch{f_x(x_0,y_0)}{f_y(x_0,y_0)}[/mm]
>  
> bzw. also [mm]g'(h(t_0))=- \bruch{f_x(c_0)}{f_y(c_0)}[/mm]
>  
> bzw. das ganze Spiel könnte ich auf x machen:
>  
> Also wäre [mm]c'(t_0)= \vektor{ - \bruch{f_y(c_0)}{f_x(c_0)} \\ - \bruch{f_x(c_0)}{f_y(c_0)} }[/mm]
>  
> Wäre das bisher richtig ? Oder hab ich [mal wieder] alles
> falsch angepackt bzw. zu kompliziert gedacht ?

Das wird wohl auf die Bestimmung sämtlicher Ableitungen von f( x(t), y(x(t)) )=0 hinauslaufen.

Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
Kurvenkrümmung + implizite Fkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Di 05.07.2005
Autor: leduart

Hallo Faenol> Gegeben ist irgendeine Funktion f(x,y), welche auf ein
> Polynom in zwei Variablen abbildet, es gelte grad
> [mm]f(x_0,y_0) \not=0[/mm] für alle [mm](x_0, y_0)[/mm] mit [mm]f(x_0, y_0)=0.[/mm]
>
> Nun sei c: [mm]I\to \IR^2[/mm] eine reguläre Kurve, mit |c'(t)|=1,
> sodass f(c(t))=0 für alle t [mm]\in[/mm] I gilt. Ich soll nun den
> Krümmungsradius von c in einem Punkte [mm]c_0[/mm] := [mm]c(t_0)[/mm] als
> Funktion von f und seinen partiellen Ableitungen im Punkte
> [mm]c_0[/mm]  bestimmen !
>  
> Ich muss also [mm]c(t_0)'[/mm] und [mm]c(t_0)''[/mm] wissen, dann die
> Determinante davon und ich wäre fertig...

Wieso die Determinante davon?  die Krümmung einer Kurve, die nach der Bogenlänge parametrisiert ist ist
k=|c''|

> Definiere ich erstmal c(t)=(h(t),m(t))

das ist für mich zu ungewohnt, lieber C=  [mm] \vektor{x(t) \\ y(t)} [/mm]
wegen C'=1 hat man dann gleich die
erste Gleichung x'^{2}+y'^{2}=1

> Also aus den Bedindungen folgt ja, dass f in allen Punkten
> der Kurve lokal umkehrbar ist (bzw. in diesem Intervall I
> ist die Funktion f eine Kurve) , da ja f(c(t))=0 und  grad
> [mm]f(c(t))\not=0[/mm] gilt. Also existiert für f eine Funktion
> [mm]g(x_0)=y_0[/mm] mit f(x,g(x))=0

ich weiss nicht zuwas man g braucht.

>
> ### So bisher müsste es richtig sein ###
>  
> Dann müßte das ja auch für die Kurve gelten !
>  [mm]f(c_0)=f(c(t_0))=f((h(t_0),g(h(t_0)))=0[/mm]

Hab ich auch, nur bei mir f(x(t),y(t))=0 und damit gleich die 2. Gleichung:
[mm] f_{x}*x' [/mm] + [mm] f_{y}*y'=0 [/mm]             und von oben
x'^{2}+y'^{2}=1
daraus x'^(2) und y'^{2} berechnen  
x'^(2 = [mm] \bruch{f_{y}^{2}}{f_{y}^{2}+f_{x}^{2}} [/mm]
das noch mal differenzieren ergibt 2x'x'' nach x''^{2} auflösen bzw x'^{2} wieder einsetzen, dasselbe mit y'' und du hast als Summe das Quadrat der Krümmung

Das folgende ist, wie du ja an obigen siehst, einfach falsch  

> Weiter gilt für f
>  g'=- [mm]\bruch{f_x(x_0,y_0)}{f_y(x_0,y_0)}[/mm]
>  
> bzw. also [mm]g'(h(t_0))=- \bruch{f_x(c_0)}{f_y(c_0)}[/mm]
>  
> bzw. das ganze Spiel könnte ich auf x machen:
>  
> Also wäre [mm]c'(t_0)= \vektor{ - \bruch{f_y(c_0)}{f_x(c_0)} \\ - \bruch{f_x(c_0)}{f_y(c_0)} }[/mm]
>  
> Wäre das bisher richtig ? Oder hab ich [mal wieder] alles
> falsch angepackt bzw. zu kompliziert gedacht ?

eher zu einfach. Vielleicht hast du einfach nicht richtig gesehen, dass f(x,y)=c eine Höhenlinie also eine Kurve ist, und bist deshalb in die falsche Richtung marschiert. du hast z.Bsp die Vors. c'=1 gar nicht benutzt, und daran merkt man dann, dass man in der falschen Richtung läuft.

Bezug
                
Bezug
Kurvenkrümmung + implizite Fkt: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Mi 06.07.2005
Autor: Faenol

Hi !

Also wir haben die Krümmung allgemein einer Kurve so definiert !

K= [mm] \bruch{det(c'(t) c''(t))}{|c'(t)|^3} [/mm]

Vielleicht magst du Recht haben, weil hier |c'(t)|=1 gilt und daraus dann:

c''(t)=K(Kreuz c'(t)) folgt, aber allgemein stimmt die Formel auf jeden Fall !

Ja, mit dem |c'(t)|=1 hast du wirklich Recht ! Mir hat das irgendwie auch zu Denken gegeben, dass ich das nicht miteinbezogen habe!

Die beiden Gleichungen habe ich auch und auch das selbe Ergebnis, aber die Gleichung dann erneut ableiten, ist das nicht bissle umständlich ?

Ich habs gemacht, komm da aber nicht wirklich auf etwas ! Da lässt sich doch nichts vereinfachen...

[mm] 2*x'*x''=\bruch{2*f_y*(f_{yx}*x'+f_{yy}*y')*(f_y^2+f_x^2)}{(f_y^2+f_x^2)^2}-\bruch{(2*f_y*(f_{yx}*x'+f_{yy}*y')+2*f_x*(f_{xx}*x'+f_{xy}*y'))*f_y^2}{(f_y^2+f_x^2)^2} [/mm]

[mm] x'*x''=\bruch{f_y*(f_{yx}*x'+f_{yy}*y')*f_x^2}{(f_y^2+f_x^2)^2}-\bruch{f_x*(f_{xx}*x'+f_{xy}*y')*f_y^2}{(f_y^2+f_x^2)^2} [/mm]

bzw. [mm] x'*x''=\bruch{y'*f_y*(f_{yx}*x'+f_{yy}*y')-x'*f_x*(f_{xx}*x'+f_{xy}*y')}{f_y^2+f_x^2} [/mm]

bzw. für y analog (da symetrisch) (y durch x ersetzen)

Wie komme ich da nun auf etwas "sinnvolles" ?

Gruß

Faenôl

Bezug
                        
Bezug
Kurvenkrümmung + implizite Fkt: zu lang
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 Mi 06.07.2005
Autor: leduart

Hallo Faenol
Du hast recht. Ich hatte da aufgehört, wo ich dir geschrieben habe, und gedacht, das Rezept geht einfach weiter. Im Moment seh ich aber auch keine gute Vereinfachung. Ich überleg noch mal
Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Kurvenkrümmung + implizite Fkt: besserer Weg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 Do 07.07.2005
Autor: leduart

Hallo
Ich hab mich schlau gemacht, und jetzt einen besseren Vorschlag: wir hatten: 0.  x'^{2}+y'^{2}=1
1.  x'x''+y'y''=0   Und
2.  [mm] f_{x}x'+f_{y}y'=0 [/mm]  daraus   (x'',y'') proportional [mm] (f_{x},f_{y}) [/mm] und damit:
[mm] \bruch{f_{x}x''+f_{y}y''}{\wurzel{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}} [/mm] =|(x'',y'')|=k bis aufs Vorzeichen
andererseits  2. noch mal nach t differenziert:
[mm] f_{xx}x'^{2}+f_{xy}x'y'+f_{x}x'' +f_{yx}y'x'+f_{yy}y'^{2}+f_{y}y''=0 [/mm]

darin einsetzen [mm] x'y'=-\bruch{f_{x})(f_{y})*x'^{2}} [/mm] und [mm] x'^{2}=\bruch{f_{y}^{2}}{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}} [/mm]
dann auflösen nach [mm] f_{x}x''+f_{y}y'' [/mm] und du bist fertig.
Ich hab nur das Formelschreiben satt!
Gruss leduart



Bezug
                
Bezug
Kurvenkrümmung + implizite Fkt: Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:59 So 10.07.2005
Autor: SOCMarcel

Hallo,

ich habe die gleiche Aufgabe gehabt. ;-)

> > Dann müßte das ja auch für die Kurve gelten !
>  >  [mm]f(c_0)=f(c(t_0))=f((h(t_0),g(h(t_0)))=0[/mm]
>  Hab ich auch, nur bei mir f(x(t),y(t))=0 und damit gleich
> die 2. Gleichung:
>  [mm]f_{x}*x'[/mm] + [mm]f_{y}*y'=0[/mm]             und von oben
>   x'^{2}+y'^{2}=1
>  daraus x'^(2) und y'^{2} berechnen  
> x'^(2 = [mm]\bruch{f_{y}^{2}}{f_{y}^{2}+f_{x}^{2}}[/mm]
>  das noch mal differenzieren ergibt 2x'x'' nach x''^{2}
> auflösen bzw x'^{2} wieder einsetzen, dasselbe mit y'' und
> du hast als Summe das Quadrat der Krümmung

Für was steht eigentlich [mm]f_{x}*x'[/mm] + [mm]f_{y}*y'=0[/mm] ?
Und wieso folgt das aus der Tatsache, dass f(x(t),y(t))=0 gilt?

Gruß
Marcel

Bezug
                        
Bezug
Kurvenkrümmung + implizite Fkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:11 Di 12.07.2005
Autor: leduart

Hallo> Hallo,
> Für was steht eigentlich [mm]f_{x}*x'[/mm] + [mm]f_{y}*y'=0[/mm] ?

das ist einfach [mm] \bruch{df}{dt} [/mm] und Kettenregel

>  Und wieso folgt das aus der Tatsache, dass f(x(t),y(t))=0
> gilt?

es folgt auch, wenn f=const ist
Gruss leduart

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]