Kurvenintegrale < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo sehr geehrter Matheraum.
Ich habe leider ein Verständnisproblem mit folgender Aufgabe:
Sei [mm] \vec{\gamma}:[0,9\pi] \to \IR^3, [/mm] t [mm] \mapsto [/mm] (cos t, sin t, t) und [mm] \vec{F}:\IR^3 \to \IR^3, [/mm] (x,y,z) [mm] \mapsto (y^2,2xy+z^2,2yz).
[/mm]
Berechnet werden, sollen folgende Integrale:
a) [mm] \integral_{\vec{\gamma}}^{}{f ds}, [/mm] wobei [mm] f(\vec{x})=x_1x_3^2
[/mm]
und b) [mm] \integral_{\vec{\gamma}}^{}{\vec{F} \vec{ds}}
[/mm]
leider versteh ich nicht den Zusammenhang der Aufgabenstellung und dem Aufgabenteil a)... Könntet ihr mir hierzu eventuell einen Tipp geben?
b) dürfte kein Problem sein. Erst ein Potential bestimmen und anschließend das Integral berechnen...
Nur a) bereitet mir Kopfschmerzen.
mfg dodo4ever
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Di 17.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo sehr geehrter Matheraum.
>
> Ich habe leider ein Verständnisproblem mit folgender
> Aufgabe:
>
> Sei [mm]\vec{\gamma}:[0,9\pi] \to \IR^3,[/mm] t [mm]\mapsto[/mm] (cos t, sin
> t, t) und [mm]\vec{F}:\IR^3 \to \IR^3,[/mm] (x,y,z) [mm]\mapsto (y^2,2xy+z^2,2yz).[/mm]
>
> Berechnet werden, sollen folgende Integrale:
>
> a) [mm]\integral_{\vec{\gamma}}^{}{f ds},[/mm] wobei
> [mm]f(\vec{x})=x_1x_3^2[/mm]
>
> und b) [mm]\integral_{\vec{\gamma}}^{}{\vec{F} \vec{ds}}[/mm]
>
> leider versteh ich nicht den Zusammenhang der
> Aufgabenstellung und dem Aufgabenteil a)... Könntet ihr
> mir hierzu eventuell einen Tipp geben?
[mm] \integral_{\vec{\gamma}}^{}{f ds}=\integral_{0}^{9 \pi}{f(\gamma(t))*| \gamma'(t)|dt}
[/mm]
FRED
>
> b) dürfte kein Problem sein. Erst ein Potential bestimmen
> und anschließend das Integral berechnen...
>
> Nur a) bereitet mir Kopfschmerzen.
>
> mfg dodo4ever
|
|
|
| |
|
Hallo fred und danke für deine Zeit und Hilfe...
Ich möchte nun zur vollständigkeit halber noch das ganze zu Ende bringen...
zu a) (Schreibweise ist notiert und wird nicht mehr vergessen (DANKE!!!)):
Es gilt somit:
[mm] \integral_{\vec{\gamma}}^{}{f ds}=\integral_{0}^{9\pi}{f(\gamma(t)) \cdot |\gamma'(t)| dt}
[/mm]
Wobei [mm] f(\gamma(t))=cost \cdot t^2 [/mm] und [mm] \gamma'(t)=(-sint, [/mm] cost, 1)
Somit gilt:
[mm] \integral_{\vec{\gamma}}^{}{f ds}=\integral_{0}^{9\pi}{f(\gamma(t)) \cdot |\gamma'(t)| dt}=\integral_{0}^{9\pi}{cost \cdot t^2 \cdot \wurzel{2}}=\wurzel{2} \cdot \integral_{0}^{9\pi}{cost \cdot t^2} [/mm] dt
Es ergibt sich demnach:
[mm] {\integral_{\gamma}{f ds}={\wurzel{2}} \cdot {|t^2 \cdot sint - 2 \cdot sint + 2 \cdot t \cdot cost|_0^{9\pi}}}=-{\wurzel{2} \cdot 2 \cdot 9\pi}-0=-{\wurzel{2} \cdot 18\pi}
[/mm]
mfg dodo4ever
|
|
|
| |
|
Hallo dodo4ever,
-> Hallo fred und danke für deine Zeit und Hilfe...
>
> Ich möchte nun zur vollständigkeit halber noch das ganze
> zu Ende bringen...
>
> zu a) (Schreibweise ist notiert und wird nicht mehr
> vergessen (DANKE!!!)):
>
> Es gilt somit:
>
> [mm]\integral_{\vec{\gamma}}^{}{f ds}=\integral_{0}^{9\pi}{f(\gamma(t)) \cdot |\gamma'(t)| dt}[/mm]
>
> Wobei [mm]f(\gamma(t))=cost \cdot t^2[/mm] und [mm]\gamma'(t)=(-sint,[/mm]
> cost, 1)
>
> Somit gilt:
>
> [mm]\integral_{\vec{\gamma}}^{}{f ds}=\integral_{0}^{9\pi}{f(\gamma(t)) \cdot |\gamma'(t)| dt}=\integral_{0}^{9\pi}{cost \cdot t^2 \cdot \wurzel{2}}=\wurzel{2} \cdot \integral_{0}^{9\pi}{cost \cdot t^2}[/mm]
> dt
>
> Es ergibt sich demnach:
>
> [mm]{\integral_{\gamma}{f ds}={\wurzel{2}} \cdot {|t^2 \cdot sint - 2 \cdot sint + 2 \cdot t \cdot cost|_0^{9\pi}}}=-{\wurzel{2} \cdot 2 \cdot 9\pi}-0=-{\wurzel{2} \cdot 18\pi}[/mm]
>
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> mfg dodo4ever
Gruss
MathePower
|
|
|
|
