Kurvenintegrale < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:41 Fr 11.11.2005 | | Autor: | etechie |
Hi,
ich habe heir eine Aufgabe, bei der ich zwar glaube den Ansatz richtig gemacht zu haben, aber es erscheint mir komisch, dass ich das Integral nicht lösen kann. Wäre nett, wenn das mal jemand überprüfen könnte... Danke
Aufgabe:
Es sei [mm] C:=\{(\cos^3 t, sin^3 t) | 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\} [/mm] mit Anfangspunkt (1,0) und Endpunkt (0,1).
Berechnen Sie das Integral [mm] \int_C [(e^x \sin y + 2y \sin x) dx + (e^x \cos y -2 \cos x) dy][/mm]
Mein Ansatz:
[mm]x=\cos^3(t)[/mm]
[mm]y=sin^3(t)[/mm]
[mm]x'=-3 \sin(t) \cos^2(t)[/mm]
[mm]y'=3 \sin^2(t) \cos(t)\[/mm]
[mm]v_1=e^x \sin y + 2y \sin x[/mm]
[mm]v_2=e^x \cos y -2 \cos x[/mm]
Dann würde sich ergeben:
[mm]\int_0^{\frac{\pi}{2}}v_1 \cdot x' + v_2 \cdot y' dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}}-3 \sin(t) \cos^2(t) e^{cos^3(t)} \sin(\sin^3(t)) - 6 \sin(t) \cos^2(t) \sin^3(t) \sin(\cos^3(t)) + 3 \sin^2(t) \cos(t) e^{\cos^3(t)} \cos(\sin^3(t))-6 \cos(\cos^3(t)) \sin^2(t) \cos(t) dt[/mm]
Das ist dochmal nen netter Ausdruck. Leider bin ich hier mit meiner Integrationskust am Ende. Kettenregel wird mich nicht weiter bringen und eine Substitution mit [mm]\cos^3(t)[/mm] verläuft ebenso im Sande.
Ich habe auch versucht das gegebene Integral nach dx und dy zu lösen und als Grenzen x=1,y=0 und x=0,y=1 einzuseten, doch der Wert den ich dann erhalte weicht deutlich von der Lösung ab, die ich erhalte wenn ich meinen ersten Lösungsansatz vom Taschenrechner numerisch lösen lasse. Interessanterweise unterscheiden sich die beiden Ergbnisse genau um den Faktor 2.
Wo liegt mein Fehler oder wie komme ich jetzt weiter zum Ergebnis?
Vielen Dank für eure Hilfe
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
|
|
| |
|
Beachte, daß die Differentialform
[mm]\omega \ = \ \left( \operatorname{e}^x \sin{y} + 2y \sin{x} \right) \, \mathrm{d}x + \left( \operatorname{e}^x \cos{y} - 2 \cos{x} \right) \, \mathrm{d}y[/mm]
exakt ist. Mit ganz wenig Probieren findet man nämlich in
[mm]F = F(x,y) = \operatorname{e}^x \sin{y} - 2y \cos{x}[/mm]
eine Stammfunktion:
[mm]\omega = \mathrm{d}F[/mm]
Das Integral ist damit wegunabhängig und nur durch den Anfangs- und Endpunkt der Kurve festgelegt.
[mm]\int_{C}^{}~\omega \ = \ F(0,1) - F(1,0)[/mm]
Und das war's.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 So 13.11.2005 | | Autor: | etechie |
Wenn man weiß, dass das geht kann man die ganzen Formeln aus dem Script sogar so zusammenwürfeln, dass man darauf kommt.
Vielen Dank für diesen Denkanstoß!
|
|
|
|
