Kurvenintegral über Geschl.Geb < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] \integral_{C}{\underline{F} (\underline{x}) d\underline{x}} [/mm] , wenn [mm] \underline{F} (\underline{x})= (x^{2}-2xy [/mm] , [mm] x^{2}y+3) [/mm] und C der Rand des Gebietes G [mm] \subset \IR^{2} [/mm] ist, das durch [mm] y^{2}=8x [/mm] und x=2 berandet wird.
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Guten Abend,
da [mm] \underline{F} [/mm] kein Potentialfeld ist, ist das Kurvenintegral schonmal nicht 0 .
Wie gehe ich bei solch einem Geschlossenen Gebiet vor?
Die Parametrisierung:
[mm] \underline{x}(t)= \bruch{1}{8}t^{2} [/mm] , t
[mm] \underline{x'}(t)= \bruch{1}{4}t [/mm] , 1
-4 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 4
[mm] \integral_{-4}^{4}{\underline{F}(\underline{x}(t))*\underline{x'}(t) dt}
[/mm]
liefert mir ja nur das Kurvenintegral über die Parabel und nicht über das geschlossene Gebiet.
Kann ich jetzt einfach ein 2. Integral mit der Geraden x=2 addieren oder bin ich da auf dem total falschen weg?
Danke für eure Hilfe
Grüße
Daniel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo schlimmer_finger,
> Berechnen Sie [mm]\integral_{C}{\underline{F} (\underline{x}) d\underline{x}}[/mm]
> , wenn [mm]\underline{F} (\underline{x})= (x^{2}-2xy[/mm] ,
> [mm]x^{2}y+3)[/mm] und C der Rand des Gebietes G [mm]\subset \IR^{2}[/mm]
> ist, das durch [mm]y^{2}=8x[/mm] und x=2 berandet wird.
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> Guten Abend,
> da [mm]\underline{F}[/mm] kein Potentialfeld ist, ist das
> Kurvenintegral schonmal nicht 0 .
> Wie gehe ich bei solch einem Geschlossenen Gebiet vor?
>
> Die Parametrisierung:
>
> [mm]\underline{x}(t)= \bruch{1}{8}t^{2}[/mm] , t
>
> [mm]\underline{x'}(t)= \bruch{1}{4}t[/mm] , 1
>
> -4 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 4
>
> [mm]\integral_{-4}^{4}{\underline{F}(\underline{x}(t))*\underline{x'}(t) dt}[/mm]
>
> liefert mir ja nur das Kurvenintegral über die Parabel und
> nicht über das geschlossene Gebiet.
> Kann ich jetzt einfach ein 2. Integral mit der Geraden x=2
> addieren oder bin ich da auf dem total falschen weg?
>
Der Weg ist schon richtig.
Wenn Du Dir eine Skizze machst, dann siehst Du,
daß Du 3 verschiedene Wege hast:
[mm]\gamma_{1}: \left(0,0\right) \to \left(2,4\right)[/mm]
[mm]\gamma_{2}: \left(2,4\right) \to \left(2,-4\right)[/mm]
[mm]\gamma_{3}: \left(2,-4\right) \to \left(0,0\right)[/mm]
Um das Integral jetzt über den Rand zu berechnen,
mußt Du das Integral über alle Wege bilden und diese dann addieren.
[mm]\integral_{C}{\underline{F} (\underline{x}) \ d\underline{x}}=\integral_{\gamma}^{}{\underline{F}(\gamma(t))*\gamma'}(t) \ dt}[/mm]
[mm]=\integral_{\gamma_{1}}^{}{\underline{F}(\gamma_{1}(t))*\gamma_{1}'(t) \ dt}+\integral_{\gamma_{2}}^{}{\underline{F}(\gamma_{2}(t))*\gamma_{2}'(t) \ dt}+\integral_{\gamma_{3}}^{}{\underline{F}(\gamma_{3}(t))*\gamma_{3}'(t) \ dt}[/mm]
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> Danke für eure Hilfe
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> Grüße
> Daniel
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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>
Gruß
MathePower
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kann ich hier nicht einfach sagen, dass es 0 sein wird, da mein Vektorfeld meine Kurve nicht durchdringt?
Danke euch!
Grüße Daniel
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Hallo schlimmer_finger,
> kann ich hier nicht einfach sagen, dass es 0 sein wird, da
> mein Vektorfeld meine Kurve nicht durchdringt?
Nein.
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> Danke euch!
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MathePower
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