Kurvenintegral (pos.Einheitsk) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Di 23.11.2010 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | Berechnen das Kurvenintegral
[mm] \bruch{1}{2*(\pi)*j} [/mm] * [mm] \integral_{}^{}{\bruch{e^z - e^(-z)}{z^4} dz}
[/mm]
für den positiv orientierten Einheitskreis |
Hi, habe mal wieder eine Frage:
[mm] \bruch{1}{2 *(\pi)*j} [/mm] * [mm] \integral_{}^{}{\bruch{e^z - e^{-z}}{z^4} dz} [/mm] =
= [mm] \bruch{1}{2*(\pi)*j} [/mm] * [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2z}{z^4} - \bruch{2z^3}{6z^4} -.... dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*(\pi)*j} [/mm] * [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{3z} dz}=..
[/mm]
Danach wird der Residuensatz angewendet.
Prinzipiell ist mir das klar! (Also die Allgemeine Vorgehensweise, ABER!)
Aber:
was mir nicht klar ist, wie man diesen Ausdruck [mm] \bruch{e^z - e^{-z}}{z^4} [/mm] in die soeben beschriebene Form bekommt .....
Das was ich hier zeige ist also die vorgegebene Lösung.
Kann mir hier einmal jemand helfen? Die Umformung kann ich überhaupt nicht nachvollziehen.
Ich bedanke mich für eure Hilfe!
Gruss
Björn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen das Kurvenintegral
> [mm]\bruch{1}{2*(\pi)*j}[/mm] * [mm]\integral_{}^{}{\bruch{e^z - e^(-z)}{z^4} dz}[/mm]
>
> für den positiv orientierten Einheitskreis
>
> Hi, habe mal wieder eine Frage:
>
> [mm]\bruch{1}{2 *(\pi)*j}[/mm] * [mm]\integral_{}^{}{\bruch{e^z - e^{-z}}{z^4} dz}[/mm]
> =
>
> = [mm]\bruch{1}{2*(\pi)*j}[/mm] * [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2z}{z^4} - \bruch{2z^3}{6z^4} -.... dz}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2*(\pi)*j}[/mm] * [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{3z} dz}=..[/mm]
>
> Danach wird der Residuensatz angewendet.
>
> Prinzipiell ist mir das klar! (Also die Allgemeine
> Vorgehensweise, ABER!)
>
> Aber:
>
> was mir nicht klar ist, wie man diesen Ausdruck [mm]\bruch{e^z - e^{-z}}{z^4}[/mm]
> in die soeben beschriebene Form bekommt .....
Mir ist das auch nicht [mm] klar.+e^{-z}
[/mm]
Edit: jetzt ist mirs klar. Pardon , zunächst habe ich gelesen [mm] e^z+e^{-z}
[/mm]
>
> Das was ich hier zeige ist also die vorgegebene Lösung.
>
> Kann mir hier einmal jemand helfen? Die Umformung kann ich
> überhaupt nicht nachvollziehen.
Ich auch nicht. Und das hat einen ganz einfachen Grund: die Umformung ist falsch !
Edit: die Umformung ist richtig !
FRED
>
> Ich bedanke mich für eure Hilfe!
>
> Gruss
>
> Björn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Di 23.11.2010 | | Autor: | bjoern.g |
Ui ok ... ;)
Wie wäre es denn richtig?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Schreibe die Pozenzreihenentwicklung von [mm] e^z [/mm] auf
Ziehe davon [mm] e^{-z} [/mm] ab
teile dann durch [mm] z^4
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Di 23.11.2010 | | Autor: | bjoern.g |
Dann brauch ich doch von [mm] e^{-z} [/mm] ebenso eine Potenzreihe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Dann brauch ich doch von [mm]e^{-z}[/mm] ebenso eine Potenzreihe?
Ja
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
kennst du die Reihe für Sinh ound Cosh
versuchs mal mit der
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Di 23.11.2010 | | Autor: | bjoern.g |
Also mit der Freds Anleitung komm ich jetzt i.wie gerade nicht weiter :(
Ich hab jetzt mal nach sinh und cosh geschaut!
für sinh(z) = [mm] \bruch{e^z - e^{-z}}{2}
[/mm]
Wenn ich mir jetzt die Potenzreihe hierfür Anschaue:
z + [mm] \bruch{1}{3!}*z^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{5!}*z^5 [/mm] + .....
Das sieht doch eigentlich schwer nach der Lösung vom Professor aus? oder liege ich falsch? Hierfür einfach die Potenzreihe (jedes einzelne Glied) mit 2 multiplizieren (für das rauskürzen bei dem sinh) und durch [mm] z^4 [/mm] teilen ?
Nur wie staucht man das am Schluss dann zusammen, dass man keine Potenzreihe mehr hat, sondern nur noch 1 Bruch?
VIELEN DANK !!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also mit der Freds Anleitung komm ich jetzt i.wie gerade
> nicht weiter :(
>
> Ich hab jetzt mal nach sinh und cosh geschaut!
>
> für sinh(z) = [mm]\bruch{e^z - e^{-z}}{2}[/mm]
>
> Wenn ich mir jetzt die Potenzreihe hierfür Anschaue:
>
> z + [mm]\bruch{1}{3!}*z^3[/mm] + [mm]\bruch{1}{5!}*z^5[/mm] + .....
>
> Das sieht doch eigentlich schwer nach der Lösung vom
> Professor aus? oder liege ich falsch? Hierfür einfach die
> Potenzreihe (jedes einzelne Glied) mit 2 multiplizieren
> (für das rauskürzen bei dem sinh) und durch [mm]z^4[/mm] teilen ?
>
> Nur wie staucht man das am Schluss dann zusammen, dass man
> keine Potenzreihe mehr hat, sondern nur noch 1 Bruch?
>
> VIELEN DANK !!!
Sorry , sorry ich habb die ganze Zeit [mm] e^z+e^{-z} [/mm] gelesen !
Die Rechnung deines Profs ist somit korrekt !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Di 23.11.2010 | | Autor: | bjoern.g |
Ok gut  ist mein Ansatz da jetzt richtig????
Und wie stauch ich das dann auf [mm] \bruch{1}{3z} [/mm] zusammen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok gut ist mein Ansatz da jetzt richtig????
>
> Und wie stauch ich das dann auf [mm]\bruch{1}{3z}[/mm] zusammen?
Da wird nichts gestaucht !
Du hattest:
$ [mm] \bruch{1}{2\cdot{}(\pi)\cdot{}j} [/mm] $ * $ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2z}{z^4} - \bruch{2z^3}{6z^4} -.... dz} [/mm] $
Es ist [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z^n} dz} [/mm] =0 für n [mm] \ge [/mm] 2. Ist Dir das klar ?
Undl [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z} dz}=2 \pi [/mm] j
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Di 23.11.2010 | | Autor: | bjoern.g |
Ne das ist mir irgendwie nicht klar.... da bin ich offenbar zu doof für, oh man :( :( :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ne das ist mir irgendwie nicht klar.... da bin ich offenbar
> zu doof für, oh man :( :( :(
Wenn Dir
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z} dz}=2 \pi [/mm] j$
nicht bekannt ist, dann rechne doch einfach nach und vergiß es nie !!!
Die Funktion [mm] \bruch{1}{z^n} [/mm] hat für n [mm] \ge [/mm] 2 eine Stammfunktion auf [mm] \IC [/mm] \ { 0 }.
Somit ist
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z^n} dz}=0$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Di 23.11.2010 | | Autor: | bjoern.g |
Bingo ich habs !
danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Di 23.11.2010 | | Autor: | bjoern.g |
1 Frage hätte ich doch noch
Woher weis man das denn:
Die Funktion $ [mm] \bruch{1}{z^n} [/mm] $ hat für n $ [mm] \ge [/mm] $ 2 eine Stammfunktion auf $ [mm] \IC [/mm] $ \ { 0 }.
Somit ist
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z^n} dz}=0 [/mm] $
Also wie ist das die Herangehensweise?? Wäre da niemals drauf gekommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach weil du sie wie im reellen eigentlich direkt hinschreiben können solltest.
Gruss leduart
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