Kurvenintegral komplexer Fkt. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Fr 19.11.2010 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | Berechnen sie für die komplexe Fkt. [mm] \bruch{z^2}{z^3 - 5}
[/mm]
a) Alle Polstellen und Residuen
b) Kurvenintegrale
b.1) [mm] \integral_{}^{}{f(z) dz} [/mm] K(2j,2)
b.2) [mm] \integral_{}^{}{f(z) dz} [/mm] K(-1,1) |
Hallo komme mit der Aufgabe nicht klar und bitte um eure Hilfe:
Also Aufgabenteil a) bekomme ich noch hin !
Hierzu die Lösungen (Kurzlösungen):
Polstellen
z0 [mm] \approx [/mm] 1,7
z1 [mm] \approx [/mm] = −0.855 − 1.481 j
z2 [mm] \approx [/mm] −0.855 + 1.481 j
Residuen
Res(f,zk) = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Nun zum Aufgabenteil b)
Wie muss ich hier vor gehen?
Für den Kreis bedeutet doch in der Aufgabenstellung der jeweils 1. Parameter der Kreismittelpunkt und der 2. Parameter der Radius richtig?
Sprich für b.1) --> k(t) = 2j + 2e^(jt)
und für b.2) ---> k(t) = -1 + e^(jt)
Würde das so schonmal stimmen?
Wie finde ich denn jetzt raus ob die Polstellen sich da irgendwie im Kreis befinden und wie geht das dann weiter? Kann die Vorgehensweise im Skript leider nicht ganz nachvollziehen
Im Voraus schon einmal Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Bjoern,
ein Punkt P liegt im Inneren eines Kreises K(M,r) (Mittelpunkt M, Radius r), wenn der Abstand des Punktes zum Mittelpunkt kleiner dem Radius ist, also |P-M|<r
Wenn du weisst welche Polstellen im Kreis liegen, machst du mit dem Residuensatz weiter.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Sa 20.11.2010 | | Autor: | bjoern.g |
Ok das hab ich soweit geschnackelt!
Nur gibt der Prof diesen Text in der Lösung an:
Der Kreis die Polstelle z1. Er hat die Umlaufzahl 1. Nach dem Residuensatz
gilt:
K(-2j,2)
[mm] \integral_{}^{}{f(z) dz}= 2*(\Pi)*j [/mm] Res(f, z1) = [mm] 2*(\Pi)*j [/mm] * 1/3 ≈ −2.094 j.
Das sollte soweit stimmen denn nach der Formel |P-M| < r liegt auch nur 1 Pol innerhalb des Kreises.
das heisst :
1. |z0 - 2j| < 2 ---> 2,63 < 2 ---> liegt nicht im Kreis
2. |z1 - 2j| < 2 ---> 1,034 < 2 --> liegt im Kreis
3. |z2 - 2j| < 2 ---> 3,523 < 2 --> liegt nicht im Kreis
Aber was Bedeutet nun die UMLAUFZAHL 1??? Wie kommt man darauf und was bedeutet das? Kann mir das noch jemand beantworten?
Wäre Super ! Und Vielen Dank
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Hallo bjoern.g,
> Ok das hab ich soweit geschnackelt!
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> Nur gibt der Prof diesen Text in der Lösung an:
>
> Der Kreis die Polstelle z1. Er hat die Umlaufzahl 1. Nach
> dem Residuensatz
> gilt:
>
> K(-2j,2)
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(z) dz}= 2*(\Pi)*j[/mm] Res(f, z1) = [mm]2*(\Pi)*j[/mm]
> * 1/3 ≈ −2.094 j.
>
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> Das sollte soweit stimmen denn nach der Formel |P-M| < r
> liegt auch nur 1 Pol innerhalb des Kreises.
>
> das heisst :
>
> 1. |z0 - 2j| < 2 ---> 2,63 < 2 ---> liegt nicht im Kreis
> 2. |z1 - 2j| < 2 ---> 1,034 < 2 --> liegt im Kreis
> 3. |z2 - 2j| < 2 ---> 3,523 < 2 --> liegt nicht im Kreis
>
> Aber was Bedeutet nun die UMLAUFZAHL 1??? Wie kommt man
> darauf und was bedeutet das? Kann mir das noch jemand
> beantworten?
Die Umlaufzahl einer Kurve [mm]\gamma[/mm] (hier: [mm]\gamma:\left[0,2 \pi\right] \to \IC, \ t \to 2j+2*e^{j*t}[/mm]
in bezug auf einen Punkt [mm]z_{0}[/mm] ( hier:[mm]z_{0}=\wurzel[3]{5}+0*j[/mm]) ist die
Anzahl der Umrundungen der Kurve entgegen dem Uhrzeigersinn um [mm]z_{0}[/mm].
>
> Wäre Super ! Und Vielen Dank
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Sa 20.11.2010 | | Autor: | bjoern.g |
Danke für die schnelle Antwort:
Verstehen tu ich es aber leider nicht wirklich :(
Wieso ist denn nun die Umlaufzahl = 1 ..... wann ist sie denn größer?
Kann ich diesbezüglich mal ein Beispiel gezeigt bekommen ?
Das wäre echt Super!
Vielen Dank
Gruss Björn
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Hallo bjoern.g,
> Danke für die schnelle Antwort:
>
> Verstehen tu ich es aber leider nicht wirklich :(
>
> Wieso ist denn nun die Umlaufzahl = 1 ..... wann ist sie
> denn größer?
>
> Kann ich diesbezüglich mal ein Beispiel gezeigt bekommen
> ?
Beispiele findest Du hier: ![[]](/images/popup.gif) Windungszahl unter Vorbetrachtung.
>
> Das wäre echt Super!
>
> Vielen Dank
>
> Gruss Björn
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Sa 20.11.2010 | | Autor: | bjoern.g |
Die Seite kenne ich, doch leider komme ich ja damit nicht klar!
Für mich ist das irgendwie ein Rätsel wie ich da irgendwas berechnen kann und woher ich weis wie der Kreis dann letztendlich aussieht, in Bezug auf diese Umlaufmasche in der Mitte.
Vielleicht kann mir jemand das doch noch einmal für "doofe" erklären 
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi bjoern,
ein Kreis ist, wenn nichts anderes angegeben ist, eben einmal mathemathisch positiv (gegen den Uhrzeigersinn) rum um den Mittelpunkt, auf einer Kreisbahn. Der Weg lässt sich, wie du ja schon angegeben hast, bei zB K(-1;1) durch [mm] k(t)=-1+e^{it} [/mm] parametrisieren, wobei es natürlich drauf ankommt anzugeben, welche Werte t durchläuft. Bei einem einfachen Kreis ist [mm] t\in[0;2\pi]. [/mm] Wäre [mm] t\in[0;4\pi] [/mm] würde der Kreisrand zweimal durchlaufen und die Umlaufzahl um den Mittelpunkt (und auch jeden andern Punkt im Innern) wäre 2.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 So 21.11.2010 | | Autor: | bjoern.g |
Ahh ok also ist hier immer die Umlaufzahl = 1 , da prinzipiell von einem Kreis gesprochen wird! Dann sind ja nur noch die Angaben von Mittelpunkt und Radius gegeben. Somit kann er nur die Umlaufzahl 1 haben (mit den für die Aufgabe gegebenen Werte)
Richtig?
Danke für den tollen Tipp von Walde, ich hoffe jetzt stimmt's ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 So 21.11.2010 | | Autor: | Walde |
Ja,Umlaufzahl ist hier 1.
LG walde
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