Kurvenintegral berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \oint_{|z-2|=1} \frac {e^z}{z^2(z^2-4)} [/mm] |
Es geht um das obige Integral.
das Thema ist noch etwas neu für mich, von daher verzeiht mir evtl. Dummheiten.
Ich würde ad hoc so vorgehen, unter der Annahme das die Funktion auf einem passend gewählten Gebiet G holomorph ist:
Zuerst Singularitäten bestimmen, dabei kämen 0,2,-2 in Frage.
dann gucken was liegt innerhalb der Kurve (ich würde hier als Kurve [mm] \gamma (t) = 2+e^{it} [/mm] wählen) und dann mit dem Residuensatz arbeiten.
Kritik ist wie immer zum Zweck des Verständnis gewünscht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Mi 13.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
für den Residuensatz spielen ja nur Pole 1. Ordnung eine Rolle. wenn 1 im Zähler stände hättest du deine. da abe [mm] e^z [/mm] da steht solltest du den als Reihe schreiben um mögliche Pole zu finden.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:25 Mi 13.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\oint_{|z-2|=1} \frac {e^z}{z^2(z^2-4)}[/mm]
> Es geht um das
> obige Integral.
> das Thema ist noch etwas neu für mich, von daher verzeiht
> mir evtl. Dummheiten.
> Ich würde ad hoc so vorgehen, unter der Annahme das die
> Funktion auf einem passend gewählten Gebiet G holomorph
> ist:
> Zuerst Singularitäten bestimmen, dabei kämen 0,2,-2 in
> Frage.
> dann gucken was liegt innerhalb der Kurve (ich würde hier
> als Kurve [mm]\gamma (t) = 2+e^{it}[/mm] wählen) und dann mit dem
> Residuensatz arbeiten.
>
> Kritik ist wie immer zum Zweck des Verständnis gewünscht
Ja, das kannst Du so machen. Es geht auch mit der Cauchyschen Integralformel:
Sei [mm] G:=\{z \in \C: |z-2|<2\} [/mm] und [mm] f(z):=\bruch{e^z}{z^2(z+2)} [/mm] Dann ist f auf G holomorph und es ist
$ [mm] \oint_{|z-2|=1} \frac {e^z}{z^2(z^2-4)} [/mm] = [mm] \oint_{|z-2|=1} \frac [/mm] {f(z)}{z-2}=2 [mm] \pi [/mm] i*f(2)= [mm] \bruch{\pi * e^2 *i}{8}$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Mi 13.05.2015 | | Autor: | Killercat |
Vielen lieben dank für eure Hilfe
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