Kurvenintegral auf Ellipse < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Kurvenintegral der Funktion f(x,y)= xy auf dem Teil der Ellipse [mm] \bruch{x²}{9} [/mm] + [mm] \bruch{y²}{4} [/mm] = 1 welcher im 1. Quadrant liegt. |
Hallo alle zusammen.
Gleich zu Beginn bin ich mir nicht sicher ob das stimmt, also:
Die Ellipse kann ich so ausdrücken: (acos(t), bsin(t)) wobei [mm] \bruch{x²}{a} [/mm] + [mm] \bruch{y²}{b} [/mm] = 1 und t [mm] \in [0,\bruch{\pi}{2}].
[/mm]
ds = [mm] \wurzel{dx²+dy²} [/mm] wobei x=acos(t) und y=bsin(t)
[mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] = -asin(t)
[mm] \bruch{dy}{dt} [/mm] = bcos(t)
[mm] ds=\wurzel{a²sin²(t)+b²cos²(t)} [/mm] = [mm] \wurzel{81sin²(t)+16cos²(t)} [/mm] = [mm] \wurzel{65sin²(t)+16} [/mm]
Das Integral
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}{a*b*cost(t)*sin(t)* \wurzel{65sin²(t)+16}} [/mm] * 36 dt = 57456/13 (richtiges Ergebnis wäre: 38/5)
Die 36 kommen aus der Jacobi Konstante: [mm] det\vmat{ a & 0 \\ 0 & b } [/mm] = a*b
Kann mir jemand sagen ob ich die Parametrisierung richtig gemacht habe oder hat jemand eine Ahnung wo der Fehler liegen kann? Das Integral habe ich nur schnell mit Derive ausgerechnet, um zu sehen ob ich mit meiner Parametrisierung richtig liege
Dankeschön
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Sa 06.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Zuggel
Im Prinzip ist deine Parametrisierung richtig, aber in der Ellipse steht dann [mm] a^2 [/mm] und [mm] b^2, [/mm] nicht a und b.
damit a=3, b=2.
Ich denk, dann kommst du eher in die richtige Gegend.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Sa 06.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da findest dus genau ![[]](/images/popup.gif) hier
gruss l
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
lol das ist das genau gleiche Beispiel *grins*. Dakeschön, ich hatte die Definition der Ellipsengleichung etwas falsch in Erinnerung.
Eines wollte ich dich doch noch fragen, warum wird hier keine Jacobi Konstante gebraucht? Sie wird doch immer bei einer KO-Transformations angewandt.
Danke
lg
Zuggel
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> Eines wollte ich dich doch noch fragen, warum wird hier
> keine Jacobi Konstante gebraucht? Sie wird doch immer bei
> einer KO-Transformations angewandt.
Hallo,
kann es sein, daß Du irgendwas verwechselst?
Kurvenintegral geht doch so vom Ablauf her, kochrezeptartig dargestellt:
Parameterdarstellung der Kurve hinschreiben, Grenzen des Parameters überlegen.
Diese Grenzen sind die Grenzen des neuen Integrals.
Parameterdarstellung in die zu integrierende Funktion einsetzen,
multiplizieren mit der Länge der Ableitung der Parameterdarstellung, dt dahinter .
Also, im [mm] \IR^2:
[/mm]
Die Kurve [mm] \gamma [/mm] parametrisieren durch [mm] \vec{r}(t)=\vec{x(t)\\y(t)}, t\in [/mm] [a,b].
Es ist [mm] \integral_{\gamma}fds=\integral_{a}^{b}f(x(t),y(t))\wurzel{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt.
[/mm]
Das isses dann.
War's das?
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 So 07.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist keine Koordinatentransf. sondern ne Parameterdarstellung!
Gruss leduart
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