Kurvenintegral, Residuum etc. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Casy |
| Aufgabe | Sei f(z)= [mm] \bruch{1}{(1+z^{2} )^{3} } z\in \IC [/mm] \ {+i, -i}.
Bestimmen Sie
[mm] \integral_{\gamma k}{f(z) dz} [/mm] für die Wege
[mm] \gamma_{k} [/mm] (t):= [mm] e^{i\bruch{k\pi }{2} } +e^{2\pi it} [/mm] ,
t [mm] \in [/mm] [0,1], k=1,2,3,4,
[mm] \gamma_{5} :=2e^{2\pi it} [/mm] |
Hallo!
Ich habe mal wieder ein Problem mit einer Übungsaufgabe; ich habe versucht, die Integrale mit einer Formel auszurechnen, aber irgendwas mach ich falsch, das funktioniert nicht. Folgendes habe ich mir überlegt:
Nach dem Residuensatz kann man das Integral berechnen mit:
[mm] \integral_{\gamma} [/mm] {f(z) dz} = [mm] \summe_{z=+-i}2\pi [/mm] i Res(f,z) [mm] \nu (\gamma [/mm] ,z),
wobei [mm] \nu [/mm] die Umlaufzahl ist, Res das Residuum.
1. Problem: Ich wollte [mm] \nu [/mm] berechnen, aber die Definition, die ich habe, lautet (mit z [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] Bild(\gamma [/mm] )):
[mm] \nu (\gamma ,z_{0})={\bruch{1}{2\pi i}} \integral_{\gamma}{\bruch{1}{z-z_{0}} dz}
[/mm]
Mit
[mm] \integral_{\gamma}{f(z) dz} [/mm] = [mm] \integral_{\gamma}{f(\gamma (t))\gamma '(t)dt}
[/mm]
komm ich auf ein riesiges Integral, das ich nicht lösen kann. Kann ich [mm] \nu [/mm] einfach irgendwo ablesen?
2. Problem: Ich habe 2 Formeln für Res, aber mit keiner komme ich auf eine Lösung:
1.: f=g/h (diese Form hat ja mein f): [mm] Res(f,+-i)=\bruch{g(+-i)}{h'(+-i)} [/mm] gaht nicht, weil ich für h'8+-i) 0 rauskriege
2.: hab ich das richtig verstanden und dieSingularitäten +-i haben jew. Vielfachheit 3?
Dann hätte ich:
[mm] Res(f,+-i)=1/2*\bruch{d^{2} }{dz^{2} } ((z-+i)^{2} [/mm] f(z))| z=+-i
da bekomm ich 0 raus.
Ds ist jetzt ziemlich umfangreich, aber es wäre toll, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte!
Ich dachte, mit meinen Formeln komm ich einfach auf die Lösung, aber irgendwas hab ich wohl falsch verstanden.... danke schonmal und Gruß!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Mo 01.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
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> Sei f(z)= \bruch{1}{(1+z^{2} )^{3} } z\in \IC \{+i, -i}.
>
> Bestimmen Sie
> \integral_{\gamma k}{f(z) dz} für die Wege
> \gamma _{k} (t):= e^{i\bruch{k\pi }{2} } +e^{2\pi it} ,
> t \in [0,1], k=1,2,3,4,
> \gamma _{5} :=2e^{2\pi it}
> Hallo!
> Ich habe mal wieder ein Problem mit einer Übungsaufgabe;
> ich habe versucht, die Integrale mit einer Formel
> auszurechnen, aber irgendwas mach ich falsch, das
> funktioniert nicht. Folgendes habe ich mir überlegt:
>
> Nach dem Residuensatz kann man das Integral berechnen mit:
> \integral_{\gamma} {f(z) dz} = \summe_{z=+-i} 2\pi i
> Res(f,z) \nu (\gamma ,z),
> wobei \nu die Umlaufzahl ist, Res das Residuum.
>
> 1. Problem: Ich wollte \nu berechnen, aber die Definition,
> die ich habe, lautet (mit z \in \IC \Bild(\gamma )):
> \nu (\gamma ,z_{0})={\bruch{1}{2\pi i}
> \integral_{\gamma}{\bruch{1}{z-z_{0} dz}
> Mit
> \integral_{\gamma}{f(z) dz} = \integral_{\gamma}{f(\gamma
> (t))\gamma '(t)dt}
> komm ich auf ein riesiges Integral, das ich nicht lösen
> kann. Kann ich \nu einfach irgendwo ablesen?
>
> 2. Problem: Ich habe 2 Formeln für Res, aber mit keiner
> komme ich auf eine Lösung:
> 1.: f=g/h (diese Form hat ja mein f):
> Res(f,+-i)=\bruch{g(+-i)}{h'(+-i)} gaht nicht, weil ich für
> h'8+-i) 0 rauskriege
> 2.: hab ich das richtig verstanden und dieSingularitäten
> +-i haben jew. Vielfachheit 3?
> Dann hätte ich:
> Res(f,+-i)=1/2*\bruch{d^{2} }{dz^{2} } ((z-+i)^{2} f(z))|
> z=+-i
> da bekomm ich 0 raus.
>
> Ds ist jetzt ziemlich umfangreich, aber es wäre toll, wenn
> mir jemand auf die Sprünge helfen könnte!
> Ich dachte, mit meinen Formeln komm ich einfach auf die
> Lösung, aber irgendwas hab ich wohl falsch verstanden....
> danke schonmal und Gruß!
Bitte so aufschreiben, dass man es lesen kann. Es gibt eine Vorschau_Funktion !!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Casy |
....entschuldigung, hab die Vorschau vergessen.
Jetzt hab ich die Aufgabe leserlich geschrieben.
Es wäre toll, wenn mir jemand erklären könnte, was ich falsch gemacht habe!
Danke & Gruß.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Casy |
....naóchmal entschuldigung, das sollte eine Frage sein, keine Mitteilung.
Will heißen:
Bitte schaut euch meine Aufgabe und Lösungsidee an und erklärt mir, warum das nicht klappt!
Danke!
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Hallo Casy,
> Sei f(z)= [mm]\bruch{1}{(1+z^{2} )^{3} } z\in \IC[/mm] \ {+i, -i}.
>
> Bestimmen Sie
> [mm]\integral_{\gamma k}{f(z) dz}[/mm] für die Wege
> [mm]\gamma_{k}[/mm] (t):= [mm]e^{i\bruch{k\pi }{2} } +e^{2\pi it}[/mm] ,
> t [mm]\in[/mm] [0,1], k=1,2,3,4,
> [mm]\gamma_{5} :=2e^{2\pi it}[/mm]
> Hallo!
> Ich habe mal wieder ein Problem mit einer Übungsaufgabe;
> ich habe versucht, die Integrale mit einer Formel
> auszurechnen, aber irgendwas mach ich falsch, das
> funktioniert nicht. Folgendes habe ich mir überlegt:
>
> Nach dem Residuensatz kann man das Integral berechnen mit:
> [mm]\integral_{\gamma}[/mm] {f(z) dz} = [mm]\summe_{z=+-i}2\pi[/mm] i
> Res(f,z) [mm]\nu (\gamma[/mm] ,z),
> wobei [mm]\nu[/mm] die Umlaufzahl ist, Res das Residuum.
>
> 1. Problem: Ich wollte [mm]\nu[/mm] berechnen, aber die Definition,
> die ich habe, lautet (mit z [mm]\in \IC[/mm] \ [mm]Bild(\gamma[/mm] )):
> [mm]\nu (\gamma ,z_{0})={\bruch{1}{2\pi i}} \integral_{\gamma}{\bruch{1}{z-z_{0}} dz}[/mm]
>
> Mit
> [mm]\integral_{\gamma}{f(z) dz}[/mm] = [mm]\integral_{\gamma}{f(\gamma (t))\gamma '(t)dt}[/mm]
>
> komm ich auf ein riesiges Integral, das ich nicht lösen
> kann. Kann ich [mm]\nu[/mm] einfach irgendwo ablesen?
Zugegeben das Integral zu lösen ist etwas umfangreich.
In der Regel ist
[mm]\nu\left(\gamma,z\right):=\left\{\begin{matrix} 1 && z \in B \\ 0 && z \in \IC \setminus \overline{B}\end{matrix}\right[/mm]
für jede Kreisscheibe B.
>
> 2. Problem: Ich habe 2 Formeln für Res, aber mit keiner
> komme ich auf eine Lösung:
> 1.: f=g/h (diese Form hat ja mein f):
> [mm]Res(f,+-i)=\bruch{g(+-i)}{h'(+-i)}[/mm] gaht nicht, weil ich für
> h'8+-i) 0 rauskriege
Diese Formel kannst nur bei einfachen Polen verwenden.
> 2.: hab ich das richtig verstanden und dieSingularitäten
> +-i haben jew. Vielfachheit 3?
Ja, das ist richtig.
> Dann hätte ich:
> [mm]Res(f,+-i)=1/2*\bruch{d^{2} }{dz^{2} } ((z-+i)^{2}[/mm] f(z))|
> z=+-i
> da bekomm ich 0 raus.
Richtig muß die Formel lauten:
[mm]Res(f,\pm i)=\bruch{1}{2}*\bruch{d^{2} }{dz^{2} } \left[(z \mp i)^{\red{3}} f\left(z\right) \right][/mm]
>
> Ds ist jetzt ziemlich umfangreich, aber es wäre toll, wenn
> mir jemand auf die Sprünge helfen könnte!
> Ich dachte, mit meinen Formeln komm ich einfach auf die
> Lösung, aber irgendwas hab ich wohl falsch verstanden....
> danke schonmal und Gruß!
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Casy |
Jippie, falsche Formel!! Mit der richtigen Formel klappts, da komm ich auf
Res(f,i)=3/16i und Res(f,-i)=-3/16i
Stimmt das so?
Dann brauche ich noch [mm] \nu (\gamma_{1} [/mm] ,i), [mm] \nu (\gamma_{1} [/mm] ,-i),
[mm] \nu (\gamma_{2} [/mm] ,i), [mm] \nu (\gamma_{2} [/mm] ,-i),
[mm] \nu (\gamma_{3} [/mm] ,i), usw, alle [mm] \gamma-Kurven [/mm] jew. mit i und -i
In der Vorlesung hat der Prof auch irgendwie [mm] \nu [/mm] =1 bzw. 0 gesetzt, aber das hab ich nicht verstanden, wie man das von der Kurve abliest.
Kannst du mir das erklären?
Idee dazu:
Sind die Kurven (s. Aufgabenstellung) nicht alle homotop, oder hab ich mich vertan?
Wenn die nämlich homotops ind, haben die auch alle die selben [mm] \nu (\gamma_{k} [/mm] ,+-i), oder? Dann müsste ich nur eine betrachten.
Gruß!
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Hallo Casy,
> Jippie, falsche Formel!! Mit der richtigen Formel klappts,
> da komm ich auf
> Res(f,i)=3/16i und Res(f,-i)=-3/16i
>
> Stimmt das so?
Die Zahlenwerte ja, die Vorzeichen sind gerade vertauscht.
[mm]Res\left(f,i\right)=\red{-}\bruch{3}{16}i[/mm]
[mm]Res\left(f,-i\right)=\red{+}\bruch{3}{16}i[/mm]
>
> Dann brauche ich noch [mm]\nu (\gamma_{1}[/mm] ,i), [mm]\nu (\gamma_{1}[/mm]
> ,-i),
> [mm]\nu (\gamma_{2}[/mm] ,i), [mm]\nu (\gamma_{2}[/mm] ,-i),
> [mm]\nu (\gamma_{3}[/mm] ,i), usw, alle [mm]\gamma-Kurven[/mm] jew. mit i und
> -i
>
> In der Vorlesung hat der Prof auch irgendwie [mm]\nu[/mm] =1 bzw. 0
> gesetzt, aber das hab ich nicht verstanden, wie man das von
> der Kurve abliest.
>
> Kannst du mir das erklären?
Ich weiß auch nur, daß die Zahl [mm]\nu\left(\gamma_{k},z\right)[/mm] ein Maß dafür ist,
wie oft der Weg [mm]\gamma_{k}[/mm] den Punkt z umläuft.
>
> Idee dazu:
> Sind die Kurven (s. Aufgabenstellung) nicht alle homotop,
> oder hab ich mich vertan?
> Wenn die nämlich homotops ind, haben die auch alle die
> selben [mm]\nu (\gamma_{k}[/mm] ,+-i), oder? Dann müsste ich nur
> eine betrachten.
>
> Gruß!
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:17 Di 02.12.2008 | | Autor: | Casy |
Hallo!
> Die Zahlenwerte ja, die Vorzeichen sind gerade vertauscht.
>
> [mm]Res\left(f,i\right)=\red{-}\bruch{3}{16}i[/mm]
>
> [mm]Res\left(f,-i\right)=\red{+}\bruch{3}{16}i[/mm]
>
...OK, muss ich mal nachrechnen, da hab ich mich wohl vertan.
> > Dann brauche ich noch [mm]\nu (\gamma_{1}[/mm] ,i), [mm]\nu (\gamma_{1}[/mm]
> > ,-i),
> > [mm]\nu (\gamma_{2}[/mm] ,i), [mm]\nu (\gamma_{2}[/mm] ,-i),
> > [mm]\nu (\gamma_{3}[/mm] ,i), usw, alle [mm]\gamma-Kurven[/mm] jew. mit i und
> > -i
> >
> > In der Vorlesung hat der Prof auch irgendwie [mm]\nu[/mm] =1 bzw. 0
> > gesetzt, aber das hab ich nicht verstanden, wie man das von
> > der Kurve abliest.
> >
> > Kannst du mir das erklären?
>
>
> Ich weiß auch nur, daß die Zahl
> [mm]\nu\left(\gamma_{k},z\right)[/mm] ein Maß dafür ist,
> wie oft der Weg [mm]\gamma_{k}[/mm] den Punkt z umläuft.
>
....schade, das weiß ich auch. Woran kann ich denn erkennen, wie oft, die Kurve i bzw. -i umläuft?
> > Idee dazu:
> > Sind die Kurven (s. Aufgabenstellung) nicht alle homotop,
> > oder hab ich mich vertan?
> > Wenn die nämlich homotops ind, haben die auch alle die
> > selben [mm]\nu (\gamma_{k}[/mm] ,+-i), oder? Dann müsste ich nur
> > eine betrachten.
Stimmt das?
Und wie kann ich mir die Kurven [mm] \gamma [/mm] vorstellen, als Schaubild?
Es wäre toll, wenn mir das jemand erklären könnte!
Danke und Gruß!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Fr 05.12.2008 | | Autor: | matux |
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