Kurvenintegral 2. Art < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachtet werden folgende Vektorfelder: V: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] entlang der Kurven C [mm] \subset \IR^2 [/mm] :
V(x,y) = (2y - 2x, [mm] 2x)^T [/mm] K: ist die Gerade durch die Punkte P1(0,1) und P2(2,2)
Prüfen Sie ob das Vektorfeld ein Potenzialfeld ist. Bestimmen Sie das Kurvenintegral 2. Art. Im Falle eines Potenzialfeldes ist das zugehörige Potenzial Phi zu berechnen und die Wegunabhängigkeit des Integrals ist auszunutzen. |
Hallo als erstes habe ich die Jacobimatrix gebildet und gesehen das diese symmetrisch ist, somit ist es ein Potenzialfeld. Somit ist [mm] \partialPhi/\partialx [/mm] = Phix = 2y -2x und [mm] \partialPhi/\partialy [/mm] = Phiy = 2x. Wenn ich jetz beide integriere bekomme ich einmal Phi = 2xy -x2 + c(y) und dann Phi = 2xy +c(x) richtig oder ? So jetz ist meine Frage wie bestimme ich die Konstanten um auf Phi zu kommen ? Ich weiß das man c(x) = [mm] -x^2 [/mm] wählen könnte. Dann ist wahrscheinlich c(y) = c nur eine Konstante nicht mehr abhängig von y. So wie bestimme ich den diese Konstante bzw. was mache ich wenn ich das mal nicht so offensichtlich sehe wie hier ? Wenn ich dann das habe brauch ich nur noch Phi(P2) -Phi(P1) zu berechen das ist dann das Kurvenintegral 2. Art. Vieln Dank für die Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 So 29.07.2007 | | Autor: | CingChris |
also Phix ist Phi nach x partiell abgeleitet das hats nich ganz gemacht wie ich das wollte. Und y eben das gleiche.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 So 29.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
sei V=V(x,y) das Potential, dann gilt:
Vx=2y-2x
Vy=2y
Integration der ersten Gleichung nach x ergibt:
V=2xy-x²+c(y)
Das leiten wir nach y ab:
Vy=2x+c´(y)
Aus der oberen zweiten Gleichung wissen wir, dass Vy=2x, also folgt:
2x+c´(y)=2x, also c´(y)=0, also c(y)=konst.
Somit gilt: V=V(x,y)=2xy-x²+c.
Das ist das Standardverfaren zur Berechnung von Potentialen (bzw. zur Lösung von exakten DGl).
Die restlichen Aufgaben ergeben sich direkt daraus.
Ichweis nicht wie ihr es definiert habt, aber manchmal muss für das Potential grad V=-F gelten. Dann musst du einfach -V nehmen.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Ok das hab ich verstanden. Und wie krieg ich jetz das c noch heraus ? Hier wurde einfach die null gewählt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 So 29.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Ok das hab ich verstanden. Und wie krieg ich jetz das c
> noch heraus ? Hier wurde einfach die null gewählt
Das kannst du wählen, wie du willst. Ein Potential ist immer nur bis auf eine additive Konstante definiert.
Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 So 29.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
oder du hast zum Beispiel noch eine zusatzliche Bedingung an dein Potential. (Zum Beispiel V(0,0)=0 oder so)
Da in der Aufgabe nichts steht, ist c beliebig.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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