Kurvenintegral - Aufgabe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die folgenden 2 Kurven:
a) [mm] \gamma_1 [/mm] der Streckenzug durch die Punkt (0,0), (1,0) und (1,1) (in dieser Reihenfolge)
b) [mm] \gamma_2 [/mm] der Streckenzug durch die Punkte (0,0), (0,1) und (1,1) (in dieser Reihenfolge)
Berechnen Sie
[mm] \integral_{\gamma_k}{y dx+(x-y)dy}
[/mm]
für k=1,2 |
a)
die Kurve [mm] \gamma_1 [/mm] würde ich so parametrisieren:
[mm] \gamma_1: [a,b]\to\IR^2
[/mm]
[mm] \gamma_1(t)=\begin{cases} \vektor{t \\ 0}, & \mbox{für } t\in[0,1] \mbox{ gerade} \\ \vektor{1 \\ t-1}, & \mbox{für } t\in [1,2] \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Für die Ableitung gilt:
[mm] \gamma_1'(t)=\begin{cases} \vektor{1 \\ 0}, & \mbox{für } t\in[0,1] \mbox{ gerade} \\ \vektor{0 \\ 1}, & \mbox{für } t\in [1,2] \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Ich verstehe jetzt aber nicht, wie ich das Integral
[mm] \integral_{\gamma_k}{y dx+(x-y)dy}
[/mm]
lösen soll. Was ist hier y und x? sind das funktionen?
Normalerweise gilt für Kurvenintegrale:
Erster Art: [mm] \integral_{\gamma}{f(\gamma(t))*|\gamma'(t)| dt}
[/mm]
Zweiter Art: [mm] \integral_{\gamma}{f(\gamma(t))*\gamma'(t) dt}
[/mm]
Welche Art liegt hier vor? Was ist die funktion f für aufgabe a) ? Wie löse ich nun das Integral?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mi 07.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben seien die folgenden 2 Kurven:
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> a) [mm]\gamma_1[/mm] der Streckenzug durch die Punkt (0,0), (1,0)
> und (1,1) (in dieser Reihenfolge)
>
> b) [mm]\gamma_2[/mm] der Streckenzug durch die Punkte (0,0), (0,1)
> und (1,1) (in dieser Reihenfolge)
>
> Berechnen Sie
>
> [mm]\integral_{\gamma_k}{y dx+(x-y)dy}[/mm]
>
> für k=1,2
> a)
>
> die Kurve [mm]\gamma_1[/mm] würde ich so parametrisieren:
>
> [mm]\gamma_1: [a,b]\to\IR^2[/mm]
>
> [mm]\gamma_1(t)=\begin{cases} \vektor{t \\ 0}, & \mbox{für } t\in[0,1] \mbox{ gerade} \\ \vektor{1 \\ t-1}, & \mbox{für } t\in [1,2] \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
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> Für die Ableitung gilt:
>
> [mm]\gamma_1'(t)=\begin{cases} \vektor{1 \\ 0}, & \mbox{für } t\in[0,1] \mbox{ gerade} \\ \vektor{0 \\ 1}, & \mbox{für } t\in [1,2] \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> Ich verstehe jetzt aber nicht, wie ich das Integral
>
> [mm]\integral_{\gamma_k}{y dx+(x-y)dy}[/mm]
>
> lösen soll. Was ist hier y und x? sind das funktionen?
>
> Normalerweise gilt für Kurvenintegrale:
>
> Erster Art: [mm]\integral_{\gamma}{f(\gamma(t))*|\gamma'(t)| dt}[/mm]
>
> Zweiter Art: [mm]\integral_{\gamma}{f(\gamma(t))*\gamma'(t) dt}[/mm]
>
> Welche Art liegt hier vor? Was ist die funktion f für
> aufgabe a) ? Wie löse ich nun das Integral?
Sind [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] zwei Funktionen von 2 Var. und setzt man [mm] f(x,y):=\vektor{f_1(x,y) \\ f_2(x,y)} [/mm] so schreibt man für das Integral (2.Art)
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f(x,y)* d(x,y)}
[/mm]
auch
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f_1(x,y)dx+f_2(x,y)dy}
[/mm]
FRED
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[mm] \integral_{\gamma_k}{y dx+(x-y)dy}=\integral_{\gamma_k}\vektor{y \\ x-y}d(x,y)
[/mm]
die Varabeln x und y sind dann die Komponenten von der Kurve [mm] \gamma_1(t) [/mm] richtig?
[mm] \integral_{\gamma_k}\vektor{y \\ x-y}d(x,y)=\integral_{0}^{1}{\vektor{0 \\ t-0}*\gamma_1'(t)dt}+\integral_{1}^{2}{\vektor{t-1 \\ 1-(t-1)}*\gamma_1'(t)dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}{\vektor{0 \\ t-0}*\vektor{1 \\ 0}dt}+\integral_{1}^{2}{\vektor{t-1 \\ 1-(t-1)}*\vektor{0 \\ 1}dt}
[/mm]
stimmt das soweit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mi 07.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{\gamma_k}{y dx+(x-y)dy}=\integral_{\gamma_k}\vektor{y \\ x-y}d(x,y)[/mm]
>
> die Varabeln x und y sind dann die Komponenten von der
> Kurve [mm]\gamma_1(t)[/mm] richtig?
>
> [mm]\integral_{\gamma_k}\vektor{y \\ x-y}d(x,y)=\integral_{0}^{1}{\vektor{0 \\ t-0}*\gamma_1'(t)dt}+\integral_{1}^{2}{\vektor{t-1 \\ 1-(t-1)}*\gamma_1'(t)dt}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}{\vektor{0 \\ t-0}*\vektor{1 \\ 0}dt}+\integral_{1}^{2}{\vektor{t-1 \\ 1-(t-1)}*\vektor{0 \\ 1}dt}[/mm]
>
> stimmt das soweit?
Ja
FRED
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Die Frage hat sich erledigt. ich habe den Fehler gefunden.
Korrektur:
[mm] =\integral_{0}^{1}{\vektor{0 \\ t-0}*\vektor{1 \\ 0}dt}+\integral_{1}^{2}{\vektor{t-1 \\ 1-(t-1)}*\vektor{0 \\ 1}dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}{0*1+t*0dt}+\integral_{1}^{2}{(t-1)*0+(1-(t-1))*1dt}=\integral_{1}^{2}{2-tdt}=\bruch{1}{2}
[/mm]
ich habe aber noch eine frage. was sagt das ergebnis [mm] \bruch{1}{2} [/mm] nun aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 08.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Die Frage hat sich erledigt. ich habe den Fehler gefunden.
>
> Korrektur:
>
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}{\vektor{0 \\ t-0}*\vektor{1 \\ 0}dt}+\integral_{1}^{2}{\vektor{t-1 \\ 1-(t-1)}*\vektor{0 \\ 1}dt}[/mm]
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> [mm]=\integral_{0}^{1}{0*1+t*0dt}+\integral_{1}^{2}{(t-1)*0+(1-(t-1))*1dt}=\integral_{1}^{2}{2-tdt}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> ich habe aber noch eine frage. was sagt das ergebnis
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] nun aus?
Im [mm] \IR^3: [/mm] ein Kraftfeld F=F(x,y,z) verrichtet an einem Massenpunkt beim Verschieben längs eine Weges [mm] \gamma [/mm] die Arbeit
[mm] $W=\integral_{\gamma}^{}{F(x,y,z)* d(x,y,z)}$
[/mm]
(Arbeitsintegral).
FRED
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> Sind [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm] zwei Funktionen von 2 Var. und setzt man
> [mm]f(x,y):=\vektor{f_1(x,y) \\ f_2(x,y)}[/mm] so schreibt man für
> das Integral (2.Art)
>
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(x,y)* d(x,y)}[/mm]
>
> auch
>
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f_1(x,y)dx+f_2(x,y)dy}[/mm]
>
ich habe hierzu noch eine frage. Im folgenden Video (du brauchst nicht das ganze video schauen, es geht um die ersten Sekunden)
![[]](/images/popup.gif) das video
steht gleich im Anfang das integral:
[mm] \integral{P dx+Qdy}
[/mm]
handelt es sich hierbei auch um das integral
[mm] \integral{\vektor{P \\ Q}d(x,y)}
[/mm]
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Mi 07.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Sind [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm] zwei Funktionen von 2 Var. und setzt man
> > [mm]f(x,y):=\vektor{f_1(x,y) \\ f_2(x,y)}[/mm] so schreibt man für
> > das Integral (2.Art)
> >
> > [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(x,y)* d(x,y)}[/mm]
> >
> > auch
> >
> > [mm]\integral_{\gamma}^{}{f_1(x,y)dx+f_2(x,y)dy}[/mm]
> >
>
> ich habe hierzu noch eine frage. Im folgenden Video (du
> brauchst nicht das ganze video schauen, es geht um die
> ersten Sekunden)
>
> das video
>
> steht gleich im Anfang das integral:
>
>
> [mm]\integral{P dx+Qdy}[/mm]
>
> handelt es sich hierbei auch um das integral
>
>
> [mm]\integral{\vektor{P \\ Q}d(x,y)}[/mm]
>
> ?
Ja, hier ist [mm] f_1=P [/mm] und [mm] f_2=Q
[/mm]
FRED
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