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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Kurvenintegral
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Kurvenintegral: Flascher Ansatz?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 So 09.09.2012
Autor: Robse

Aufgabe
In den ebenen Kraftfeldern v,w : [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] mit

v(x,y) = [mm] \vektor{-x+y \\ x+y} [/mm] und w(x,y) = [mm] \vektor{x \\ xy} [/mm]

wird ein Teilchen (der Masse 1) von A = (0,0) nach B = (1,1) bewegt, und zwar entlang eines entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufenden Kreises mit Mittelpunkt (1,0).
Berechnen Sie jeweils die Energie [mm] \integral_{c}{vds} [/mm] bzw. [mm] \integral_{c}{wds}, [/mm] die dafür benötigt wird.

Hallo,

Ich bin mir bei dieser Aufgabe nicht sicher ob meine Herangehensweise richtig ist.

Ich habe zuerst den Kurvenverlauf in Parameterdarstellung (war in der Aufgabe davon gefordert): [mm] \overrightarrow{r}(t) [/mm] = [mm] \vektor{1-cost \\ -sint} [/mm] mit [mm] 0\le t\le \bruch{3}{2}\pi. [/mm]

[mm] d\overrightarrow{r}(t) [/mm] = [mm] \vektor{sint \\ -cost} [/mm]

[mm] \integral_{c}{\vektor{-1+cost-sint \\ 1-cost-sint} \vektor{sint \\ -cost} dt} [/mm] = [mm] \integral_{c}{(-sint+costsint-sin^2t)+(-cost+cos^2t+sintcost) dt}. [/mm]

Leider komme ich hier schon nicht weiter, weil ich das Integral nicht berechnen kann...


mgf Robse


        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 So 09.09.2012
Autor: MathePower

Hallo Robse,

> In den ebenen Kraftfeldern v,w : [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm] mit
>  
> v(x,y) = [mm]\vektor{-x+y \\ x+y}[/mm] und w(x,y) = [mm]\vektor{x \\ xy}[/mm]
>  
> wird ein Teilchen (der Masse 1) von A = (0,0) nach B =
> (1,1) bewegt, und zwar entlang eines entgegen dem
> Uhrzeigersinn durchlaufenden Kreises mit Mittelpunkt
> (1,0).
>  Berechnen Sie jeweils die Energie [mm]\integral_{c}{vds}[/mm] bzw.
> [mm]\integral_{c}{wds},[/mm] die dafür benötigt wird.
>  Hallo,
>  
> Ich bin mir bei dieser Aufgabe nicht sicher ob meine
> Herangehensweise richtig ist.
>  
> Ich habe zuerst den Kurvenverlauf in Parameterdarstellung
> (war in der Aufgabe davon gefordert): [mm]\overrightarrow{r}(t)[/mm]
> = [mm]\vektor{1-cost \\ -sint}[/mm] mit [mm]0\le t\le \bruch{3}{2}\pi.[/mm]
>  
> [mm]d\overrightarrow{r}(t)[/mm] = [mm]\vektor{sint \\ -cost}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{c}{\vektor{-1+cost-sint \\ 1-cost-sint} \vektor{sint \\ -cost} dt}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{c}{(-sint+costsint-sin^2t)+(-cost+cos^2t+sintcost) dt}.[/mm]
>  
> Leider komme ich hier schon nicht weiter, weil ich das
> Integral nicht berechnen kann...

>


Verwende hier die Additionstheoreme

[mm]\cos^{2}\left(t\right)-\sin^{2}\left(t\right)=\cos\left(2t\right)[/mm]

[mm]2*\sin\left(t\right)*\cos\left(t\right)=\sin\left(2t\right)[/mm]

Dann kannst Du das Integral berechnen.

Oder integriere die entsprechenden Terme partiell.


>

> mgf Robse
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 So 09.09.2012
Autor: Robse

Hallo MathePower,

Danke für deine (wiederholte) schnelle und gute Antwort.
Meine Rechnung sieht jetzt folgendermaßen aus:

[mm] \integral_{c}{-sint-cost+sin(2t)+cos(2t) dt} [/mm] = [mm] [cost-sint-\bruch{1}{2}cos(2t)+\bruch{1}{2}sin(2t)]_{0}^{2\pi} [/mm] = 0


Bei dem Kraftfeld w:

[mm] \integral_{c}{sin(t)-cos(t)sin(t)+cos(t)sin(t)-cos^2(t)sin(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{c}{sin(t)(1-cos^2(t)) dt} [/mm]

Da stecke ich jetzt auch wieder ein bisschen fest. Ich habe als Additionstheorem nur [mm] cos^2(t) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}cos(2t) [/mm] gefunden.

Wenn ich das jetzt versuche partiell zu integrieren, bekomme ich das einfach nicht hin.....


Mfg Robse

Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 So 09.09.2012
Autor: MathePower

Hallo Robse,

> Hallo MathePower,
>  
> Danke für deine (wiederholte) schnelle und gute Antwort.
>  Meine Rechnung sieht jetzt folgendermaßen aus:
>  
> [mm]\integral_{c}{-sint-cost+sin(2t)+cos(2t) dt}[/mm] =
> [mm][cost-sint-\bruch{1}{2}cos(2t)+\bruch{1}{2}sin(2t)]_{0}^{2\pi}[/mm]
> = 0
>  


Hier musst Du doch zwischen 0 und [mm]\bruch{3\pi}{2}[/mm] integrieren.


>
> Bei dem Kraftfeld w:
>  
> [mm]\integral_{c}{sin(t)-cos(t)sin(t)+cos(t)sin(t)-cos^2(t)sin(t) dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{c}{sin(t)(1-cos^2(t)) dt}[/mm]
>  
> Da stecke ich jetzt auch wieder ein bisschen fest. Ich habe
> als Additionstheorem nur [mm]cos^2(t)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}cos(2t)[/mm] gefunden.

>


Hier lautet das Zauberwort "Substitution".

  

> Wenn ich das jetzt versuche partiell zu integrieren,
> bekomme ich das einfach nicht hin.....
>  
>
> Mfg Robse


Gruss
MathePower

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