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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Mi 18.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo matheraum...
ich habe mal eine Frage zu folgendem Kurvenintegral:
Berechnet werden soll [mm] \integral_{\vec{\gamma_1}}{\vec{F}\cdot\vec{ds}}, [/mm] sowie [mm] \integral_{\vec{\gamma_2}}{\vec{F}\cdot \vec{ds}}
[/mm]
Wobei
[mm] \vec{\gamma_1}:[0,\pi] \to \IR^2 [/mm] , t [mm] \to [/mm] (cos t, -sin t)
[mm] \vec{\gamma_2}:[0,\pi] \to \IR^2 [/mm] , t [mm] \to [/mm] (cos t, sin t)
und [mm] \vec{F}:\IR^2 \to \IR^2, [/mm] (x,y) [mm] \to [/mm] (x+y, y-x)
Außerdem sollen die Kurven [mm] \gamma_1 [/mm] und [mm] \gamma_2 [/mm] skizziert werden.
Ich mache nun für [mm] \vec{\gamma_1} [/mm] folgendes:
[mm] \integral_{\vec{\gamma_1}}{\vec{F}\cdot\vec{ds}}=\integral_0^\pi {\left\langle \vec{F}(\vec{\gamma_1}(t)), \vec{\gamma_1}'(t) \right\rangle} [/mm] dt
Es gilt für [mm] \vec{F}(\vec{\gamma_1}(t))=\vec{F}(cos [/mm] t, - sin [mm] t)=\vektor{cos t - sin t \\ -sin t - cos t}
[/mm]
Es gilt [mm] \vec{\gamma_1}(t)=\vektor{cos t \\ -sin t} [/mm] und somit [mm] \vec{\gamma_1}'(t)=\vektor{-sin t \\ -cos t}
[/mm]
Demnach ergibt sich:
[mm] \integral_0^\pi {\left\langle \vektor{cos t - sin t \\ - sin t - cos t},\vektor{-sin t \\ -cos t} \right\rangle} dt=\integral_0^\pi [/mm] {-cos t [mm] \cdot [/mm] sin t + [mm] sin^2 [/mm] t + cos t [mm] \cdot [/mm] sin t + [mm] cos^2 [/mm] t} [mm] dt=\integral_0^\pi [/mm] 1 dt
Ich mache nun für [mm] \vec{\gamma_2} [/mm] folgendes:
[mm] \integral_{\vec{\gamma_2}}{\vec{F}\cdot\vec{ds}}=\integral_0^\pi {\left\langle \vec{F}(\vec{\gamma_2}(t)), \vec{\gamma_2}'(t) \right\rangle} [/mm] dt
Es gilt für [mm] \vec{F}(\vec{\gamma_2}(t))=\vec{F}(cos [/mm] t, sin [mm] t)=\vektor{cos t + sin t \\ sin t - cos t}
[/mm]
Es gilt [mm] \vec{\gamma_2}(t)=\vektor{cos t \\ sin t} [/mm] und somit [mm] \vec{\gamma_2}'(t)=\vektor{-sin t \\ cos t}
[/mm]
[mm] \integral_0^\pi {\left\langle \vektor{cos t + sin t \\ sin t - cos t},\vektor{-sin t \\ cos t} \right\rangle} dt=\integral_0^\pi [/mm] -cos t [mm] \cdot [/mm] sin [mm] t-sin^2 [/mm] t + cos t [mm] \cdot [/mm] sin t - [mm] cos^2 [/mm] t [mm] dt=\integral_0^pi [/mm] -1 dt
Darf ich diesen rechenweg so benutzen und was kann ich hieraus nun für meine Kurven [mm] \gamma_1 [/mm] und [mm] \gamma_2 [/mm] schließen??? Also wie kann ich diese Kurven skizzieren???
mfg thadod
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> Hallo matheraum...
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> ich habe mal eine Frage zu folgendem Kurvenintegral:
>
> Berechnet werden soll
> [mm]\integral_{\vec{\gamma_1}}{\vec{F}\cdot\vec{ds}},[/mm] sowie
> [mm]\integral_{\vec{\gamma_2}}{\vec{F}\cdot \vec{ds}}[/mm]
>
> Wobei
> [mm]\vec{\gamma_1}:[0,\pi] \to \IR^2[/mm] , t [mm]\to[/mm] (cos t, -sin t)
> [mm]\vec{\gamma_2}:[0,\pi] \to \IR^2[/mm] , t [mm]\to[/mm] (cos t, sin t)
>
> und [mm]\vec{F}:\IR^2 \to \IR^2,[/mm] (x,y) [mm]\to[/mm] (x+y, y-x)
>
> Außerdem sollen die Kurven [mm]\gamma_1[/mm] und [mm]\gamma_2[/mm] skizziert
> werden.
>
>
>
> Ich mache nun für [mm]\vec{\gamma_1}[/mm] folgendes:
>
> [mm]\integral_{\vec{\gamma_1}}{\vec{F}\cdot\vec{ds}}=\integral_0^\pi {\left\langle \vec{F}(\vec{\gamma_1}(t)), \vec{\gamma_1}'(t) \right\rangle}[/mm]
> dt
>
> Es gilt für [mm]\vec{F}(\vec{\gamma_1}(t))=\vec{F}(cos[/mm] t, -
> sin [mm]t)=\vektor{cos t - sin t \\ -sin t - cos t}[/mm]
>
> Es gilt [mm]\vec{\gamma_1}(t)=\vektor{cos t \\ -sin t}[/mm] und
> somit [mm]\vec{\gamma_1}'(t)=\vektor{-sin t \\ -cos t}[/mm]
>
> Demnach ergibt sich:
>
[mm]\integral_0^\pi {\left\langle \vektor{cos t - sin t \\ - sin t - cos t},\vektor{-sin t \\ -cos t} \right\rangle} dt=\integral_0^\pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{-cos t [mm]\cdot[/mm] sin t + [mm]sin^2[/mm] t + cos t [mm]\cdot[/mm] sin t + [mm]cos^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
t} [mm]dt=\integral_0^\pi[/mm] 1 dt
>
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> Ich mache nun für [mm]\vec{\gamma_2}[/mm] folgendes:
>
> [mm]\integral_{\vec{\gamma_2}}{\vec{F}\cdot\vec{ds}}=\integral_0^\pi {\left\langle \vec{F}(\vec{\gamma_2}(t)), \vec{\gamma_2}'(t) \right\rangle}[/mm]
> dt
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> Es gilt für [mm]\vec{F}(\vec{\gamma_2}(t))=\vec{F}(cos[/mm] t, sin
> [mm]t)=\vektor{cos t + sin t \\ sin t - cos t}[/mm]
>
> Es gilt [mm]\vec{\gamma_2}(t)=\vektor{cos t \\ sin t}[/mm] und somit
> [mm]\vec{\gamma_2}'(t)=\vektor{-sin t \\ cos t}[/mm]
>
> [mm]\integral_0^\pi {\left\langle \vektor{cos t + sin t \\ sin t - cos t},\vektor{-sin t \\ cos t} \right\rangle} dt=\integral_0^\pi[/mm] -cos t [mm]\cdot[/mm] sin [mm]t-sin^2[/mm] t + cos t [mm]\cdot[/mm] sin t - [mm]cos^2[/mm] t [mm]dt=\integral_0^pi[/mm] -1 dt
>
> Darf ich diesen rechenweg so benutzen und was kann ich
> hieraus nun für meine Kurven [mm]\gamma_1[/mm] und [mm]\gamma_2[/mm]
> schließen??? Also wie kann ich diese Kurven skizzieren???
>
>
> mfg thadod
Der Rechenweg sieht mir richtig aus, ich habe auf die schnelle keinen Fehler gefunden. Du brauchst ja tatsächlich nur die Parametrisierung in die Funktion F einsetzen und mit dem Gradienten skalar zu multiplizieren. Das Ausmultiplizieren erscheint mir auch richtig und das folgende Integral auszurechnen ist ja dann nicht mehr schwer.
Skizzieren sollst du aber nicht die Integration! Skizzieren sollst du doch die Parameterkruven, oder? Also was beschreibt denn [mm] $\gamma_1$? [/mm] Du hast einen Zahlenwert t der abgebildet wird in eine Ebene, den zweidimensionalen Raum, wo seine Koordinaten in cos und sin übertragen werden. Da du sicherlich Polarkoordinaten kennst, solltest du direkt ein Bild vor Augen haben, was dieser Vektor von [mm] $\gamma_1$ [/mm] beschreibt. Kurz gesagt wirst du eine Art Schraube mit festem Radius erhalten, die du für den Integrationsbereich zeichnen sollst.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:17 Mi 18.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \gamma(t) [/mm] ist keine Spirale, der Radius ist fest [mm] r^2=x^2+y^2=1
[/mm]
Man sollte sehen dass [mm] \gamma_2(t)=\gamma_1(-t) [/mm] ist.
Gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 12:21 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Adamantin |
Ah dann war das vielleicht ein Missverständnis meinerseits. Die Funktion an sich kann ja nur ein Kreis sein (also die Parametrisierung), da ich nur 2 Koordinaten habe. Ich meinte mit Spirale eigentlich die Kurve, die entsteht, wenn ich das ganze in einen dreidimensionalen Raum mit t als eine Achse eintrage, dann habe ich ja aufgrund des Höhenzuwaches von t [0, pi] auf jeden Fall eine ansteigende Kurve, oder? Also ich meinte mit Spirale nicht z.b. die Archimedische, deren Radius sich ändert! Das ist mir eben erst aufgefallen. Ich meinte eine Kurve im Raum, die sich schraubenartig nach oben windet (je nach VZ)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Mi 18.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke für deine Hilfe...
Erhalte ich wirklich eine Spirale???
Ich hatte jetzt an sowas wie den Einheitskreis gedacht.
es ist doch t [mm] \to [/mm] (cos,-sint) und t [mm] \to [/mm] (cost,sint) und zwischen [mm] [0,\pi] [/mm] sollte es mir doch eigentlich möglich sein, diese in einem Einheitskreis darstellen zu können oder nicht???
Für t [mm] \to [/mm] (cos,-sint) hätte ich nun einen Vollkreis und für t [mm] \to [/mm] (cost,sint) den oberen Halbkreis des Einheitskreises skizziert...
mfg thadod
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> Hallo und danke für deine Hilfe...
>
> Erhalte ich wirklich eine Spirale???
Nein, war eine begriffliche Verirrung, Leduart hat dies bereits bemerkt, ich entschuldige mich. Ich meinte im dreidimensionalen Raum eine Schraube mit festem R, bzw. im zweidimensionalen, wenn du nur die Kurve malst, einen Kreis, natürlich. Leduart hat dich aber bereits darauf hingewiesen, dass [mm] $\gamma_2$ [/mm] gerade [mm] $\gamma_1(-t)$ [/mm] ist, da der cos gerade ist. Damit kannst du schlecht einen Vollkreis erzielt haben, sondern eher einen oberen und unteren Halbkreis.
>
> Ich hatte jetzt an sowas wie den Einheitskreis gedacht.
>
> es ist doch t [mm]\to[/mm] (cos,-sint) und t [mm]\to[/mm] (cost,sint) und
> zwischen [mm][0,\pi][/mm] sollte es mir doch eigentlich möglich
> sein, diese in einem Einheitskreis darstellen zu können
> oder nicht???
>
> Für t [mm]\to[/mm] (cos,-sint) hätte ich nun einen Vollkreis und
> für t [mm]\to[/mm] (cost,sint) den oberen Halbkreis des
> Einheitskreises skizziert...
>
> mfg thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Mi 18.01.2012 | | Autor: | thadod |
Kein Problem... ich hatte ja gemerkt, dass das nicht geht... Deshalb ja auch nochmal die Nachfrage. Aber nun zu meiner eigentlichen Frage:
Ich hatte jetzt an sowas wie den Einheitskreis gedacht.
es ist doch t $ [mm] \to [/mm] $ (cos,-sint) und t $ [mm] \to [/mm] $ (cost,sint) und
zwischen $ [mm] [0,\pi] [/mm] $ sollte es mir doch eigentlich möglich
sein, diese in einem Einheitskreis darstellen zu können
oder nicht???
Für t $ [mm] \to [/mm] $ (cos,-sint) hätte ich nun einen Vollkreis und
für t $ [mm] \to [/mm] $ (cost,sint) den oberen Halbkreis des
Einheitskreises skizziert...
mfg thadod
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> Kein Problem... ich hatte ja gemerkt, dass das nicht
> geht... Deshalb ja auch nochmal die Nachfrage. Aber nun zu
> meiner eigentlichen Frage:
Die ich beantwortet hatte ;)
>
>
> Ich hatte jetzt an sowas wie den Einheitskreis gedacht.
Das ist soweit korrekt, da der Radius konst bleibt mit [mm] $r^2=1$
[/mm]
>
> es ist doch t [mm]\to[/mm] (cos,-sint) und t [mm]\to[/mm] (cost,sint) und
> zwischen [mm][0,\pi][/mm] sollte es mir doch eigentlich möglich
> sein, diese in einem Einheitskreis darstellen zu können
> oder nicht???
ich hoffe es ;)
> Für t [mm]\to[/mm] (cos,-sint) hätte ich nun einen Vollkreis
> und
wieso? Siehe meine Vorherige Antwort:
"Leduart hat dich aber bereits darauf hingewiesen, dass $ [mm] \gamma_2 [/mm] $ gerade $ [mm] \gamma_1(-t) [/mm] $ ist, da der cos gerade ist. Damit kannst du schlecht einen Vollkreis erzielt haben, sondern eher einen oberen und unteren Halbkreis."
Einfach überlegen: von 0 bis [mm] $\pi$ [/mm] bedeutet von 0 bis 180°. Sind uns cos und sin gegeben, entspricht dies dem 1. und 2. Quadranten des Einheitskreises, die Kurve beschreibt also den oberen Einheitskreis.
Sind uns stattdessen aber cos und -sin gegeben, müssen wir nur die Koordinaten des sin herumdrehen! Oder aber wir sehen direkt, dass es die Kurve der anderen Funktion mit negativem Argument ist, also Spiegelung an der x-Achse. So oder so solltest du dann dahin kommen, dass cos und -sin den unteren Einheitskreis für 0 bis 180° beschreibt. Kos bleibt wie er ist, für sin nehmen wir aber nur negative Werte, also Quadranten 3 und 4
> für t [mm]\to[/mm] (cost,sint) den oberen Halbkreis des
> Einheitskreises skizziert...
>
> mfg thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mi 18.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke nochmal...
Ich habe nun mal meine Skizee hochgeladen... Ich hoffe du kannst mir daran meinen Denkfehler.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mein Problem:
> Sind uns stattdessen aber cos und -sin gegeben, müssen wir nur die Koordinaten des sin herumdrehen! Oder aber wir sehen direkt, dass es die Kurve der anderen Funktion mit negativem Argument ist, also Spiegelung an der x-Achse. So oder so solltest du dann dahin kommen, dass cos und -sin den unteren Einheitskreis für 0 bis 180° beschreibt.
Darf ich das Argument für cos(t) einfach umklappen? Um zum unteren Einheitskreis zu gelangen???
mfg thadod
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Mi 18.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich darfst du nicht den cos umklappen!
von t =0 bis [mm] \pi/2 [/mm] ist er positiv, die x Werte des unteren Halbkreises auch. der sin(t) ist für die gegebenen t immer pos, der -sin(t) also negativ. d.h. du hast um die x Achse gespiegelt, aber die Kurve wird bei [mm] \gamma_2 [/mm] auch im Uhrzeigersin (mathematisch negative Drehrichtung , bei [mm] \gamma_ [/mm] in pos Richtung durchlaufen.
Wenn du die Projektionen der funktionsgraphen ansehen willst, musst du den sin wie gehabt hinmalen, den cos aber um die y-Achse , weil er in x-Richtung geht.d.h. dü müsstest deine cos-Kurve um 90° nach rechts drehen, dein gestrichelten linien sind deshalb irreführend.
Gruss leduart
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