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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Do 24.02.2011 | | Autor: | pheips |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass durch
[mm]\sqrt{z} \sinh(\sqrt{z}) [/mm]
eine ganze Funktion gegeben ist. Bestimmen sie ihre Nullstellen und berechnen Sie das Kurvenintegral
[mm]\int_C z \frac{f'(z)}{f(z)} dz[/mm]
wobei C ein Kreis mit Radius 25 um den Ursprung bezeichnet. |
Servus!
Ich übe gerade für eine Klausur zur Funktionentheorie und bin dabei auf das angegebene Beispiel gestoßen, welches mir Probleme bereitet.
Für den ersten Teil der Aufgabe, bin ich folgendermaßen vorgegangen:
[mm]\sqrt{z} \sinh(\sqrt{z} ) = \frac{\sqrt{z}}{2}\left[e^{\sqrt{z}} - e^{-\sqrt{z}} \right]= \frac{\sqrt{z}}{2}\left[\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(\sqrt{z})^{n} }{n!} - \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-\sqrt{z})^{n} }{n!}\right]=[/mm]
[mm]
=\frac{\sqrt{z}}{2}\left[\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(\sqrt{z})^{2k} }{(2k)!} + \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(\sqrt{z})^{2k+1} }{(2k+1)!} - \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-\sqrt{z})^{2k} }{(2k)!} - \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-\sqrt{z})^{2k+1} }{(2k+1)!}\right] =[/mm]
[mm]=\frac{\sqrt{z}}{2}\left[\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(\sqrt{z})^{2k+1} }{(2k+1)!} - \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-\sqrt{z})^{2k+1} }{(2k+1)!}\right] =\frac{\sqrt{z}}{2}\left[\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^k \sqrt{z} }{(2k+1)!}-\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^k (-\sqrt{z}) }{(2k+1)!}\right]=[/mm]
[mm]=\frac{\sqrt{z}}{2}\left[2\sqrt{z} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^k }{(2k+1)!}\right] =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^{k+1} }{(2k+1)!} [/mm]
Da [mm]e^{z} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^{n} }{n!}[/mm] holomorph auf ganz [mm]\mathbb C[/mm] ist (das ist als bekannt anzunehmen), und konvergente Majorante für [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^{k+1} }{(2k+1)!} [/mm]
gilt auch, dass [mm]\sqrt{z} \sinh(\sqrt{z} )[/mm] holomorph auf ganz [mm]\mathbb C[/mm] und somit ganze Funktion.
Das sollte soweit noch stimmen (denke ich). Meine Frage dazu ist: geht es auch einfacher? Kann man nicht auch begründen, dass die Funktion ganz ist, da sie als Summe, Produkt und durch Konkatenation ganzer Funktionen dargestellt ist. Schließlich ist [mm]\sqrt{z}[/mm] doch auch ganz, oder?
Nun zur wichtigeren Frage:
Die Nullstellen sind in weiterer Folge, denke ich kein Problem. Jedoch mit dem Kurvenintegral hab ich ein Problem. Parametrisierung scheint mir hier viel zu kompliziert. Andere Möglichkeit wäre vermutlich der Residuensatz, wobei das wohl auch einiges an Rechenaufwand für die Berechnung der Residuen benötigen würde, oder? Jedenfalls würde das bedeuten jene Nullstellen zu verwenden, deren Betrag kleiner 25 ist. Für diese die Residuen berechnen, aufaddieren und mit i*2*pi multiplizieren.
Kann ich mir hier vllt. die logarithmische Ableitung zu Nutze machen für die Berechnung der Residuen? Wäre für jeden Ansatz dankbar.
Dank im voraus!
mfg
philipp
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Halllo pheips,
> Zeigen Sie, dass durch
>
> [mm]\sqrt{z} \sinh(\sqrt{z})[/mm]
>
> eine ganze Funktion gegeben ist. Bestimmen sie ihre
> Nullstellen und berechnen Sie das Kurvenintegral
>
> [mm]\int_C z \frac{f'(z)}{f(z)} dz[/mm]
>
> wobei C ein Kreis mit Radius 25 um den Ursprung
> bezeichnet.
> Servus!
>
> Ich übe gerade für eine Klausur zur Funktionentheorie und
> bin dabei auf das angegebene Beispiel gestoßen, welches
> mir Probleme bereitet.
>
> Für den ersten Teil der Aufgabe, bin ich folgendermaßen
> vorgegangen:
>
> [mm]\sqrt{z} \sinh(\sqrt{z} ) = \frac{\sqrt{z}}{2}\left[e^{\sqrt{z}} - e^{-\sqrt{z}} \right]= \frac{\sqrt{z}}{2}\left[\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(\sqrt{z})^{n} }{n!} - \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-\sqrt{z})^{n} }{n!}\right]=[/mm]
>
> [mm]
=\frac{\sqrt{z}}{2}\left[\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(\sqrt{z})^{2k} }{(2k)!} + \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(\sqrt{z})^{2k+1} }{(2k+1)!} - \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-\sqrt{z})^{2k} }{(2k)!} - \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-\sqrt{z})^{2k+1} }{(2k+1)!}\right] =[/mm]
>
> [mm]=\frac{\sqrt{z}}{2}\left[\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(\sqrt{z})^{2k+1} }{(2k+1)!} - \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-\sqrt{z})^{2k+1} }{(2k+1)!}\right] =\frac{\sqrt{z}}{2}\left[\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^k \sqrt{z} }{(2k+1)!}-\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^k (-\sqrt{z}) }{(2k+1)!}\right]=[/mm]
>
> [mm]=\frac{\sqrt{z}}{2}\left[2\sqrt{z} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^k }{(2k+1)!}\right] =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^{k+1} }{(2k+1)!}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Da [mm]e^{z} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^{n} }{n!}[/mm]
> holomorph auf ganz [mm]\mathbb C[/mm] ist (das ist als bekannt
> anzunehmen), und konvergente Majorante für
> [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^{k+1} }{(2k+1)!}[/mm]
> gilt
> auch, dass [mm]\sqrt{z} \sinh(\sqrt{z} )[/mm] holomorph auf ganz
> [mm]\mathbb C[/mm] und somit ganze Funktion.
>
> Das sollte soweit noch stimmen (denke ich). Meine Frage
> dazu ist: geht es auch einfacher? Kann man nicht auch
> begründen, dass die Funktion ganz ist, da sie als Summe,
> Produkt und durch Konkatenation ganzer Funktionen
> dargestellt ist. Schließlich ist [mm]\sqrt{z}[/mm] doch auch ganz,
> oder?
>
Nein, die Wurzelfunktion [mm]\wurzel{z}[/mm] ist keine ganze Funktion.
> Nun zur wichtigeren Frage:
> Die Nullstellen sind in weiterer Folge, denke ich kein
> Problem. Jedoch mit dem Kurvenintegral hab ich ein Problem.
> Parametrisierung scheint mir hier viel zu kompliziert.
> Andere Möglichkeit wäre vermutlich der Residuensatz,
> wobei das wohl auch einiges an Rechenaufwand für die
> Berechnung der Residuen benötigen würde, oder? Jedenfalls
> würde das bedeuten jene Nullstellen zu verwenden, deren
Es gibt doch nur eine Nullstelle.
> Betrag kleiner 25 ist. Für diese die Residuen berechnen,
> aufaddieren und mit i*2*pi multiplizieren.
> Kann ich mir hier vllt. die logarithmische Ableitung zu
> Nutze machen für die Berechnung der Residuen? Wäre für
> jeden Ansatz dankbar.
>
Untersuche den Integranden, ob dieser für diese Nullstelle,
wirklich einen Pol hat.
> Dank im voraus!
>
> mfg
> philipp
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Do 24.02.2011 | | Autor: | pheips |
Erstmal vielen Dank für deine rasche Antwort.
>
> Nein, die Wurzelfunktion [mm]\wurzel{z}[/mm] ist keine ganze
> Funktion.
Alles klar! Aber meine Begründung mit der konvergenten Majorante stimmt, oder?
> Es gibt doch nur eine Nullstelle.
Hmm, ich finde zumindest [mm] -pi^2 [/mm] und 0 als Nullstellen, die innerhalb des Kreises liegen.
lG
pheips
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Hallo pheips,
> Erstmal vielen Dank für deine rasche Antwort.
>
> >
> > Nein, die Wurzelfunktion [mm]\wurzel{z}[/mm] ist keine ganze
> > Funktion.
>
> Alles klar! Aber meine Begründung mit der konvergenten
> Majorante stimmt, oder?
Ja.
>
> > Es gibt doch nur eine Nullstelle.
> Hmm, ich finde zumindest [mm]-pi^2[/mm] und 0 als Nullstellen, die
Ok, da hab ich wohl was übersehen.
> innerhalb des Kreises liegen.
Dann berechne an dieser Stelle das Residuum.
>
> lG
> pheips
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Do 24.02.2011 | | Autor: | pheips |
Noch einmal vielen Dank! Das Residuum berechnen ist dann hier doch nicht mehr so schwer, wie anfangs angenommen. Da kürzt sich Zähler und Nenner bis auf das z weg, wenn ich das richtig sehe. Jedoch nur dank der Tatsache, dass es ein Pol erster Ordnung ist. Das Integral ist damit [mm] -pi^2 [/mm] * (2*i*pi).
Du hast mir aber noch in anderer Richtung die Augen geöffnet. Ich gehe etwas zu sorglos mit der Bestimmung von Polstellen vor. Hätte da 0 auch als eine angesehen. Ich hab da meinen Taschenrechner als Hilfsmittel zur Grenzwertberechnung verwendet, und gesehen, dass der Ausdruck unter dem Integral für 0 nicht gegen unendlich geht. Ist Grenzwertberechnung in solchen Fällen immer das Mittel. Die Berechnung für den Ausdruck ist in diesem Fall recht kompliziert händisch zu rechnen, oder irre ich mich da?
Gibt es da vllt. schnellere Vorgehensweisen zu Beurteilung, ob man es mit einer Polstelle zu tun hat?
lG
Philipp
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Hallo pheips,
> Noch einmal vielen Dank! Das Residuum berechnen ist dann
> hier doch nicht mehr so schwer, wie anfangs angenommen. Da
> kürzt sich Zähler und Nenner bis auf das z weg, wenn ich
> das richtig sehe. Jedoch nur dank der Tatsache, dass es ein
> Pol erster Ordnung ist. Das Integral ist damit [mm]-pi^2[/mm] *
> (2*i*pi).
>
> Du hast mir aber noch in anderer Richtung die Augen
> geöffnet. Ich gehe etwas zu sorglos mit der Bestimmung von
> Polstellen vor. Hätte da 0 auch als eine angesehen. Ich
> hab da meinen Taschenrechner als Hilfsmittel zur
> Grenzwertberechnung verwendet, und gesehen, dass der
> Ausdruck unter dem Integral für 0 nicht gegen unendlich
> geht. Ist Grenzwertberechnung in solchen Fällen immer das
> Mittel. Die Berechnung für den Ausdruck ist in diesem Fall
> recht kompliziert händisch zu rechnen, oder irre ich mich
> da?
Hier mußt Du die Taylorreihen nicht berechnen,
sondern vielmehr bekannte Taylorreihen heranziehen,
um zu entscheiden ob es sich um eine Polstelle oder
eine hebbare Singularität handelt.
> Gibt es da vllt. schnellere Vorgehensweisen zu
> Beurteilung, ob man es mit einer Polstelle zu tun hat?
>
> lG
> Philipp
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Fr 25.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Eine Bemerkung zum Integral:
vielleicht habt Ihr das gehabt:
"das verallgemeinerte Argumentprinzip"
(siehe z.B. Ahlfors: Complex Analysis, Seite 152-153)
Ist K die offene Kreisscheibe um 0 mit Radius 25 und sind [mm] a_1,..,a_m [/mm] die Nullstellen von f, die in K liegen, so liefert obiges Argumentprinzip:
$ [mm] \int_C [/mm] z [mm] \frac{f'(z)}{f(z)} [/mm] dz = 2 [mm] \pi i*(a_1+...+a_m)$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 So 27.02.2011 | | Autor: | pheips |
Den Satz hatten wir leider nicht, aber man darf bei der Klausur auch andere Unterlagen verwenden. Vielen Dank jedenfalls! Das scheint sehr nützlich!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Fr 25.02.2011 | | Autor: | pheips |
> Nun zur wichtigeren Frage:
> Die Nullstellen sind in weiterer Folge, denke ich kein
> Problem.
Hab diese im Irrglauben, dass es ganz simpel ist, bislang den Taschenrechner übernehmen lassen. Aber ganz so simpel ist es ja nun doch nicht. Zumindest für mich. Zum einen ist die Wurzel ja prinzipiell mehrdeutig definiert. Weshalb man sich ja eigentlich von Beginn an für einen Zweig entscheiden muss. Tut man dies nicht, hätte man aufgrund der Quadratwurzel doppelt soviel Nullstellen, oder?
Mein Ansatz jedenfalls ist folgender:
[mm]\sinh(\sqrt{z}) = \sinh(Re(\sqrt{z}))\cos(Im(\sqrt{z})) + i \cosh(Re(\sqrt{z}))\sin(Im(\sqrt{z})) [/mm]
woraus folgt, dass
[mm]Re(\sqrt{z})=0[/mm]
[mm]Im(\sqrt{z})=k\pi[/mm]
Die Wurzel ist aber ja mehrdeutig definiert:
[mm]\sqrt{z} = \sqrt{r} (\cos(\frac{\gamma+2l\pi } {2}) + i\sin(\frac{\gamma+2l\pi } {2}))[/mm]
Also muss ich mich hier doch schonmal für ein konkretes [mm]l[/mm] entscheiden, oder? Je nachdem bekomme ich dann in weiterer Folge auch unterschiedliche Nullstellen und dementsprechend auch unterschiedliche Integralswerte. Entscheide ich mich für l=0, dann erhalte ich:
[mm]\sqrt{z} = \sqrt{r} (\cos(\frac{\gamma} {2}) + i\sin(\frac{\gamma} {2}))[/mm]
Also in Summe erhalte ich
[mm]\sqrt{r}\cos(\frac{\gamma} {2})=0[/mm]
[mm]\sqrt{r}\sin(\frac{\gamma} {2})=k\pi[/mm]
dann wäre doch
[mm]z=r(\cos(\gamma) + i \sin(\gamma))[/mm]
Und hier stehe ich an. Wie löse ich dieses System am besten auf, sodass ich z explizit in Abhängigkeit von k erhalte.
Ebenfalls würden ja für l=1, bei der Definition der Wurzel, andere z als Nullstellen resultieren. Ich muss mich dann aber für die Berechnung des Integrals für einen Zweig entscheiden, und darf nicht sämtliche Nullstellen, die entweder durch l=0 oder l= 1 entstanden sind (und im Kreis liegen), oder?
Vielen Dank im voraus!
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Hallo pheips,
> > Nun zur wichtigeren Frage:
> > Die Nullstellen sind in weiterer Folge, denke ich kein
> > Problem.
>
> Hab diese im Irrglauben, dass es ganz simpel ist, bislang
> den Taschenrechner übernehmen lassen. Aber ganz so simpel
> ist es ja nun doch nicht. Zumindest für mich. Zum einen
> ist die Wurzel ja prinzipiell mehrdeutig definiert. Weshalb
> man sich ja eigentlich von Beginn an für einen Zweig
> entscheiden muss. Tut man dies nicht, hätte man aufgrund
> der Quadratwurzel doppelt soviel Nullstellen, oder?
>
> Mein Ansatz jedenfalls ist folgender:
>
> [mm]\sinh(\sqrt{z}) = \sinh(Re(\sqrt{z}))\cos(Im(\sqrt{z})) + i \cosh(Re(\sqrt{z}))\sin(Im(\sqrt{z}))[/mm]
>
> woraus folgt, dass
> [mm]Re(\sqrt{z})=0[/mm]
> [mm]Im(\sqrt{z})=k\pi[/mm]
>
> Die Wurzel ist aber ja mehrdeutig definiert:
> [mm]\sqrt{z} = \sqrt{r} (\cos(\frac{\gamma+2l\pi } {2}) + i\sin(\frac{\gamma+2l\pi } {2}))[/mm]
Das Resultat lautet doch:
[mm]\wurzel{z}=0+i*k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
Damit musst Du nur quadrieren um das z zu erhalten.
>
> Also muss ich mich hier doch schonmal für ein konkretes [mm]l[/mm]
> entscheiden, oder? Je nachdem bekomme ich dann in weiterer
> Folge auch unterschiedliche Nullstellen und dementsprechend
> auch unterschiedliche Integralswerte. Entscheide ich mich
> für l=0, dann erhalte ich:
>
> [mm]\sqrt{z} = \sqrt{r} (\cos(\frac{\gamma} {2}) + i\sin(\frac{\gamma} {2}))[/mm]
>
> Also in Summe erhalte ich
> [mm]\sqrt{r}\cos(\frac{\gamma} {2})=0[/mm]
>
> [mm]\sqrt{r}\sin(\frac{\gamma} {2})=k\pi[/mm]
>
> dann wäre doch
> [mm]z=r(\cos(\gamma) + i \sin(\gamma))[/mm]
>
> Und hier stehe ich an. Wie löse ich dieses System am
> besten auf, sodass ich z explizit in Abhängigkeit von k
> erhalte.
>
> Ebenfalls würden ja für l=1, bei der Definition der
> Wurzel, andere z als Nullstellen resultieren. Ich muss mich
> dann aber für die Berechnung des Integrals für einen
> Zweig entscheiden, und darf nicht sämtliche Nullstellen,
> die entweder durch l=0 oder l= 1 entstanden sind (und im
> Kreis liegen), oder?
>
> Vielen Dank im voraus!
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Fr 25.02.2011 | | Autor: | pheips |
> Das Resultat lautet doch:
>
> [mm]\wurzel{z}=0+i*k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
>
> Damit musst Du nur quadrieren um das z zu erhalten.
Da hab ich anscheinend viel zu kompliziert gedacht. Dankeschön!
lG
pheips
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Fr 25.02.2011 | | Autor: | pheips |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass durch
[mm]f(z)=\cosh(\sqrt{z})[/mm]
eine ganze Funktion gegeben ist. Bestimmen sie ihre
Nullstellen und berechnen Sie das Kurvenintegral
[mm]\int_C \frac{f'(z)}{f(z)} dz[/mm]
wobei C ein Kreis mit Radius 25 um den Ursprung
bezeichnet. |
Ich hab jetzt noch ein ähnliches Beispiel (siehe Angabe oben) gefunden, und wäre über eine Korrektur meiner Lösung dankbar. Damit ich mal sehe, ob ich das wirklich verstanden habe.
Der Beweis für den ersten Teil lauft analog wie im anderen Beispiel.
Für die Nullstellen von
[mm]\cosh(\sqrt{z})[/mm]
erhalte ich folgende Ergebnisse:
[mm]\wurzel{z}=\frac{2k+1}{2}\pi i , \ k \in \IZ[/mm]
bzw.
[mm]z=-\frac{(2k+1)^2}{4}\pi^2 , \ k \in \IZ[/mm]
Die Nullstellen die dem Betrage nach kleiner als 25 sind, sind 2 Stück:
[mm]\frac{-\pi ^2}{4}[/mm]
[mm]\frac{-9\pi ^2}{4} [/mm]
Nach dem Prinzip vom Argument ist dann das Integral
[mm]2\pi i (#Nullstellen) = 4\pi i[/mm]
Stimmt das, oder habe ich mich irgendwo vertan?
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Hallo pheips,
> Zeigen Sie, dass durch
>
> [mm]f(z)=\cosh(\sqrt{z})[/mm]
>
> eine ganze Funktion gegeben ist. Bestimmen sie ihre
> Nullstellen und berechnen Sie das Kurvenintegral
>
> [mm]\int_C \frac{f'(z)}{f(z)} dz[/mm]
>
> wobei C ein Kreis mit Radius 25 um den Ursprung
> bezeichnet.
> Ich hab jetzt noch ein ähnliches Beispiel (siehe Angabe
> oben) gefunden, und wäre über eine Korrektur meiner
> Lösung dankbar. Damit ich mal sehe, ob ich das wirklich
> verstanden habe.
>
> Der Beweis für den ersten Teil lauft analog wie im anderen
> Beispiel.
>
> Für die Nullstellen von
> [mm]\cosh(\sqrt{z})[/mm]
>
> erhalte ich folgende Ergebnisse:
> [mm]\wurzel{z}=\frac{2k+1}{2}\pi i , \ k \in \IZ[/mm]
> bzw.
> [mm]z=-\frac{(2k+1)^2}{4}\pi^2 , \ k \in \IZ[/mm]
>
> Die Nullstellen die dem Betrage nach kleiner als 25 sind,
> sind 2 Stück:
> [mm]\frac{-\pi ^2}{4}[/mm]
> [mm]\frac{-9\pi ^2}{4}[/mm]
>
> Nach dem Prinzip vom Argument ist dann das Integral
> [mm]2\pi i (#Nullstellen) = 4\pi i[/mm]
>
> Stimmt das, oder habe ich mich irgendwo vertan?
Nach dem Residuensatz kommt dasselbe heraus.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 So 27.02.2011 | | Autor: | pheips |
Vielen Dank!
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:29 So 27.02.2011 | | Autor: | pheips |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Kurvenintegral
[mm]\int_C \! \Gamma(z)\frac{dz}{(z-2)(z-3)}[/mm]
Wobei [mm]C[/mm] gegeben ist durch [mm]| z+\frac{1}{2} | = 3[/mm] |
Ein letztes Beispiel (siehe oben) hätte ich noch gefunden. Dort hänge ich glaube ich bei der Residuen-Berechnung.
Als Polstellen erhalte ich
[mm]
z=2,
z=3
[/mm]
sowie
[mm]
z=-n, n \in \mathbb N_{0}
[/mm]
gegeben durch die [mm]\Gamma[/mm]-Funktion
Davon innerhalb des Kreises sind:
[mm]
z=2, z=0, z=-1, z=-2, z=-3
[/mm]
Als Residuum für [mm]z=2[/mm] erhalte ich:
[mm]-\Gamma(2)=-1[/mm]
Mein Problem ist nun die Residuenberechnung in den Polstellen der [mm]\Gamma[/mm]-Funktion. Die Residuen sind dort zwar gegeben durch:
[mm]
\frac{(-1)^n}{n!}[/mm]
aber wie kann ich daraus die Residuen in den Polstellen von
[mm]
\Gamma(z)\frac{1}{(z-2)(z-3)}[/mm]
berechnen?
Mein Tipp:
Ich verwende:
[mm]
Res_a (gf) = g(a) * Res_a(f)[/mm]
mit [mm]f(z)=\Gamma(z)[/mm] und [mm]g(z)=\frac{1}{(z-2)(z-3)}[/mm]
Ich hoffe ich darf das, aber laut Wiki, sollte es funktionieren, da g in den entsprechenden Punkten holomorph ist.
Dann erhalte ich als Residuen für die übrigen Polstellen:
[mm]
Res_0 = \frac{1}{6} \frac{1}{0!} = \frac{1}{6}
[/mm]
[mm]
Res_{-1} = \frac{1}{12} \frac{-1}{1!} = \frac{-1}{12}
[/mm]
[mm]
Res_{-2} = \frac{1}{20} \frac{1}{2!} = \frac{1}{40}
[/mm]
[mm]
Res_{-3} = \frac{1}{30} \frac{-1}{3!} = \frac{-1}{180}
[/mm]
Für das Integral erhalte ich dann:
[mm]
2i\pi[-1+\frac{1}{6}+\frac{-1}{12}+\frac{1}{40}+\frac{-1}{180}]=
2i\pi*\frac{-323}{360}=\frac{-323i\pi}{180}[/mm]
Hab ich da irgendwo einen Fehler gemacht?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Mi 02.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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