Kurvenintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Do 26.02.2009 | | Autor: | hayabusa |
| Aufgabe | Berechne [mm]\int_\alpha z*e^{z^2}dz[/mm] für [mm]\alpha[/mm].
[mm]\alpha[/mm] ist das Stück der Parabel mit der Gleichung [mm]y=x^2[/mm] zwischen den Punkten [mm]0[/mm] und [mm]1+i[/mm]. |
Mein Ansatz lautet :
[mm]\alpha(t)=t+t^2i, t\in[0,1]\subset \IR [/mm]
[mm] \alpha'(t)=1+2ti[/mm]
[mm]\int_\alpha z*e^{z^2}dz=\int_0^1 t(1+ti)*e^{t^2(1+ti)^2}*(1+2ti)dt=...[/mm]
Weiter weiß ich nicht. Es soll nicht der Residuensatz benutzt werden. Kann man vielleicht den Weg [mm]\alpha(t)[/mm] anders parametrisieren, sodass ein einfacheres Integral entsteht?
Gruß,
hayabusa.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Do 26.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechne [mm]\int_\alpha z*e^{z^2}dz[/mm] für [mm]\alpha[/mm].
>
> [mm]\alpha[/mm] ist das Stück der Parabel mit der Gleichung [mm]y=x^2[/mm]
> zwischen den Punkten [mm]0[/mm] und [mm]1+i[/mm].
> Mein Ansatz lautet :
> [mm]\alpha(t)=t+t^2i, t\in[0,1]\subset \IR [/mm]
>
> [mm]\alpha'(t)=1+2ti[/mm]
>
> [mm]\int_\alpha z*e^{z^2}dz=\int_0^1 t(1+ti)*e^{t^2(1+ti)^2}*(1+2ti)dt=...[/mm]
>
> Weiter weiß ich nicht. Es soll nicht der Residuensatz
> benutzt werden. Kann man vielleicht den Weg [mm]\alpha(t)[/mm]
> anders parametrisieren, sodass ein einfacheres Integral
> entsteht?
Der Integrand [mm] $f(z)=z*e^{z^2}$ [/mm] ist in ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorph, daher gibt es eine komplexe Stammfunktion F mit $F'(z)=f(z)$, und das Kurvenintegral hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab:
[mm] \int_\alpha z*e^{z^2}dz = F(\alpha(1)) -F(\alpha(0)) = F(1+i)-F(0) [/mm].
Du musst also nur die Stammfunktion finden.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Fr 27.02.2009 | | Autor: | hayabusa |
Leider weiß ich nicht, wie ich die Stammfunktion bei solch einem Integral finden soll.
> > [mm]\int_\alpha z*e^{z^2}dz=\int_0^1 t(1+ti)*e^{t^2(1+ti)^2}*(1+2ti)dt=...[/mm]
Kann man den Integranden noch vereinfachen?
Gruß,
hayabusa.
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Hallo hayabusa,
warum gehst Du denn nicht auf den Hinweis von rainerS ein? Die Stammfunktion [mm] \bruch{1}{2}e^{z^2} [/mm] ist doch schnell gefunden, und ich sehe nicht, inwiefern Du den Residuensatz dazu brauchst.
Dein Ansatz ist eher kompliziert zu rechnen. In jedem Fall würde ich den Integranden in Real- und Imaginärteil auftrennen. Was dann jeweils bleibt, ist deutlich einfacher zu erledigen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Fr 27.02.2009 | | Autor: | hayabusa |
Stimmt, jetzt sehe ich es auch !
Danke an euch
hayabusa
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