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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich hab nur mal kurz eine Frage zu Definitonen von Kurvenintegralen.
Die Definition geht ja wie folgt:
Es sei [mm] \gamma:[a,b]\to\IC [/mm] ein Integrationsweg und [mm] f:Sp(\gamma)\to\IC [/mm] eine stetige Funktion. Man setzt [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}=\integral_{a}^{b}{f(\gamma(t))*\gamma'(t) dt}. [/mm]
So, das ist alles klar. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann muss die Funktion, über die das Integral berechnet werden soll, als Definitionsbereich gerade die Spur des Weges haben.
So, nun hab ich hier einen Satz, da sieht es ein bisschen anders aus:
Es sei [mm] f:U\to\IC [/mm] eine stetige Funktion, die eine Stammfunktion besitzt. Dann gilt für jeden geschlossenen Integrationsweg [mm] \gamma [/mm] in U: [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}=0 [/mm]
So, im Wegintegral haben wir ja quasi den gleichen Fall - bis auf das der Weg geschlossen ist, aber das ist für mein Problem ja wuscht.
Wieso ist f hier nicht auch auf der Spur von [mm] \gamma [/mm] definiert? Laut Kurvenintegral-Definiton dachte ich, dass das Voraussetzung ist.
Oder ist [mm] Sp(\gamma) [/mm] in U enthalten?
Einen schönen Abend euch allen noch!
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Fr 27.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo zusammen!
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> Ich hab nur mal kurz eine Frage zu Definitonen von
> Kurvenintegralen.
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> Die Definition geht ja wie folgt:
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> Es sei [mm]\gamma:[a,b]\to\IC[/mm] ein Integrationsweg und
> [mm]f:Sp(\gamma)\to\IC[/mm] eine stetige Funktion. Man setzt
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}=\integral_{a}^{b}{f(\gamma(t))*\gamma'(t) dt}.[/mm]
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> So, das ist alles klar. Wenn ich das jetzt richtig
> verstanden habe, dann muss die Funktion, über die das
> Integral berechnet werden soll, als Definitionsbereich
> gerade die Spur des Weges haben.
>
> So, nun hab ich hier einen Satz, da sieht es ein bisschen
> anders aus:
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> Es sei [mm]f:U\to\IC[/mm] eine stetige Funktion, die eine
> Stammfunktion besitzt. Dann gilt für jeden geschlossenen
> Integrationsweg [mm]\gamma[/mm] in U: [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}=0[/mm]
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> So, im Wegintegral haben wir ja quasi den gleichen Fall -
> bis auf das der Weg geschlossen ist, aber das ist für mein
> Problem ja wuscht.
> Wieso ist f hier nicht auch auf der Spur von [mm]\gamma[/mm]
> definiert? Laut Kurvenintegral-Definiton dachte ich, dass
> das Voraussetzung ist.
> Oder ist [mm]Sp(\gamma)[/mm] in U enthalten?
Ja, denn da steht: "für jeden geschlossenen Integrationsweg [mm]\gamma[/mm] in U", also wird das vorausgesetzt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Ja, denn da steht: "für jeden geschlossenen Integrationsweg
> [mm]\gamma[/mm] in U", also wird das vorausgesetzt.
Welcher Teil der Aussage ist der wichtige Teil dafür, dass f auch auf [mm] Sp(\gamma) [/mm] definiert ist?
Nur die Aussage, dass es sich um einen Integrationsweg handelt, oder die Aussage, dass es sich um einen geschlossene Integrationsweg handelt?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Sa 28.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Nadine
> > Ja, denn da steht: "für jeden geschlossenen Integrationsweg
> > [mm]\gamma[/mm] in U", also wird das vorausgesetzt.
>
> Welcher Teil der Aussage ist der wichtige Teil dafür, dass
> f auch auf [mm]Sp(\gamma)[/mm] definiert ist?
>
> Nur die Aussage, dass es sich um einen Integrationsweg
> handelt, oder die Aussage, dass es sich um einen
> geschlossene Integrationsweg handelt?
Dass es ein Integrationsweg in U ist. Oder, wenn du so willst, dass es ein Integrationsweg in U. :)
Das ``geschlossen'' ist eine zusaetzliche Voraussetzung, damit der Satz stimmt, aber nicht dafuer dass der Ausdruck [mm] $\int_\gamma [/mm] f [mm] \; [/mm] dt$ definiert ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Kann ich also zusammenfassend sagen, dass wenn ich ein Kurvenintegral über [mm] \gamma [/mm] über eine Funktion f habe, dass dann f auf jeden Fall auf [mm] Sp(\gamma) [/mm] definiert ist?
Und für den Fall, dass die Funktionsvorschrift von f nicht von der Form [mm] f:Sp(\gamma)\to\IC [/mm] ist, sondern von der Form [mm] f:D\to\IC, [/mm] dnn ist damit automatisch die komplette Spur von [mm] \gamma [/mm] in D enthalten?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Mi 02.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Nadine!
> Kann ich also zusammenfassend sagen, dass wenn ich ein
> Kurvenintegral über [mm]\gamma[/mm] über eine Funktion f habe, dass
> dann f auf jeden Fall auf [mm]Sp(\gamma)[/mm] definiert ist?
Das meint man normalerweise.
Ganz selten schreibt man das auch mal, wenn $f$ nicht ueberall definiert ist, aber dann muss man normalerweise begruenden was das ganze eigentlich soll 
> Und für den Fall, dass die Funktionsvorschrift von f nicht
> von der Form [mm]f:Sp(\gamma)\to\IC[/mm] ist, sondern von der Form
> [mm]f:D\to\IC,[/mm] dnn ist damit automatisch die komplette Spur von
> [mm]\gamma[/mm] in D enthalten?
Ja, ansonsten macht das keinen Sinn das Kurvenintegral hinzuschreiben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
Vielen Dank - jetzt ist alles klar
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