Kurvenintegral < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Mo 21.04.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | | Berechne jeweils das Kurvenintegral [mm] \integral_{C}{\bruch{xdy - ydx}{x^2 + y^2}} [/mm] für einen einmal im mathematischen positiven Sinn durchlaufenen Kreis C vom Radius 1 und Mittelpunkt (0,0) bzw. (2,0). |
Hallo Mathefreunde,
ich blick bei diesem Thema noch gar nicht durch und muss aber diese Aufgabe irgendwie schaffen :-/ *please, help*
Könnt ihr mir bitte weiterhelfen und ein paar Tips geben?
Das Kurvenintegral ist bei uns im Skript folgendermaßen definiert:
Für I = {(x(t),y(t)): [mm] t_{0} \le [/mm] t [mm] \le t_{1}} [/mm] glatte Kurve im Def.bereich der Fkt. a(x,y) ist
[mm] \integral_{t_{0}}^{t_{1}}{a(x(t),y(t)) \bruch{dy}{dt}dt}
[/mm]
das Kurvenintegral.
Danke schon mal im Voraus für jeden Tip,
Lieben Gruß
Kittycat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Di 22.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo kittycat!
> Berechne jeweils das Kurvenintegral
> [mm]\integral_{C}{\bruch{xdy - ydx}{x^2 + y^2}}[/mm] für einen
> einmal im mathematischen positiven Sinn durchlaufenen Kreis
> C vom Radius 1 und Mittelpunkt (0,0) bzw. (2,0).
> Hallo Mathefreunde,
>
> ich blick bei diesem Thema noch gar nicht durch und muss
> aber diese Aufgabe irgendwie schaffen :-/ *please, help*
>
> Könnt ihr mir bitte weiterhelfen und ein paar Tips geben?
>
> Das Kurvenintegral ist bei uns im Skript folgendermaßen
> definiert:
> Für [mm]I = \{(x(t),y(t)): t_{0} \le t \le t_{1}\}[/mm] glatte Kurve
> im Def.bereich der Fkt. a(x,y) ist
> [mm]\integral_{t_{0}}^{t_{1}}{a(x(t),y(t)) \bruch{dy}{dt}dt}[/mm]
>
> das Kurvenintegral.
Als erstes musst du die eine Parameterdarstellung deiner Kurve, also des Kreises C mit Radius 1 und Mittelpunkt (0,0) überlegen. Wie kannst du diesen Kreis in der Form
[mm] \vektor{x(t)\\y(t)} [/mm]
beschreiben?
Dann schreibst du dir das Kurvenintegral am besten auch in Vektorform:
[mm] \integral_{C}{ \left(\bruch{-y}{x^2+y^2}, \bruch{x}{x^2+y^2}\right) * \vektor{\bruch{dx}{dt} \\ \bruch{dy}{dt}} dt} [/mm].
Und dann setzt du deine Kurve ein. Übrig bleibt ein ganz normales Integral.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Di 22.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Rainer,
zuerst einmal, vielen vielen Dank für deine Hilfe und den Tip 
> Als erstes musst du dir eine Parameterdarstellung deiner
> Kurve, also des Kreises C mit Radius 1 und Mittelpunkt
> (0,0) überlegen. Wie kannst du diesen Kreis in der Form
>
> [mm]\vektor{x(t)\\y(t)}[/mm]
>
> beschreiben?
Dies ist doch der Einheitskreis?!? Also kann ich ich ihn mithilfe der Polarkoordinaten beschreiben:
[mm]\vektor{x(t)\\y(t)}[/mm] = [mm] \vektor{cos(\phi)\\sin(\phi)}
[/mm]
wobei für [mm] \phi [/mm] gilt: [mm] 0\le \phi [/mm] < [mm] 2\pi
[/mm]
> Dann schreibst du dir das Kurvenintegral am besten auch in
> Vektorform:
>
> [mm]\integral_{C}{ \left(\bruch{-y}{x^2+y^2}, \bruch{x}{x^2+y^2}\right) * \vektor{\bruch{dx}{dt} \\ \bruch{dy}{dt}} dt} [/mm].
>
> Und dann setzt du deine Kurve ein. Übrig bleibt ein ganz
> normales Integral.
Ist mein [mm] \phi [/mm] also hier dein t, oder wo taucht das auf?
Stimmt das dann so?
[mm]\integral_{C}{ \left(\bruch{-sin \phi}{(cos \phi)^2+(sin \phi)^2}, \bruch{cos \phi}{(cos \phi)^2+(sind \phi)^2}\right) * \vektor{\bruch{dx}{dt} \\ \bruch{dy}{dt}} dt} [/mm]
und [mm] sin^2 \phi [/mm] + [mm] cos^2 \phi [/mm] =1
also muss ich praktisch das Integral von sin und cos berechnen, oder lieg ich da falsch?
Würde mich über eine Antwort sehr freund, Danke!
Liebe Grüße
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Rainer,
>
> zuerst einmal, vielen vielen Dank für deine Hilfe und den
> Tip
>
> > Als erstes musst du dir eine Parameterdarstellung deiner
> > Kurve, also des Kreises C mit Radius 1 und Mittelpunkt
> > (0,0) überlegen. Wie kannst du diesen Kreis in der Form
> >
> > [mm]\vektor{x(t)\\y(t)}[/mm]
> >
> > beschreiben?
>
> Dies ist doch der Einheitskreis?!? Also kann ich ich ihn
> mithilfe der Polarkoordinaten beschreiben:
>
> [mm]\vektor{x(t)\\y(t)}[/mm] = [mm]\vektor{cos(\phi)\\sin(\phi)}[/mm]
>
> wobei für [mm]\phi[/mm] gilt: [mm]0\le \phi[/mm] < [mm]2\pi[/mm]
>
> > Dann schreibst du dir das Kurvenintegral am besten auch in
> > Vektorform:
> >
> > [mm]\integral_{C}{ \left(\bruch{-y}{x^2+y^2}, \bruch{x}{x^2+y^2}\right) * \vektor{\bruch{dx}{dt} \\ \bruch{dy}{dt}} dt} [/mm].
>
> >
> > Und dann setzt du deine Kurve ein. Übrig bleibt ein ganz
> > normales Integral.
>
> Ist mein [mm]\phi[/mm] also hier dein t, oder wo taucht das auf?
>
> Stimmt das dann so?
>
> [mm]\integral_{C}{ \left(\bruch{-sin \phi}{(cos \phi)^2+(sin \phi)^2}, \bruch{cos \phi}{(cos \phi)^2+(sind \phi)^2}\right) * \vektor{\bruch{dx}{dt} \\ \bruch{dy}{dt}} dt}[/mm]
>
> und [mm]sin^2 \phi[/mm] + [mm]cos^2 \phi[/mm] =1
>
> also muss ich praktisch das Integral von sin und cos
> berechnen, oder lieg ich da falsch?
Erstmal musst Du den Ausdruck
[mm]\left(\bruch{-sin \phi}{(cos \phi)^2+(sin \phi)^2}, \bruch{cos \phi}{(cos \phi)^2+(sind \phi)^2}\right) * \vektor{\bruch{dx}{dt} \\ \bruch{dy}{dt}}[/mm]
berechnen.
Dann kannste das Integral auswerten.
>
> Würde mich über eine Antwort sehr freund, Danke!
>
> Liebe Grüße
> Kittycat
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Di 22.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
> Erstmal musst Du den Ausdruck
>
> [mm]\left(\bruch{-sin \phi}{(cos \phi)^2+(sin \phi)^2}, \bruch{cos \phi}{(cos \phi)^2+(sind \phi)^2}\right) * \vektor{\bruch{dx}{dt} \\ \bruch{dy}{dt}}[/mm]
>
> berechnen.
>
> Dann kannste das Integral auswerten.
Ja, genau das ist leider mein Problem :-(
Ich hab es so umgeschrieben:
(-sin [mm] \phi, [/mm] cos [mm] \phi) \vektor {\bruch{dx}{dt} \\ \bruch{dy}{dt}}
[/mm]
Mein Problem ist der hintere Vektor [mm] \vektor {\bruch{dx}{dt} \\ \bruch{dy}{dt}}
[/mm]
Denn ich habe ja kein t und kein x bzw. y mehr in dem Integral stehen?!?
Ich glaub ich steh ganz schön auf dem Schlauch .... *help*
Lg Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
>
> > Erstmal musst Du den Ausdruck
> >
> > [mm]\left(\bruch{-sin \phi}{(cos \phi)^2+(sin \phi)^2}, \bruch{cos \phi}{(cos \phi)^2+(sind \phi)^2}\right) * \vektor{\bruch{dx}{dt} \\ \bruch{dy}{dt}}[/mm]
>
> >
> > berechnen.
> >
> > Dann kannste das Integral auswerten.
>
> Ja, genau das ist leider mein Problem :-(
> Ich hab es so umgeschrieben:
>
> (-sin [mm]\phi,[/mm] cos [mm]\phi) \vektor {\bruch{dx}{dt} \\ \bruch{dy}{dt}}[/mm]
>
> Mein Problem ist der hintere Vektor [mm]\vektor {\bruch{dx}{dt} \\ \bruch{dy}{dt}}[/mm]
>
> Denn ich habe ja kein t und kein x bzw. y mehr in dem
> Integral stehen?!?
Das [mm]\phi[/mm] sollte ein t sein.
Korrekt lautet dann die Parameterdarstellung:
[mm] \vektor{x(t)\\y(t)} = \vektor{cos(t)\\sin(t)} [/mm]
Damit kommst Du jetzt bestimmt weiter.
>
> Ich glaub ich steh ganz schön auf dem Schlauch .... *help*
>
> Lg Kittycat
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 22.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Oder muss ich einfach die Ableitung für die Koordinaten der Parameterdarstellung bilden?
d.h.
[mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] = (x(t))' = (cos [mm] \phi)' [/mm] = - sin [mm] \phi
[/mm]
und
[mm] \bruch{dy}{dt} [/mm] = (y(t))' = (sin [mm] \phi)' [/mm] = cos [mm] \phi
[/mm]
und dies dann einsetzen in den Ausdruck:
(-sin [mm] \phi, [/mm] cos [mm] \phi) \vektor{- sin \phi \\ cos \phi}
[/mm]
= (- sin [mm] \phi)^2 [/mm] + (cos [mm] \phi)^2
[/mm]
=1
Stimmt das so?
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Hallo kittycat,
> Oder muss ich einfach die Ableitung für die Koordinaten der
> Parameterdarstellung bilden?
>
> d.h.
>
> [mm]\bruch{dx}{dt}[/mm] = (x(t))' = (cos [mm]\phi)'[/mm] = - sin [mm]\phi[/mm]
>
> und
>
> [mm]\bruch{dy}{dt}[/mm] = (y(t))' = (sin [mm]\phi)'[/mm] = cos [mm]\phi[/mm]
>
> und dies dann einsetzen in den Ausdruck:
>
> (-sin [mm]\phi,[/mm] cos [mm]\phi) \vektor{- sin \phi \\ cos \phi}[/mm]
>
> = (- sin [mm]\phi)^2[/mm] + (cos [mm]\phi)^2[/mm]
>
> =1
>
> Stimmt das so?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Di 22.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
juhuuu, ich habs raus Vielen Dank!
Nun habe ich das Integral
[mm] \integral_{C}{1 dt} [/mm] = t
Muss ich jetzt den Mittelpunkt als Grenze einsetzen? Oder ist das schon alles, was in der Aufgabe verlangt war? Aber eigentlich muss ja schon eine Zahl bestimmt rauskommen, oder?
Und dann:
Muss ich für den Kreis C vom Radius 1 und dem Mittelpunkt (2,0) getrennt das Integral berechnen? Wobei der Kreis um (2,0), ja dann nicht mehr der Einheitskreis ist und ich ja dann nicht mehr die Polarkoordinaten nehmen kann, um die Parameterdarstellung aufzuschreiben. Wie soll ich denn das dann machen?
Liebe Grüße
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
>
> juhuuu, ich habs raus Vielen Dank!
>
> Nun habe ich das Integral
>
> [mm]\integral_{C}{1 dt}[/mm] = t
>
> Muss ich jetzt den Mittelpunkt als Grenze einsetzen? Oder
> ist das schon alles, was in der Aufgabe verlangt war? Aber
> eigentlich muss ja schon eine Zahl bestimmt rauskommen,
> oder?
Da die Kurve C der ganze Kreis ist, läuft t von 0 bis [mm]2 \pi[/mm]
>
> Und dann:
> Muss ich für den Kreis C vom Radius 1 und dem Mittelpunkt
> (2,0) getrennt das Integral berechnen? Wobei der Kreis um
> (2,0), ja dann nicht mehr der Einheitskreis ist und ich ja
> dann nicht mehr die Polarkoordinaten nehmen kann, um die
> Parameterdarstellung aufzuschreiben. Wie soll ich denn das
> dann machen?
Es ist dann
[mm]x\left(t\right)=2+\cos\left(t\right)[/mm]
[mm]y\left(t\right)=0+\sin\left(t\right)[/mm]
>
> Liebe Grüße
> Kittycat
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Di 22.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
vielen, vielen lieben Dank für das schnelle Antworten
Die Aufgabe sieht jetzt, wo ich es endlich verstanden habe, gar nicht mal so schwer aus.
Also, nun habe ich folgendes:
x(t)=2+cos(t)
y(t)=0+sin(t)
[mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] = - sin(t)
[mm] \bruch{dy}{dt} [/mm] = cos (t)
[mm] \integral_{C}{(\bruch{-sin(t)}{(2+cos(t))^2 + (sin(t))^2}, \bruch{2+cos(t)}{(2+cos(t))^2 + (sin(t))^2} \vektor{-sin(t) \\ cos(t)} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{C}{(\bruch{-sin(t)}{5 +4 cos(t)}, \bruch{2+cos(t)}{5 +4 cos(t} \vektor{-sin(t) \\ cos(t)} dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{sin^2 + 2cos(t) + cos^2}{5+4cos(t)} dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1+2cos(t)}{5+4cos(t)}dt}
[/mm]
Wie löst man nun so ein Integral auf? Gibt es da einen Trick dabei, auf den ich jetzt nicht komme?
Liebe Grüße
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
>
> vielen, vielen lieben Dank für das schnelle Antworten
> Die Aufgabe sieht jetzt, wo ich es endlich verstanden
> habe, gar nicht mal so schwer aus.
>
> Also, nun habe ich folgendes:
>
> x(t)=2+cos(t)
> y(t)=0+sin(t)
>
> [mm]\bruch{dx}{dt}[/mm] = - sin(t)
> [mm]\bruch{dy}{dt}[/mm] = cos (t)
>
> [mm]\integral_{C}{(\bruch{-sin(t)}{(2+cos(t))^2 + (sin(t))^2}, \bruch{2+cos(t)}{(2+cos(t))^2 + (sin(t))^2} \vektor{-sin(t) \\ cos(t)} dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{C}{(\bruch{-sin(t)}{5 +4 cos(t)}, \bruch{2+cos(t)}{5 +4 cos(t} \vektor{-sin(t) \\ cos(t)} dt}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{sin^2 + 2cos(t) + cos^2}{5+4cos(t)} dt}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1+2cos(t)}{5+4cos(t)}dt}[/mm]
>
> Wie löst man nun so ein Integral auf? Gibt es da einen
> Trick dabei, auf den ich jetzt nicht komme?
Erstmal Zähler durch Nenner dividieren.
Dann ist nur noch das Integral
[mm]-\bruch{3}{2}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{5+4cos(t)}dt}[/mm]
zu lösen.
Dies löst man durch eine geeignete Substitution:
[mm]\tan\left(\bruch{t}{2}\right)=u[/mm]
[mm]\Rightarrow dt = \bruch{2}{1+u^{2}} \ du[/mm]
Dann ist
[mm]\cos\left(t\right)=\bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}}[/mm]
>
> Liebe Grüße
> Kittycat
>
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mi 23.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower!
Wie soll man auf folgendes Integral kommen? Ich hab jetzt hin und her gerechnet, aber ich komm echt nicht da drauf... :-(
> Erstmal Zähler durch Nenner dividieren.
>
> Dann ist nur noch das Integral
>
> [mm]-\bruch{3}{2}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{5+4cos(t)}dt}[/mm]
>
> zu lösen.
Bzw. stimmt mein Integral, meine Rechnung vorher überhaupt?
Vielen, vielen Dank für deine Tips
Liebe Grüße
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower!
>
> Wie soll man auf folgendes Integral kommen? Ich hab jetzt
> hin und her gerechnet, aber ich komm echt nicht da drauf...
> :-(
>
> > Erstmal Zähler durch Nenner dividieren.
> >
> > Dann ist nur noch das Integral
> >
> > [mm]-\bruch{3}{2}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{5+4cos(t)}dt}[/mm]
> >
> > zu lösen.
>
> Bzw. stimmt mein Integral, meine Rechnung vorher
> überhaupt?
Ja.
Es ist [mm]\bruch{2*\cos\left(t)+1}{4*\cos\left(t\right)+5}=\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2}*\bruch{1}{4*\cos\left(t\right)+5}[/mm]
>
>
> Vielen, vielen Dank für deine Tips
>
> Liebe Grüße
> Kittycat
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mi 23.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Sorry, Mathepower :-(
irgendwie kann ich deinem Gedankenschritt nicht folgen ...
Ich habe doch stehen
[mm] \bruch{2*cos(t)+1}{4*cos(t)+5}
[/mm]
Dies könnte ich auseinanderziehen:
[mm] \bruch{2*cos(t)}{4*cos(t)+5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4*cos(t)+5}
[/mm]
Wie komme ich nach deiner Rechnung auf [mm] \bruch{1}{2}?
[/mm]
Ich kann doch nur kürzen, wenn ich im Nenner in jedem Summand dasselbe wegkürzen kann bzw. wenn im Nenner das selbe oder ein Mehrfaches von oben steht, das ist aber hier ja nicht der Fall.
Könntest du mir erklären, wie du auf
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}\bruch{1}{4*cos(t)+5}
[/mm]
dies hier kommst? *please*
Lg Kittycat
Sorry, dass ich wahrscheinlich etwas so triviales nicht verstehe :-(
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Hallo kittycat,
> Sorry, Mathepower :-(
> irgendwie kann ich deinem Gedankenschritt nicht folgen
> ...
>
> Ich habe doch stehen
> [mm]\bruch{2*cos(t)+1}{4*cos(t)+5}[/mm]
>
> Dies könnte ich auseinanderziehen:
> [mm]\bruch{2*cos(t)}{4*cos(t)+5}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4*cos(t)+5}[/mm]
>
> Wie komme ich nach deiner Rechnung auf [mm]\bruch{1}{2}?[/mm]
> Ich kann doch nur kürzen, wenn ich im Nenner in jedem
> Summand dasselbe wegkürzen kann bzw. wenn im Nenner das
> selbe oder ein Mehrfaches von oben steht, das ist aber hier
> ja nicht der Fall.
>
> Könntest du mir erklären, wie du auf
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{2}\bruch{1}{4*cos(t)+5}[/mm]
> dies hier kommst? *please*
Ich habe den Zähler [mm]2*\cos\left(t\right)+1[/mm] durch den Nenner [mm]4*\cos\left(t\right)+5[/mm] dividert.
[mm]2*\cos\left(t\right)+1=\bruch{1}{2}*\left(4*\cos\left(t\right)+5\right)-\bruch{3}{2}[/mm]
Division durch den Nenner liefert:
[mm]\bruch{2*\cos\left(t\right)+1}{4*cos(t)+5}=\bruch{1}{2} - \bruch{3}{2} \ \bruch{1}{4*cos(t)+5}[/mm]
>
> Lg Kittycat
>
> Sorry, dass ich wahrscheinlich etwas so triviales nicht
> verstehe :-(
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Do 24.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
... ahhhh, jetzt hab ichs gecheckt [danke... und nochmal sorry]
Hast du für das Kurvenintegral zufällig auch [mm] \bruch{2}{5} \pi [/mm] raus?
Meine Rechnung sieht nun so aus:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2} - \bruch{3}{2} \bruch{1}{5+4cos(t)}dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2}dt} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{5+4cos(t)}dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2}dt} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{2}{5}\bruch{1}{1+u^2} + \bruch{1}{2} \bruch{1}{1-u^2}du}
[/mm]
= [mm] [\bruch{1}{2}x] [/mm] - [mm] \bruch{3}{2} \bruch{2}{5} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{1+u^2}du} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2} \bruch{1}{2} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{u^2 - 1}du}
[/mm]
= ... (Partialbruchzerlegung im hinteren Term)
= [mm] \pi [/mm] - [mm] \bruch{3}{5} [/mm] [arctan(u)] + [mm] \bruch{3}{4} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{-1}{2}\bruch{1}{u+1} + \bruch{1}{2}\bruch{1}{u-1}du}
[/mm]
= ... (Rücksubstitution)
= [mm] \pi [/mm] - [mm] \bruch{3}{5} \pi [/mm] + [mm] \bruch{3}{8} [/mm] [ln [mm] (\bruch{tan(t/2) - 1}{tan(t/2) + 1}]
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] - [mm] \bruch{3}{5} \pi [/mm]
[mm] =\bruch{2}{5} \pi
[/mm]
Stimmt das so? Bin ich richtig vorgegangen?
Liebe Grüße
Kittycat
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Hallo kittycat
> Hast du für das Kurvenintegral zufällig auch [mm]\bruch{2}{5} \pi[/mm]
> raus?
nein, ich krieg was anderes.
>
> Meine Rechnung sieht nun so aus:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2} - \bruch{3}{2} \bruch{1}{5+4cos(t)}dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2}dt}[/mm] - [mm]\bruch{3}{2} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{5+4cos(t)}dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2}dt}[/mm] - [mm]\bruch{3}{2} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{2}{5}\bruch{1}{1+u^2} + \bruch{1}{2} \bruch{1}{1-u^2}du}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
..........................
> = ... (Partialbruchzerlegung im hinteren Term)
es wird keine Partialbruchzerlegung gebraucht, weil gar kein [mm]\bruch{1}{1-u^2}[/mm] entsteht
Schau dir die Substitution (Übergang von t zu u) nochmals genau an!
Liebe Grüße
Al-Ch.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Do 24.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Al-Ch.,
> > Hast du für das Kurvenintegral zufällig auch [mm]\bruch{2}{5} \pi[/mm]
> > raus?
>
> nein, ich krieg was anderes.
>
> >
> > Meine Rechnung sieht nun so aus:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2} - \bruch{3}{2} \bruch{1}{5+4cos(t)}dt}[/mm]
>
> >
> > = [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2}dt}[/mm] - [mm]\bruch{3}{2} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{5+4cos(t)}dt}[/mm]
>
> >
> > = [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2}dt}[/mm] - [mm]\bruch{3}{2} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{2}{5}\bruch{1}{1+u^2} + \bruch{1}{2} \bruch{1}{1-u^2}du}[/mm]
>
>
> ..........................
>
> > = ... (Partialbruchzerlegung im hinteren Term)
>
> es wird keine Partialbruchzerlegung gebraucht, weil gar
> kein [mm]\bruch{1}{1-u^2}[/mm] entsteht
>
> Schau dir die Substitution (Übergang von t zu u) nochmals
> genau an!
He, also ich weiß nicht wie du die Substitution durchgeführt hast, aber ich habe für cos(t) [mm] \bruch{1- u^2}{1 + u^2} [/mm] und für dt [mm] \bruch{2 du}{1+u^2} [/mm] eingesetzt ... und wenn ich das dann kürze, dann erhalte ich einen Term mit 1- [mm] u^2:
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{2}{5}\bruch{1}{1 + u^2} + \bruch{1}{2}\bruch{1}{1 - u^2}}
[/mm]
Den ersten Term kann ich ja dann einfach mit arctan integrieren aber den zweiten Term muss ich doch erstmal umschreiben und dann mit Partialbruchzerlegung aufteilen, damit ich den ln integrieren kann, oder?
Liebe Grüße
Kittycat
p.s.: Vielleicht kannst du es ja mal reinposten, Al-Ch, damit ich sehen kann wie du vorgegangen bist
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> > > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2} - \bruch{3}{2} \bruch{1}{5+4cos(t)}dt}[/mm]
>
> >
> > > = [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2}dt}[/mm] - [mm]\bruch{3}{2} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{5+4cos(t)}dt}[/mm]
> >
> > >
> >
> > Schau dir die Substitution (Übergang von t zu u) nochmals
> > genau an!
>
> He, also ich weiß nicht wie du die Substitution
> durchgeführt hast, aber ich habe für cos(t) [mm]\bruch{1- u^2}{1 + u^2}[/mm]
> und für dt [mm]\bruch{2 du}{1+u^2}[/mm] eingesetzt ...
richtig, dies sähe aber dann so aus (nur das hintere Integral ohne den Faktor [mm] \bruch{-3}{2}):
[/mm]
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{5+4cos(t)}dt}[/mm]
= [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{5+4\bruch{1- u^2}{1 + u^2}}*\bruch{2 du}{1+u^2}}[/mm] = [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{2}{5*(1+u^2)+4*(1 - u^2)}* du[/mm]
Anschliessend den Nenner zusammenfassen. Dann hilft noch eine weitere kleine
Substitution: [mm] u = 3v, du = 3 dv [/mm]
.....und dann sollte sich (mittels arctan) endlich alles in Wonne auflösen!
> Liebe Grüße Al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Do 24.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Al-Ch.,
Vielen Dank für deine Antwort ... irgendwie bin ich immer noch leicht skeptisch. Darf man zwei Substitutionen hintereinander ausführen und wenn ja, setzte ich die Grenzen dann wirklich erst dann ein, wenn ich rücksubstituiert habe?
Habs jetzt nach deinem Tip durchgerechnet ...
komm dann auf das Kurvenintegral von [mm] \pi.
[/mm]
Stimmt das dann?
Müsst das Kurvenintegral aber nicht eingentlich genauso groß sein, wie das vom Einheitskreis? Denn die beiden Kreise/Kurven sind ja dann genauso groß, da der Radius ja gleich ist und nur der Mittelpunkt verschoben ist?
Was kann ich mir eigentlich unter dem Kurvenintegral vorstellen? Ist es trotzdem eine Flächenberechnung, bloß von einer Kurve?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen,
Vielen Dank nochmal fürs Antworten ...
Liebe Grüße
Kittycat
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> Darf man zwei Substitutionen
> hintereinander ausführen
kein Problem, und oft nötig, nacheinander mehrmals zu substituieren !
> und wenn ja, setzte ich die
> Grenzen dann wirklich erst dann ein, wenn ich
> rücksubstituiert habe?
zwei Möglichkeiten:
entweder: alles resubstituieren und dann die ursprünglichen
Integrationsgrenzen einsetzen
oder: die Integrationsgrenzen jeweils mit transformieren,
dann muss man nicht alles resubstituieren
> Habs jetzt nach deinem Tip durchgerechnet ...
> komm dann auf das Kurvenintegral von [mm]\pi.[/mm]
> Stimmt das dann?
Leider nicht. Ich habe nur mit dem CAS-Rechner geprüft: es sollte null geben... die Rechnung wird doch noch etwas schwieriger als gedacht.
> Müsst das Kurvenintegral aber nicht eingentlich genauso
> groß sein, wie das vom Einheitskreis? Denn die beiden
> Kreise/Kurven sind ja dann genauso groß, da der Radius ja
> gleich ist und nur der Mittelpunkt verschoben ist?
Nein, dieses Kurvenintegral berechnet keine Grösse, die etwa dem Kreisumfang oder der Kreisfläche entspräche.
>
> Was kann ich mir eigentlich unter dem Kurvenintegral
> vorstellen?
Man verwendet Kurvenintegrale für sehr verschiedene Zwecke. Ein gut verständliches Beispiel wäre etwa die Arbeit, die geleistet werden muss, um einen Körper von A einem bestimmten Weg (Kurve) entlang nach B zu bringen. Diese Arbeit könnte durchaus vom gewählten Weg abhängig sein. Die geleistete Arbeit wäre von folgender Art:
[mm]W = \integral_{A}^{B}{F(x(s),y(s),z(s)) ds}[/mm]
(W = Arbeit, F=Kraft, s = Weglänge)
Ist es trotzdem eine Flächenberechnung, bloß
von einer Kurve?
Nein, wenigstens in diesem Beispiel nicht. Möglicherweise könnte man auch dieses Integral als Arbeitsintegral in einem bestimmten Kraftfeld interpretieren.
Liebe Grüße Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Do 24.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen, vielen lieben Dank für deine Tips und Erklärungen
Aber wo ist denn nun meine Rechnung falsch? Habs ja nun so ausgerechnet wie du vorgeschlagen hast mit den zwei Substitutionen ... oder meinst du das war jetzt doch nicht so geschickt?
Bei mir sieht es folgendermaßen aus (vielleicht findest du ja einen Fehler?!?)
[mm] \integral_{C}{\bruch{1}{5+4cos(t)}dt}
[/mm]
=... (Substitution)
= [mm] \integral_{C}{\bruch{2}{(5+4(\bruch{1- u^2}{1+u^2}))(1+u^2)}du}
[/mm]
= [mm] \integral_{C}{\bruch{2}{u^2 + 9}du}
[/mm]
Substitution: u=3v du=3dv
= [mm] \integral_{C}{\bruch{2}{(9v^2 + 9}3dv}
[/mm]
= [mm] \integral_{C}{\bruch{2}{(3v^2 + 3}dv}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3} \integral_{C}{\bruch{1}{(v^2 + 1}dv}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3} [/mm] [arctan (v)]
= [mm] \bruch{2}{3} [/mm] [arctan [mm] (\bruch{1}{3} [/mm] u)]
= [mm] \bruch{2}{3} [/mm] [arctan [mm] (\bruch{1}{3} tan(\bruch{t}{2}))]
[/mm]
[mm] (2\pi [/mm] und 0 als Grenzen einsetzten)
= [mm] \bruch{2}{3} [/mm] *0
=0
Was könnte hier falsch sein?
Wäre dir echt dankbar, wenn du mir noch helfen könntest, die Aufgabe ganz zu lösen *merci*
Liebe Grüße
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> vielen, vielen lieben Dank für deine Tips und Erklärungen
>
>
> Aber wo ist denn nun meine Rechnung falsch? Habs ja nun so
> ausgerechnet wie du vorgeschlagen hast mit den zwei
> Substitutionen ... oder meinst du das war jetzt doch nicht
> so geschickt?
>
> Bei mir sieht es folgendermaßen aus (vielleicht findest du
> ja einen Fehler?!?)
>
> [mm]\integral_{C}{\bruch{1}{5+4cos(t)}dt}[/mm]
>
> =... (Substitution)
>
> = [mm]\integral_{C}{\bruch{2}{(5+4(\bruch{1- u^2}{1+u^2}))(1+u^2)}du}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{C}{\bruch{2}{u^2 + 9}du}[/mm]
>
> Substitution: u=3v du=3dv
>
> = [mm]\integral_{C}{\bruch{2}{(9v^2 + 9}3dv}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{C}{\bruch{2}{(3v^2 + 3}dv}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2}{3} \integral_{C}{\bruch{1}{(v^2 + 1}dv}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2}{3}[/mm] [arctan (v)]
>
> = [mm]\bruch{2}{3}[/mm] [arctan [mm](\bruch{1}{3}[/mm] u)]
>
> = [mm]\bruch{2}{3}[/mm] [arctan [mm](\bruch{1}{3} tan(\bruch{t}{2}))][/mm]
>
> [mm](2\pi[/mm] und 0 als Grenzen einsetzten)
>
> = [mm]\bruch{2}{3}[/mm] *0
> =0
>
> Was könnte hier falsch sein?
Das ist hier alles richtig.
>
> Wäre dir echt dankbar, wenn du mir noch helfen könntest,
> die Aufgabe ganz zu lösen *merci*
Wir haben ja noch das Integral
[mm]\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{1}{2} \ dt}[/mm]
auszuwerten.
>
> Liebe Grüße
> Kittycat
>
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Do 24.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
stimmt das jetzt echt?!? Oh, das wäre ja echt toll ... nach einem langen Weg und vielen Erklärungen hätte ich es ja dann endlich geschafft....
Ja,
> Wir haben ja noch das Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{1}{2} \ dt}[/mm]
>
> auszuwerten.
Das habe ich auch noch nicht vergessen, es ging ja nur darum, dass mein Ergebnis anscheinend falsch war.
Wenn ich aber nun dieses Integral integriere, erhalte ich ja dann für das Gesamtergebnis, also das Kurvenintegral
[mm] \pi
[/mm]
Stimmt das?
Lg Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
>
> stimmt das jetzt echt?!? Oh, das wäre ja echt toll ...
> nach einem langen Weg und vielen Erklärungen hätte ich es
> ja dann endlich geschafft....
>
> Ja,
> > Wir haben ja noch das Integral
> >
> > [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{1}{2} \ dt}[/mm]
> >
> > auszuwerten.
>
>
> Das habe ich auch noch nicht vergessen, es ging ja nur
> darum, dass mein Ergebnis anscheinend falsch war.
> Wenn ich aber nun dieses Integral integriere, erhalte ich
> ja dann für das Gesamtergebnis, also das Kurvenintegral
> [mm]\pi[/mm]
>
> Stimmt das?
Natürlich stimmt das.
>
> Lg Kittycat
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Do 24.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Ohhhhhh,
dankeschön, Mathepower!!!!!!
Vielen, vielen, vielen lieben Dank
Du glaubst gar nicht, wie sehr ich mich jetzt freue.....
Wünsch dir und allen anderen Mathefreunden noch einen schönen Abend,
Liebe Grüße und vielen Dank
Kittycat
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Sorry, dass ich die Freude doch nochmal ein bisschen trüben muss...
Das Schlussergebnis muss doch 0 sein, d.h. irgendwo muss noch ein blöder Fehler sein, den ich leider im Moment (23h22) auch noch nicht entdeckt habe
Gruß !
Nachtrag kurz vor Mitternacht: es muss wohl daran liegen, dass die Substitutionsgleichung u(t) = tan(t/2) im Integrationsintervall nicht durchwegs stetig ist, da [mm]\limes_{t\rightarrow \pi}\ tan(\bruch{t}{2})\ =\ \pm \infty[/mm]
[mm]\ t= 2*arctan(u) [/mm] ist von t=0 bis t= [mm] \pi [/mm] Umkehrfunktion zu [mm]\ u=tan(t/2)[/mm], für t [mm] \in (\pi...2\pi) [/mm] gilt aber die Umkehrfunktion [mm] t= 2*arctan(u) + 2\pi [/mm] .
Und jetzt, nach Mitternacht:
Hier transformiert man am besten die Grenzen und macht sich klar:
Wenn t von 0 bis 2 [mm] \pi [/mm] läuft, dann gehen sowohl u als auch v einmal von 0 nach [mm] \infty [/mm] und anschliessend von - [mm] \infty [/mm] gegen 0 !
Ich komme insgesamt zu folgendem Schlussergebnis:
[mm]\integral_{C}{f(t) \ dt} = \integral_{t=0}^{t=2\pi}{\bruch{1}{2} \ dt} - \integral_{t=0}^{t=2\pi}{\bruch{1}{1+v^2}\ dv} = \bruch{t}{2}|_{0}^{2\pi} -\ [\integral_{v=0}^{v=\infty}{\bruch{1}{1+v^2}\ dv}\ +\ \integral_{v=-\infty}^{v=0}{\bruch{1}{1+v^2}\ dv}\ ] [/mm]
[mm] = \pi \ - [(arctan(\infty) - arctan(0)) \ +\ (arctan(0) - arctan(-\infty))] = \pi -[ (\bruch{\pi}{2} - 0) +(0 - (- \bruch{\pi}{2})] = \pi - \pi=\ 0 [/mm]
Die Aufgabe hat's also doch ganz schön in sich.
Frage an Könner: hätte man es auf einem anderen Weg einfacher schaffen können?
und gute Nacht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 So 27.04.2008 | | Autor: | kittycat |
wow, darauf wär ich nie gekommen :-(
Aber es hört sich logisch an ... vielen vielen Dank für die Info und das Nachrechnen und Knobbeln.
Lg Kittycat
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hat auch Spass gemacht ! al-Chwarizmi
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