Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe ein ansich billiges Problem, aber es nervt mich derzeit ungemein, die richtige Antwort nicht zu finden - Es geht um ein Vorzeichen:
Folgendes, ich habe die Funktion: [mm] f(x,y)=x^2*y [/mm] und sollte sie entlang der Kurve (4,2)->(4,4)->(2,4) ausrechnen. Prinzipiell steht nichts von dem Weg, drum habe ich mir gedacht muss man es mathematisch postitiv - also gegen den Uhrzeigersinn machen.
Der Erste Integrationsweg ist ja ganz einfach [mm] $\integral_{2}^{4}{f(4,y) dy}$ [/mm] was man auch leicht ausrechnen kann.
Mein Problem ist der 2. Integrationsweg. Ich dachte mir es genügt hier einfach die Grenzen zu vertauschen und zu integrieren, also: [mm] $\integral_{4}^{2}{f(x,4) dx}$.
[/mm]
Andere meinen jedoch ich müsste nicht nur die Grenzen vertauschen sondern auch das dx durch ein -dx ersetzen, also [mm] $\integral_{4}^{2}{f(x,4) -dx}= \integral_{2}^{4}{f(x,4) dx}$.
[/mm]
Kann mir bitte einer sagen welche Lösung die richtige ist und es vl. auch argumentativ begründen, ich verzweilfe noch.
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Hallo Plantronics,
> Hallo,
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> ich habe ein ansich billiges Problem, aber es nervt mich
> derzeit ungemein, die richtige Antwort nicht zu finden - Es
> geht um ein Vorzeichen:
>
> Folgendes, ich habe die Funktion: [mm]f(x,y)=x^2*y[/mm] und sollte
> sie entlang der Kurve (4,2)->(4,4)->(2,4) ausrechnen.
> Prinzipiell steht nichts von dem Weg, drum habe ich mir
> gedacht muss man es mathematisch postitiv - also gegen den
> Uhrzeigersinn machen.
>
> Der Erste Integrationsweg ist ja ganz einfach
> [mm]\integral_{2}^{4}{f(4,y) dy}[/mm] was man auch leicht ausrechnen
> kann.
>
> Mein Problem ist der 2. Integrationsweg. Ich dachte mir es
> genügt hier einfach die Grenzen zu vertauschen und zu
> integrieren, also: [mm]\integral_{4}^{2}{f(x,4) dx}[/mm].
> Andere
> meinen jedoch ich müsste nicht nur die Grenzen vertauschen
> sondern auch das dx durch ein -dx ersetzen, also
> [mm]\integral_{4}^{2}{f(x,4) -dx}= \integral_{2}^{4}{f(x,4) dx}[/mm].
>
> Kann mir bitte einer sagen welche Lösung die richtige ist
> und es vl. auch argumentativ begründen, ich verzweilfe
> noch.
Da der Weg von [mm]\left(4,4\right) \to \left(2,4\right) [/mm] geht, ist dieses Integral korrekt:
[mm]\integral_{4}^{2}{f(x,4) dx}[/mm]
Gruß
MathePower
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Ok, danke, wenn also die Variante stimmt müsste an folgedem "Beweis" etwas falsch sein:
Von (4,4) nach (2,4) könnte man folgendermaßen parametrisieren: [mm] $\vec{r}(t)=\vektor{4-t \\ 4}$ [/mm] für t von 0 -> 2.
Also ist [mm] $\vec{r'}(t)=\vektor{-1 \\ 0}$
[/mm]
Das Kurvenintegral (1. Art) müsste demnach folgendermaße ausschauen:
$ [mm] \integral_{0}^{2}{f(4-t,4)* \left| r'(t) \right| dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2}{f(4-t,4)* \wurzel{(-1)^2+0^2} dt} =\integral_{0}^{2}{f(4-t,4) dt}$
[/mm]
Wenn man jetzt subsitutiert: 4-t=x, folgt dann dt=-dx und bei t=0 ist x=4, bei t=2 ist x=2!
[mm] $\integral_{4}^{2}{f(x,4) -dx}= \integral_{2}^{4}{f(x,4) dx}$
[/mm]
was es eigentlich ja nicht sein sollte!
wo liegt der Fehler - ich komm nicht drauf, es bringt mich noch zum verzweifeln!
Danke für jede hilfe,
Martin
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Wieso? Ist doch korrekt. Wenn du die Integralgrenzen vertauschst, wechselt das Vorzeichen - wie im 1dimensionalen Fall.
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Also, mathepower hat mir vorher geschrieben das [mm] $\int_{4}^{2}{f(x,4) dx} [/mm] $rauskommt, ich habe jetzt vorgerechnet und bin auf genau das andere ergebnis gekommen nämlich um einen Vorzeichen anders also [mm] $\int_{2}^{4}{f(x,4) dx} [/mm] = - [mm] \int_{4}^{2}{f(x,4) dx}$
[/mm]
....
und irgendeines von den beiden kann einfach nicht stimmen. Ich weiss nicht mehr was ich noch tun soll - ich rechne hin und her komme mal auf die eine Lösung mal auf die andere und drum Frage ich ja hier im Forum nach, weil irgendwie bin ich viel zu verkrampft mit diesem Beispiel *argh*
Danke für eure hilfe,
Martin
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Hallo Plantronics,
> Also, mathepower hat mir vorher geschrieben das
> [mm]\int_{4}^{2}{f(x,4) dx} [/mm]rauskommt, ich habe jetzt
> vorgerechnet und bin auf genau das andere ergebnis gekommen
> nämlich um einen Vorzeichen anders also [mm]\int_{2}^{4}{f(x,4) dx} = - \int_{4}^{2}{f(x,4) dx}[/mm]
>
> ....
> und irgendeines von den beiden kann einfach nicht stimmen.
Beide Aussagen stimmen.
> Ich weiss nicht mehr was ich noch tun soll - ich rechne hin
> und her komme mal auf die eine Lösung mal auf die andere
> und drum Frage ich ja hier im Forum nach, weil irgendwie
> bin ich viel zu verkrampft mit diesem Beispiel *argh*
Ich hatte aber auch geschrieben, daß der Weg von [mm]\left(4,4\right)\to\left(2,4\right)[/mm] geht. Somit lautet das Integral
[mm]\left(1\right) \ \integral_{4}^{2}{f\left(x,4\right) \ dx}[/mm]
Geht der Weg von [mm]\left(2,4\right)\to\left(4,4\right)[/mm], so ist dieses Integral zu berechnen:
[mm]\left(2\right) \ \integral_{2}^{4}{f\left(x,4\right) \ dx}[/mm]
Welches Integral jetzt zu berechnen ist, hängt ab von der Orientierung des Weges.
Und der ist vorgegeben,
Somit ist das Integral unter (1) zu berechnen.
>
> Danke für eure hilfe,
> Martin
Gruß
MathePower
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Ich versteh es nicht, ich dachte wenn ich folgendermaßen paramterisiere geh ich automatisch von 4 nach 2 :$ [mm] \vec{r}(t)=\vektor{4-t \\ 4} [/mm] $ für t von 0 -> 2?
Ihr müsst mich alle ja wirklcih für total dumm halten - aber ich bin so verunsichert und will das jetzt wirklcih wissen.
danke für eure ganze Geduld,
Martin
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Hallo Plantronics.
> Ich versteh es nicht, ich dachte wenn ich folgendermaßen
> paramterisiere geh ich automatisch von 4 nach 2 :[mm] \vec{r}(t)=\vektor{4-t \\ 4}[/mm]
> für t von 0 -> 2?
Das ist ja auch richtig.
>
> Ihr müsst mich alle ja wirklcih für total dumm halten -
> aber ich bin so verunsichert und will das jetzt wirklcih
> wissen.
Das ist so wie ich sage, das Integral ist von der Orientierung des Weges abhängig.
In der Aufgabenstellung ist ja der Weg schon vorgegeben:
[mm]\left(4,2\right)\to \left(4,4\right) \to \left(2,4\right) [/mm]
Daher ergeben sich die zu berechnenden Integrale zu:
[mm]\integral_{2}^{4}{f(4,y) \ dy}+\integral_{4}^{2}{f(x,4) \ dx}[/mm]
Es muß der Endpunkt des Weges [mm]\left(4,2\right) \to \left(4,4\right)[/mm] der Anfangspunkt des Weges [mm] \left(4,4\right) \to \left(2,4\right)[/mm] sein, was bei den obigen Integralen gegeben ist.
>
> danke für eure ganze Geduld,
> Martin
Gruß
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hi,
leider schaffe ich es nicht meine Frage so zu stellen dass dann bei der Antwort meine Zweifel beseitigt werden, darum versuche ich es nochmal und noch ausführlicher:
Also, ich bin der Meinung, das bei einem Linienintegral der Hin und Rückweg (selber Weg, nur andere Richtung) das gleiche Ergebnis mit unterschiedlichem Vorzeichen liefert.
Daher will ich jetzt von meiner Funktion f(x,y)=x^2*y den Weg von (2,4)->(4,4) und den Rückweg von (4,4)->(2,4) berechnen, es müsste eigentlich, wenn ich alles richtig mache das andere Vorzeichen raus kommen
Weg von (2,4)->(4,4)
Es sollte ja eigenlich herauskommen $\integral_{2}^4{f(x,4)dx}$.
Ich will das noch mit einer parametrisierung zeigen, also:
$\vec{r(t)}= \vektor{2+t \\ 4}$, und $\left| \vec{r'(t)} \right| = 1$, t läuft von 0 bis 2
Somit : $\integral_{0}^{2}{f(r(t))*1 dt}=\integral_{0}^{2}{f(2+t,4) dt$ ist und nach der substitution 2+t=x, dt=dx, und Grenzen substituiert zum Integral $\integral_{2}^{4}{f(x,4) dx$, was ich auch erwartet habe.
Rückweg von (4,4) nach (4,2)
Dieser müsste also das negative vom Hinweg liefern, dmenach einfach die Grenzen vertauscht ergibt das: $\integral_{4}^2{f(x,4)dx}$
Wenn ich das aber zu Fuss über eine Parametrisierung ausrechne kommt das selbe wie beim Hinweg heraus, und zwar:
$\vec{r(t)}= \vektor{4-t \\ 4}$, und $\left| \vec{r'(t)} \right| = 1$, t läuft von 0 bis 2
Somit : $\integral_{0}^{2}{f(r(t))*1 dt}=\integral_{0}^{2}{f(4-t,4) dt$ ist und nach der substitution 4-t=x, dt=-dx, und Grenzen substituiert zum Integral $\integral_{4}^{2}{f(x,4) -dx=\integral_{2}^{4}{f(x,4) dx$, was ich eigentlich nicht erwartet hätte.
Wo passiert die Transformation weg vom weg (4,4)->(2,4) in die andere Richtung, ich kappiers einfach nicht!
Für all die geduld bedankt sich,
Martin
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Hallo Plantronics,
> Hi,
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> leider schaffe ich es nicht meine Frage so zu stellen dass
> dann bei der Antwort meine Zweifel beseitigt werden, darum
> versuche ich es nochmal und noch ausführlicher:
>
> Also, ich bin der Meinung, das bei einem Linienintegral der
> Hin und Rückweg (selber Weg, nur andere Richtung) das
> gleiche Ergebnis mit unterschiedlichem Vorzeichen liefert.
>
> Daher will ich jetzt von meiner Funktion [mm]f(x,y)=x^2*y[/mm] den
> Weg von (2,4)->(4,4) und den Rückweg von (4,4)->(2,4)
> berechnen, es müsste eigentlich, wenn ich alles richtig
> mache das andere Vorzeichen raus kommen
>
> Weg von (2,4)->(4,4)
> Es sollte ja eigenlich herauskommen
> [mm]\integral_{2}^4{f(x,4)dx}[/mm].
> Ich will das noch mit einer parametrisierung zeigen,
> also:
> [mm]\vec{r(t)}= \vektor{2+t \\ 4}[/mm], und [mm]\left| \vec{r'(t)} \right| = 1[/mm],
> t läuft von 0 bis 2
> Somit : [mm]\integral_{0}^{2}{f(r(t))*1 dt}=\integral_{0}^{2}{f(2+t,4) dt[/mm]
> ist und nach der substitution 2+t=x, dt=dx, und Grenzen
> substituiert zum Integral [mm]\integral_{2}^{4}{f(x,4) dx[/mm], was
> ich auch erwartet habe.
>
> Rückweg von (4,4) nach (4,2)
> Dieser müsste also das negative vom Hinweg liefern,
> dmenach einfach die Grenzen vertauscht ergibt das:
> [mm]\integral_{4}^2{f(x,4)dx}[/mm]
>
> Wenn ich das aber zu Fuss über eine Parametrisierung
> ausrechne kommt das selbe wie beim Hinweg heraus, und
> zwar:
> [mm]\vec{r(t)}= \vektor{4-t \\ 4}[/mm], und [mm]\left| \vec{r'(t)} \right| = 1[/mm],
> t läuft von 0 bis 2
> Somit : [mm]\integral_{0}^{2}{f(r(t))*1 dt}=\integral_{0}^{2}{f(4-t,4) dt[/mm]
> ist und nach der substitution 4-t=x, dt=-dx, und Grenzen
> substituiert zum Integral [mm]\integral_{4}^{2}{f(x,4) -dx=\integral_{2}^{4}{f(x,4) dx[/mm],
> was ich eigentlich nicht erwartet hätte.
> Wo passiert die Transformation weg vom weg (4,4)->(2,4)
> in die andere Richtung, ich kappiers einfach nicht!
Wähle ich eine Parameterdarstellung:
[mm]x=4-t[/mm]
[mm]dx=- dt[/mm]
Dann folgt:
[mm]\integral_{4}^{2}{f(x,4) \ dx}=\integral_{0}^{2}{f( x\left(t\right) ,4) *\left(-1\right) \ dt}=-\integral_{0}^{2}{f( x\left(t\right) ,4) \ dt}
[/mm]
Fakt ist also, dass man hier nicht mit [mm]\vmat{r'\left(t\right)}[/mm] rechnen darf.
>
> Für all die geduld bedankt sich,
> Martin
Gruß
MathePower
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> Wähle ich eine Parameterdarstellung:
>
> [mm]x=4-t[/mm]
>
> [mm]dx=- dt[/mm]
>
> Dann folgt:
>
> [mm]\integral_{4}^{2}{f(x,4) \ dx}=\integral_{0}^{2}{f( x\left(t\right) ,4) *\left(-1\right) \ dt}=-\integral_{0}^{2}{f( x\left(t\right) ,4) \ dt}
[/mm]
>
> Fakt ist also, dass man hier nicht mit
> [mm]\vmat{r'\left(t\right)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
rechnen darf.
Puh, aber mein Bronstein sagt genau das zur berechnung, nämlich
$ \integral_{(K)}{f(x,y)ds=\integral_{t_0}^{T}{f[x(t),y(t)]*\wurzel{(x'(t)^2+y'(t)^2}dt$
wobei $t_0$ der Wert des Parameters t im Punkt A und T sein Wert für den Punkt B ist. Die Punkte A und B werden so gewählt, daß die Bedingung $t_0<T$ erfüllt ist.
Wie berechnet man dann mittels so parametrisierung das Integral so, dass es richtig herauskommt?
Lg, Martin
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Hallo Plantronics,
> > Wähle ich eine Parameterdarstellung:
> >
> > [mm]x=4-t[/mm]
> >
> > [mm]dx=- dt[/mm]
> >
> > Dann folgt:
> >
> > [mm]\integral_{4}^{2}{f(x,4) \ dx}=\integral_{0}^{2}{f( x\left(t\right) ,4) *\left(-1\right) \ dt}=-\integral_{0}^{2}{f( x\left(t\right) ,4) \ dt}
[/mm]
>
> >
> > Fakt ist also, dass man hier nicht mit
> > [mm]\vmat{r'\left(t\right)}[/mm] rechnen darf.
>
> Puh, aber mein Bronstein sagt genau das zur berechnung,
> nämlich
>
> [mm]\integral_{(K)}{f(x,y)ds=\integral_{t_0}^{T}{f[x(t),y(t)]*\wurzel{(x'(t)^2+y'(t)^2}dt[/mm]
> wobei [mm]t_0[/mm] der Wert des Parameters t im Punkt A und T sein
> Wert für den Punkt B ist. Die Punkte A und B werden so
> gewählt, daß die Bedingung [mm]t_0
Hier sind x und y nach der Bogenlänge s parametrisiert.
Dann ist [mm]f\left(x,y\right)=f\left(x\left(s\right),y\left(s\right)\right)[/mm]
>
> Wie berechnet man dann mittels so parametrisierung das
> Integral so, dass es richtig herauskommt?
Gegenfrage: Wie habt ihr das Kurvenintegral definiert?
>
> Lg, Martin
Gruß
MathePower
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Hiho,
> > > Fakt ist also, dass man hier nicht mit
> > > [mm]\vmat{r'\left(t\right)}[/mm] rechnen darf.
> >
> > Puh, aber mein Bronstein sagt genau das zur berechnung,
> > nämlich
> >
> >
> [mm]\integral_{(K)}{f(x,y)ds=\integral_{t_0}^{T}{f[x(t),y(t)]*\wurzel{(x'(t)^2+y'(t)^2}dt[/mm]
> > wobei [mm]t_0[/mm] der Wert des Parameters t im Punkt A und T
> sein
> > Wert für den Punkt B ist. Die Punkte A und B werden so
> > gewählt, daß die Bedingung [mm]t_0
>
> Hier sind x und y nach der Bogenlänge s parametrisiert.
>
> Dann ist
> [mm]f\left(x,y\right)=f\left(x\left(s\right),y\left(s\right)\right)[/mm]
>
> >
> > Wie berechnet man dann mittels so parametrisierung das
> > Integral so, dass es richtig herauskommt?
>
> Gegenfrage: Wie habt ihr das Kurvenintegral definiert?
>
Puh, ich weiss es gar nicht genau - keine gute Antwort ich weiss.
Aber eigentlich hab ich es immer so gemacht wie beschrieben - entweder es war offensichtlich und ich habe die Grenzen getauscht oder ich habe eben die Parametrisierung verwendet.
In diesem konkreten Fall vom Integral streite ich gerade mit meinem Übungsleiter, der nämlcih meint man muss sowohl die Grenzen umtauschen (da wir ja von 4 nach 2 integrieren) als auch dx mit -dx, da wir ja von rechts nach links integrieren. Er hat das ganze dann mit der Parametrisierung gezeigt die ich auch oben verwendet habe und damit dann auch gezeigt dass es eben wie von 2 nach 4 ist - und das hat für mich auch ziemlich Überzeugend ausgesehen.
Vielleicht kannst du mir helfen und hinschreiben, wie das Linienintegral mittels RICHTIGER Parametrisierung ausgerechnet wird
ODER
wie eine Definition für das Kurvenintegral wo dann klar wird wie es geht - ich finde im Internet leider nichts passendes, Wikipedia kennt auch nur jene Variante die cih vorgezeigt habe und bei der das falsche Vorzeichen rauskommt.
Danke vielmals für deine großartige Hilfe, das ist echt super.
Der sich bedankende,
Martin
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Hallo Plantronics,
> Hiho,
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> > > > Fakt ist also, dass man hier nicht mit
> > > > [mm]\vmat{r'\left(t\right)}[/mm] rechnen darf.
> > >
> > > Puh, aber mein Bronstein sagt genau das zur berechnung,
> > > nämlich
> > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{(K)}{f(x,y)ds=\integral_{t_0}^{T}{f[x(t),y(t)]*\wurzel{(x'(t)^2+y'(t)^2}dt[/mm]
> > > wobei [mm]t_0[/mm] der Wert des Parameters t im Punkt A und T
> > sein
> > > Wert für den Punkt B ist. Die Punkte A und B werden so
> > > gewählt, daß die Bedingung [mm]t_0
> >
> > Hier sind x und y nach der Bogenlänge s parametrisiert.
> >
> > Dann ist
> >
> [mm]f\left(x,y\right)=f\left(x\left(s\right),y\left(s\right)\right)[/mm]
> >
> > >
> > > Wie berechnet man dann mittels so parametrisierung das
> > > Integral so, dass es richtig herauskommt?
> >
> > Gegenfrage: Wie habt ihr das Kurvenintegral definiert?
> >
> Puh, ich weiss es gar nicht genau - keine gute Antwort ich
> weiss.
> Aber eigentlich hab ich es immer so gemacht wie
> beschrieben - entweder es war offensichtlich und ich habe
> die Grenzen getauscht oder ich habe eben die
> Parametrisierung verwendet.
> In diesem konkreten Fall vom Integral streite ich gerade
> mit meinem Übungsleiter, der nämlcih meint man muss sowohl
> die Grenzen umtauschen (da wir ja von 4 nach 2 integrieren)
> als auch dx mit -dx, da wir ja von rechts nach links
> integrieren. Er hat das ganze dann mit der Parametrisierung
> gezeigt die ich auch oben verwendet habe und damit dann
> auch gezeigt dass es eben wie von 2 nach 4 ist - und das
> hat für mich auch ziemlich Überzeugend ausgesehen.
> Vielleicht kannst du mir helfen und hinschreiben, wie das
> Linienintegral mittels RICHTIGER Parametrisierung
> ausgerechnet wird
> ODER
> wie eine Definition für das Kurvenintegral wo dann klar
> wird wie es geht - ich finde im Internet leider nichts
> passendes, Wikipedia kennt auch nur jene Variante die cih
> vorgezeigt habe und bei der das falsche Vorzeichen
> rauskommt.
Ich kenne nur die Definition des Kurvenintegrals für ein stetiges Vektorfeld, das ist nach ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia das Kurvenintegral 2. Art.
Ich denke, da die Funktion [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm] geht, ist laut Wikipedia das Kurvenintegral 1. Art das richtige.
>
> Danke vielmals für deine großartige Hilfe, das ist echt
> super.
> Der sich bedankende,
> Martin
>
Gruß
MathePower
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Hiho,
> Ich kenne nur die Definition des Kurvenintegrals für ein
> stetiges Vektorfeld, das ist nach
> Wikipedia
> das Kurvenintegral 2. Art.
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> Ich denke, da die Funktion [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm] geht, ist laut
> Wikipedia das Kurvenintegral 1. Art das richtige.
Wenn aber die Definition von Wikipedia die richtige ist, dann ist aber das Kurvenintegral 1. Art wie auch das Kurvenintegral 2. Art unabhängig von der Wahl der Parametrisierung aber auch unabhängig von der Durchlaufsrichtung - also müsste dann das Integral von 4,4 nach 2,4 gleich lauten wie das Integral von 2,4 nach 4,4! Oder sehe ich da wieder etwas falsch?
Lg, Martin
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ich vermute, dass du die Weg-Unabhängigkeit mit der Richtungs-Unabhängigkeit verwechselst.
Erstere gilt (unter geeigneten Voraussetzungen betr. Stetigkeit etc.), die letztere aber im allgemeinen Fall gerade nicht.
Weg-Unabhängigkeit bedeutet z.B. dass es keine Rolle spielt, ob du den Weg von A nach B via C oder via D nimmst:
[mm] \integral_{A}^{C}{f(t) dt} [/mm] + [mm] \integral_{C}^{B}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{A}^{D}{f(t) dt} [/mm] + [mm] \integral_{D}^{B}{f(t) dt} [/mm]
Richtungsunabhängigkeit würde bedeuten, dass
[mm] \integral_{A}^{B}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{B}^{A}{f(t) dt} [/mm]
dies ist aber normalerweise nicht der Fall (sondern Vorzeichenwechsel !)
Schönen Gruss von al-Chwarizmi
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Hiho,
> ich vermute, dass du die Weg-Unabhängigkeit mit der
> Richtungs-Unabhängigkeit verwechselst.
Eigentlich ist mir der Unterschied schon bekannt.
Das Problem ist, dass man meist mit Kurvenintegralen 2. Art, also solche über ein Vektorfeld berechnet. Hier gilt, natürlich nicht die Richtungsunabhängigkeit, sondern der Hin- und Rückweg unterscheiden sich im Vorzeichen. Wegunabhängigkeit gilt falls, die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist.
Mir scheint aber, und das ist um was es hier geht, dass es sich beim Kurveningetral 1. Art (also über ein Skalarfeld) anders verhält.
Hier gilt prinzipiell nicht die Webunabhängigkeit! Aber es scheint mir, nach der Formel (durch den Betrag der Ableitung der parametrisierung) dass beim Kurvenintegral 1. Art SCHON die Wegunabhängigkeit gilt, falls nicht müsste an meiner Rechnung mit der Parametrisierung irgendwo etwas falsch sein!
Lg, Plantronics
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> Das Problem ist, dass man meist mit Kurvenintegralen 2.
> Art, also solche über ein Vektorfeld berechnet.
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> Mir scheint aber, und das ist um was es hier geht, dass es
> sich beim Kurveningetral 1. Art (also über ein Skalarfeld)
> anders verhält.
> Hier gilt prinzipiell nicht die Webunabhängigkeit! Aber es
> scheint mir, nach der Formel (durch den Betrag der
> Ableitung der parametrisierung) dass beim Kurvenintegral 1.
> Art SCHON die Wegunabhängigkeit gilt, falls nicht müsste an
> meiner Rechnung mit der Parametrisierung irgendwo etwas
> falsch sein!
>
Hi Plantronics,
beim Thema Integrale erster oder zweiter Art bin ich nicht mehr so auf dem Laufenden, das ist schon ziemlich lange her...
Das Integral ist aber ganz klar notiert, und wenn der Integrationsweg der Polygonzug von Punkt A(4/2) über Punkt B(4/4) zu C(2/4) ist, darf man wohl genau so rechnen, wie du schon ganz am Anfang (im ersten Posting) wolltest.
Um nachzurechnen, wie es mit der Wegunabhängigkeit hier wirklich aussieht, könnte man ja beispielsweise das Ergebnis der Integration über den Weg A --> B --> C vergleichen mit jenem über A --> D --> C , wobei D(2/2)
Al-Ch.
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Hallo Plantronics,
ich glaub ich habe herausgefunden, was dein wirkliches Problem bei dieser Integration sein könnte.
Mir ist aufgefallen, dass du in einigen deiner Texte von einem "Rückweg" schreibst. Der Weg von B(4/4) nach C(2/4) ist aber keineswegs der Rückweg zum Weg von A(4/2) nach B(4/4).
Der Weg A --> B --> C , über den das Integral gerechnet werden soll, sieht so aus wie die Hälfte des Umfangs eines Quadrats ABCD !
Hast du dir die Mühe genommen, das ganze in der x-y-Ebene einmal aufzuzeichnen?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
danke für deine große Mühe und das ganze nachrechnen. Ich habe auch gesehen dass, leider manchmal ein Fehler in der Erklärung war, die Integrale selbst sind aber immer entweder von (2,4) nach (4,4) oder eben zurück von (4,4) nach (2,4) gerechnet worden.
Mir scheint derzeit, und ich werde immer mehr davon überzeugt je länger ich mich damit beschäftige dass man nicht einfach nur die Grenzen tauschen darf - da ich ja jetzt von 4 nach 2 integriere sondern eben auch das dx auf ein -dx ändern muss und sich somit für beide Wege (hin und rückweg) das selbe rauskommt. Jedenfalls kann ich mit der Definition die mein Bronstein udn Wikipedia kennt, mittels einen heuristischen (sehr heuristisch und weit weg als Beweis durchzugehen) Überlegungen genau das zeigen. Ausserdem habe ich keinen Anhaltspunkt dafür dass das $\integral_{4}^{2}{f(x,4)dx)$ richtig sein sollte, anders als die Aussage dass man ja von 4 nach 2 geht und deswegen umdrehen muss. Jegliche Paramterisierungen führen zu dem gleichen Ergebnis - nämlich dass es nicht so ist.
Meine Erkenntnis daruas, ist dass man immer wieder etwas neues lernt und manchmal bei den eigentlich trivialen Sachen, doch viel mehr dahinter steckt.
Danke an allen die sich mit dem Problem beschäftigt haben!
Martin
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Hallo Martin,
ich bin leider immer noch nicht überzeugt, ob du meine letzte Meldung wirklich geschnallt hast. Ich lese jetzt immer noch:
> entweder von (2,4) nach (4,4) oder eben zurück von (4,4)
> nach (2,4) gerechnet worden.
>
>...... beide Wege (hin und rückweg) das selbe rauskommt.
Der vorgegebene Integrationsweg führt ja eben keineswegs von von (2,4) nach (4,4) und dann zurück von (4,4) nach (2,4) ,
sondern eben zuerst von (4,2) nach (4,4) und dann von (4,4) weiter nach (2,4) , also einem ganz anderen Punkt als dem Ausgangspunkt.
Hast du dir die Zeichnung in der x-y-Ebene gemacht?
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ich glaube, dass du irgendwie darauf fixiert bist, für Kurvenintegrale (oder Teile davon) immer eine Hilfsvariable t einzuführen. Wenn dann die Richtung der Integration einmal gegen die gewohnte Richtung geht, dann verhedderst du dich in mentalen oder hingeschriebenen Vorzeichenproblemen.
Wenn wie hier aber die Integration etwa genau in x-Richtung (von links nach rechts oder umgekehrt) oder in y-Richtung erfolgt, dann brauchst du die Hilfsvariable t gar nicht, sondern kannst einfach nach x integrieren (und y als Konstante betrachten) oder umgekehrt. Erst wenn du entlang einer schrägen oder krummen Linie (Kreisbogen, Parabelbogen etc.) integrieren musst, ist die Einführung eines Kurvenparameters t nötig und sinnvoll !
Gruß al-Chwarizmi
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