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| Aufgabe | Skizzieren Sie, von Hand oder mithilfe eines geeigneten Werkzeuges wie Matlab, für ausgewählte Parameter a>0 bzw. b>0 die Kurven, die durch folgende Parametrisierungen gegeben sind:
a) [mm] \gamma (t)=\bruch{20}{9}*\vektor{cos(t)+acos(2t)-0,3 \\ 1,5sin(t)}
[/mm]
b) [mm] \gamma (t)=\wurzel{0,5cos^2(t)+bsin^2(t)}*\vektor{cos(t)\\ sin(t)}
[/mm]
Berechnen Sie dann soweit wie möglich die Länge der Kurve mit Parametrisierung a). |
wir hatten gestern und heute die Vorlesung zum Kurvenintegral und ich blick da noch nicht wirklich durch.
ist [mm] \gamma(t) [/mm] eine Funktion oder eine kurve?
Wenn ich in der Vorlesung richtig aufgepasst habe, dann bestimme ich die Länge der Kurve mit:
[mm] \integral{|\gamma'(t)| dt}=\integral{\wurzel{(-\bruch{20}{9}*sin(t)-\bruch{40a}{9}sin(2t))^2+(1,5cos(t))^2} dt}
[/mm]
ist der Ansatz so richtig? Was sind die Integrationsgrenzen? wenn ich die Länge bestimmen soll, dann brauch ich auch Grenzen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Do 16.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \gamma(t) [/mm] sind Kurven in [mm] \IR^2 [/mm] bzw Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR^2
[/mm]
dein Kurvenintegral ist nur fast richtig, die 20/9 gehört zu x und y Komponente, also kannst du sie vor die Wurzel oder das Integral ziehen.
Wenn du die Kurve skizziert hast, weisst du, dass sie periodisch mit t ist, und geschlossen, also integriere über eine Periode [mm] -\pi [/mm] bis [mm] +\pi [/mm] oder 0 bis [mm] 2\pi
[/mm]
Gruß leduart
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[mm] \integral_0^{2\pi}{|\gamma'(t)| dt}=\integral_0^{2\pi}{\wurzel{(-\bruch{20}{9}*sin(t)-\bruch{20}{9}*2a*sin(2t))^2+(\bruch{20}{9}*1,5cos(t))^2} dt}
[/mm]
also hier kann ich nicht die [mm] \bruch{20}{9} [/mm] rausziehen wegen dem Exponenten 2 oder wie hast du das gemeint?
EDIT:
[mm] \integral_0^{2\pi}{\wurzel{(-\bruch{20}{9}*sin(t)-\bruch{20}{9}*2a*sin(2t))^2+(\bruch{20}{9}*1,5cos(t))^2} dt}=\bruch{20^2}{9^2}*\integral_0^{2\pi}{\wurzel{(-sin(t)-2a*sin(2t))^2+(1,5cos(t))^2} dt}
[/mm]
ich mach später weiter. habe gerade wenig zeit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Do 16.10.2014 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> [mm]\integral_0^{2\pi}{|\gamma'(t)| dt}=\integral_0^{2\pi}{\wurzel{(-\bruch{20}{9}*sin(t)-\bruch{20}{9}*2a*sin(2t))^2+(\bruch{20}{9}*1,5cos(t))^2} dt}[/mm]
>
> also hier kann ich nicht die [mm]\bruch{20}{9}[/mm] rausziehen wegen
> dem Exponenten 2 oder wie hast du das gemeint?
es gilt:
[mm] $\gamma(t)=\frac{20}{9}\left(\begin{array}{c}
\cos(t)+a\cos(2t)-0,3\\
1,5\sin(t)
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\frac{20}{9}\cdot\Big(\cos(t)+a\cos(2t)-0,3\Big)\\
\frac{20}{9}\cdot1,5\sin(t)
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
x(t)\\
y(t)
\end{array}\right)$
[/mm]
und
[mm] $\|\gamma(t)\|=\sqrt{\dot{x}(t)^{2}+\dot{y}(t)^{2}}$
[/mm]
Beantwortet das Deine Frage?
>
> EDIT:
>
> [mm]\integral_0^{2\pi}{\wurzel{(-\bruch{20}{9}*sin(t)-\bruch{20}{9}*2a*sin(2t))^2+(\bruch{20}{9}*1,5cos(t))^2} dt}=\bruch{20^2}{9^2}*\integral_0^{2\pi}{\wurzel{(-sin(t)-2a*sin(2t))^2+(1,5cos(t))^2} dt}[/mm]
>
Die linke Seite der Gleichung stimmt, die rechte nicht. Bedenke: [mm] $\sqrt{x^2y}=x\sqrt{y}$
[/mm]
>
> ich mach später weiter. habe gerade wenig zeit
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:30 Do 16.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] (20/9)^2 [/mm] steht unter der Wurzel, rausziehen kann man also nur 20/9
Gruß leduart
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 22:22 Do 16.10.2014 | | Autor: | notinX |
Hi Leduart,
> Hallo
> [mm](20/9)^2[/mm] steht unter der Wurzel, rausziehen kann man also
> nur 20/9
> Gruß leduart
deshalb habe ich geschrieben, dass nur die linke Seite der Gleichung stimmt.
Gruß,
notinX
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ich habe schwierigkeiten das integral zu lösen:
[mm] \bruch{20}{9}*\integral_0^{2\pi}{\wurzel{(-sin(t)-2a*sin(2t))^2+(1,5cos(t))^2} dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{20}{9}*\integral_0^{2\pi}{((-sin(t)-2a*sin(2t))^2+2,25cos^2(t))^{\bruch{1}{2}} dt}
[/mm]
es gilt: [mm] cos^2(t)=1-sin^2(t)
[/mm]
Daraus folgt:
= [mm] \bruch{20}{9}*\integral_0^{2\pi}{((-sin(t)-2a*sin(2t))^2+2,25-2,25sin^2(t))^{\bruch{1}{2}} dt}
[/mm]
hmm wie löse ich das integral nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Do 16.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
das Integral zu knacken ist ein (nahezu) aussichtsloses Unterfangen. Ich denke aber nicht, dass du das lösen musst - die Aufgabe war ja auch nur soweit wie möglich die Länge der Kurve zu berechnen.
Liebe Grüße
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Das Integral [mm] \integral_0^{2\pi}{|\gamma'(t)| dt} [/mm] beschreibt die Länge der Kurve, aber wieso?
[mm] \gamma(t) [/mm] ist ja eigentlich ein Vektor in der Ebene und wenn ich die Länge bestimmen möchte, dann kann ich doch einfach den Betrag von [mm] \gamma(t) [/mm] bestimmen. Wozu brauch ich dann das Integral [mm] \integral_0^{2\pi}{|\gamma'(t)| dt}?
[/mm]
weil ich da nur eine bestimmte Strecke [0, [mm] 2\pi] [/mm] betrachte ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Fr 17.10.2014 | | Autor: | chrisno |
> Das Integral [mm]\integral_0^{2\pi}{|\gamma'(t)| dt}[/mm] beschreibt
> die Länge der Kurve, aber wieso?
>
> [mm]\gamma(t)[/mm] ist ja eigentlich ein Vektor in der Ebene und
> wenn ich die Länge bestimmen möchte, dann kann ich doch
> einfach den Betrag von [mm]\gamma(t)[/mm] bestimmen.
Welches t willst Du nehmen? Egal, welches, dann hast Du die Länge eines Vektors. Du willst aber nicht die Länge eines Vektors, sondern die Länge des Wegs, den der Endpunkt des Vektors zurückgelegt hat.
> Wozu brauch ich
> dann das Integral [mm]\integral_0^{2\pi}{|\gamma'(t)| dt}?[/mm]
Erst einmal werden alle t betrachtet. Das heißt, es wird der ganze Weg untersucht. Nun nimm zwei nah beieinander liegende Werte von t. Zu diesen beiden Werten gehören auch nah beieinander liegende Endpunkte der Vektoren. Das Stück zwischen diesen Endpunkten ist ein Stück des Wegs. Die Richtung von dem einen Punkt zum anderen ergibt sich aus der Ableitung des Vektors. Das Integral sammelt alle diese Wegstücke auf.
>
> weil ich da nur eine bestimmte Strecke [0, [mm]2\pi][/mm] betrachte
> ?
Das liegt an der gewählten Parametrisierung.
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