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| Aufgabe | | Berechnen sie [mm] \integral_{k}^{}{x*y ds dx} [/mm] , wobei k der Dreiviertelkreisbogen mit dem Radius r= 4 im 1,2 und 3 Quadranten ist. |
Guten Tag Mathe-Community.
Ich bekomme die oben aufgelistete Aufgabe nicht gelöst, ich habe zwar etwas gerrechnet aber dies war komplett falsch! Ich habe das Flächenintegral berechnet.
Ich habe folgende Ansätze:
x = r * cos phi
y = r * sin phi
k = 1,5 [mm] \pi [/mm]
nun weiß ich ebenfalls das man nach r dr d phi integrieren muss aber ich kriege das kurvenintegral einfach nicht gelöst da ich schon komplett den falschen Ansatz hatte ( Flächenintegral ).
Mit Freundlichen Grüßen
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Hallo,
na zuerst wollen wir doch mal den 3/4-Kreis parametriseren. Wir wollen also die Kurve darstellen.
Als Parameter benutzen wir [mm] \phi.
[/mm]
[mm] k(\phi)=\vektor{r\cos\phi\\r\sin\phi}=\vektor{4\cos\phi\\4\sin\phi}, \phi\in{I}
[/mm]
Nun ist nur noch interessant, von wo bis wo der Parameter [mm] \phi [/mm] läuft. Ermittle also das Intervall I.
Danach kommen wir zu dem Kurvenintegral:
[mm] \int_\gamma f(x)dx=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)dt, [/mm] mit der Kurve [mm] \gamma:[a,b]\to\IR
[/mm]
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| Aufgabe | | Berechnen sie [mm] \integral_{k}^{}{x*y ds dx} [/mm] , wobei k der Dreiviertelkreisbogen mit dem Radius r= 4 im 1,2 und 3 Quadranten ist. |
Guten Tag Mathe-Community.
Ich bekomme die oben aufgelistete Aufgabe nicht gelöst, ich habe zwar etwas gerrechnet aber dies war komplett falsch! Ich habe das Flächenintegral berechnet.
Ich habe folgende Ansätze:
x = r * cos phi
y = r * sin phi
k = 1,5 [mm] \pi [/mm]
nun weiß ich ebenfalls das man nach r dr d phi integrieren muss aber ich kriege das kurvenintegral einfach nicht gelöst da ich schon komplett den falschen Ansatz hatte ( Flächenintegral ).
Mit Freundlichen Grüßen
Guten Tag.
Habs mal probiert, bin mir absolut unsicher mit dem was ich gemacht habe.
Also : Habe xy parametisiert daraus folgt k(t) = [mm] \pmat{ 4*cos (t) \\ 4*sin (t) }
[/mm]
Dann ds = [mm] \integral_{0}^{3/2 pi}{ \wurzel{(4*cos t)^2 + (4*sin (t)^2} } [/mm] dt
= [ 4*sin (t) - 4*cos (t) ] Nach dem Grenzen Einsetzen bekomme ich 0 raus.
Was aber nicht sein kann denke ich.
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Hi,
du wirst mehr Erfolg haben, wenn du die Formel dahernimmst und wirkliuch konkret einsetzt.
[mm] \int_\gamma f(x)dx=\int_a^bf(\gamma(t))\Vert\gamma'(t)\Vert{dt}
[/mm]
[mm] =\int_\gamma f(x)dx=\int_0^{3/2\pi}4\cos\phi*\sin\phi\Vert{\vektor{-4\sin\phi\\4\cos\phi}\Vert}d\phi=\int_0^{3/2\pi}4\cos\phi*\sin\phi\sqrt{4^2\sin^2\phi+4^2\cos^2\phi}d\phi
[/mm]
[mm] =\int_0^{3/2\pi}16\cos\phi*\sin\phi{d\phi}=\int_0^{3/2\pi}8\sin2\phi{d\phi}
[/mm]
=...
=8
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Guten Tag.
Habe das Problem das ich nicht weiß wo die 4* cos phi * sin phi herkommen.
Ich hätte jetzt gedacht das die Grundform dahin kommt also:
4 * cos phi * 4 * sin phi.
Hat das was mit dem Trigonometrischen Pythagoras zutun?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:57 Sa 22.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo in deinem Integral stad och x*y das ist die Funktion in die du die Kurve einsetzen musst also [mm] x*y=4*cos\phi*4*sin\ph [/mm] l#ngs der Kurve.
spater wurde benutzt, dass cosa*sina=1/2*sin(2a )st
du musst immer die Kurve in die zu integrierende Funktion einsetzen und benutzen dass [mm] ds=|\gamma'|d\phi [/mm] ist.
das dx in deinem Integral is wohl ein Tipfehler.
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:10 Do 20.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen sie [mm]\integral_{k}^{}{x*y ds dx}[/mm]
Was ist das denn für ein Integral ????
Lautet es etwa so: $ [mm] \integral_{k}^{}{x\cdot{}y ds } [/mm] $ ?
Wenn ja, so hat Du zu berechnen
[mm] \integral_{a}^{b}{f(k(\phi)||k'(\phi)|| dt},
[/mm]
wobei [mm] \phi \to k(\phi) [/mm] eine Parametrisierung der Kurve und f(x,y)=xy ist.
FRED
> , wobei k der
> Dreiviertelkreisbogen mit dem Radius r= 4 im 1,2 und 3
> Quadranten ist.
> Guten Tag Mathe-Community.
>
> Ich bekomme die oben aufgelistete Aufgabe nicht gelöst,
> ich habe zwar etwas gerrechnet aber dies war komplett
> falsch! Ich habe das Flächenintegral berechnet.
>
> Ich habe folgende Ansätze:
>
> x = r * cos phi
>
> y = r * sin phi
>
> k = 1,5 [mm]\pi[/mm]
>
> nun weiß ich ebenfalls das man nach r dr d phi
> integrieren muss aber ich kriege das kurvenintegral einfach
> nicht gelöst da ich schon komplett den falschen Ansatz
> hatte ( Flächenintegral ).
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> Mit Freundlichen Grüßen
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