Kurvendisskusion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm]h: x-> ln (\bruch{x^2}{4} + 1) [/mm] mit maximaler Definitionsmenge [mm]D_h[/mm].
Der Graph von h wird mit [mm] G_h [/mm] bezeichnet. Gegeben ist ferner für [mm]D_f=R/\{0\}[/mm] die Funktion [mm]f: x -> ln \bruch{x^2}{4}[/mm].
1. Wir untersuche zuerst die Funktion h.
a) Ermitteln Sie [mm]D_h[/mm] und untersuchen Sie [mm]G_h[/mm] auf Symmetrie sowie auf gemeinsame Punkte mit der x-Achse.
b)Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes von [mm]G_h[/mm]
c) Berechnen Sie h(1), h(2), h(3), h(6) und zeichne Sie unter Verwendung der gewonnen Ereignisse den Graphen [mm]G_h[/mm] im Bereich [mm]-6 \le x \le 6[/mm] (Längeneinheit 1 cm)
2 Wir betrachten nun die Funktion f.
a) Bestätigen Sie, dass [mm]G_f[/mm] symmetrisch zur y-Achse verläuft, und unterschen Die das Verhalten von f in der Umgebung von x=0
b) Berechnen Sie f(1), f(2), f(3), f(6) und zeichenen Sie [mm]G_f[/mm] in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 1c ein. |
Ich habe diese Aufgabe auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hi,
ich hab keine Ahnung gehabt wie das mit Aufgabe 2 also dieses Klickfeld funktioniert und hab das einfach mal so reichgestellt, die Aufgabe geht auch noch weiter, ich wollt aber erstmal wissen ob die ersten beiden Teile richtig sind und ne Frage hätte ich da auch noch, würde mich also freuen, wenn sich das jemand mal anschauen könnte.
1a)
[mm]D_h=\IR[/mm]
Symmetrie: achsensymmetrisch
Nullstelle:
[mm]0=ln (\bruch{x^2}{4} + 1)[/mm]
[mm]1=\bruch{x^2}{4} + 1[/mm]
[mm]0=\bruch{x^2}{4}[/mm]
[mm]0=x^2[/mm]
Also ist 0/0 eine doppelte Nullstelle
1b)
[mm]f'(x)=\bruch{0,5x}{0,25x^2+1}[/mm]
0=0,5x
x=0
y=0
E(0/0) Minimum
1c)
h1= 0,223
h2=0,693
h3=1,179
h6=2,302
Ich denke, zeichnen kann ich alleine
2a)
[mm]\limes_{x\rightarrow +0} ln\bruch{x^2}{4}= geht gegen 0 [/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow -0} ln\bruch{x^2}{4}= geht ebenfalls gegen +0[/mm]
Hier weis ich nicht, wie ich zeigen kann das Gf symmetrisch zur y-Achse ist. Muss ich bestätigen das es keine Extremwerte und Wendepunkte gibt?
Denn wenn es symmetrisch ist, müsste es ja wie die y-Achse eine gerade sein, dies widerspricht jedoch meiner 2b?
2b)
f(1)= 1,386
f(2)= 0
f(3)= 0,81
f(6)= 2,197
Zeichnen kann ich alleine.
Grüße,
Mareike
|
|
| |
|
Hi Loddar,
danke für deine schnelle Antwort.
Nachweis der achsensymmetrie:
Wenn ich für x -x einsetze, bekomm ich ja wieder die Funktion raus da beim quadrieren das minus weg fällt.
in Zahlen ausgedrückt:
[mm]h(-x)=ln (\bruch{(-x)^2}{4} + 1) = ln (\bruch{x^2}{4} + 1)[/mm]
Also ist folgendes erfüllt und somit achsensymmetrisch: f(-x)=f(x)
Zum Beweis des Minimums:
Ableitung durch die Quotientenregel
[mm]\bruch{0,5*(0,25x^2+1)-(0,5x*0,5x}{(0,25x^2+1)^2}[/mm]
gekürzt und zusammengezogen
[mm]f''= \bruch{0,5-0,25x^2}{0,25x^2+1}[/mm]
und 0,5 durch 1 ist 0,5 und somit größer als 0
Grüße,
Mareike
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mareike!
> Nachweis der achsensymmetrie:
> Wenn ich für x -x einsetze, bekomm ich ja wieder die
> Funktion raus da beim quadrieren das minus weg fällt.
> in Zahlen ausgedrückt:
> [mm]h(-x)=ln (\bruch{(-x)^2}{4} + 1) = ln (\bruch{x^2}{4} + 1)[/mm]
>
> Also ist folgendes erfüllt und somit achsensymmetrisch:
> f(-x)=f(x)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Zum Beweis des Minimums:
> Ableitung durch die Quotientenregel
> [mm]\bruch{0,5*(0,25x^2+1)-(0,5x*0,5x}{(0,25x^2+1)^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Bis hierher stimmt's ...
> gekürzt und zusammengezogen
> [mm]f''= \bruch{0,5-0,25x^2}{0,25x^2+1}[/mm]
Aber hier gibt es nichts zu kürzen! Da musst du nochmal anders zusammenfassen:
$f''(x) \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{0,125x^2+0,5-0,25x^2}{(0,25x^2+1)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-0,125x^2+0,5}{(0,25x^2+1)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-2x^2+8}{(x^2+4)^2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
och schade.
Aber eins versteh ich noch nicht so genau.
Wie kommt von
[mm]\bruch{-0,125x^2+0,5}{(0,25x^2+1)^2} \ = \ \bruch{-2x^2+8}{(x^2+4)^2}[/mm]
und muss das machen?
Ich hab zuerst gedacht du hast das multipliziert, damit die Brüche weggehen, aber da haut nicht ganz hin.
Grüße,
Mareike
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mareike!
> Wie kommt von [mm]\bruch{-0,125x^2+0,5}{(0,25x^2+1)^2} \ = \ \bruch{-2x^2+8}{(x^2+4)^2}[/mm]
>
> und muss das machen?
"Müssen" ist das nicht. Aber ich persönlich versuche halt, Brüche oder Dezimalzahlen in Brüchen zu vermeiden.
Von daher habe ich diesen Bruch mit [mm] $4^2 [/mm] \ = \ 16$ erweitert:
[mm] $\bruch{(-0,125x^2+0,5)*16}{(0,25x^2+1)^2*16} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-2x^2+8}{(0,25x^2+1)^2*4^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-2x^2+8}{[(0,25x^2+1)*4]^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-2x^2+8}{(x^2+4)^2}$
[/mm]
Das hätte man auch vermeiden könne, wenn man bereits bei der 1. Ableitung entsprechend erweitert hätte (siehe meine Antwort oben).
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Mi 20.09.2006 | | Autor: | mareike-f |
Hi,
danke für deine ausführlichen Antworten.
Ich denk, ich habs verstanden.
Grüße,
Mareike
|
|
|
| |
|
Hi,
nochmals danke für deine Antwort.
Also müsste 0 gegen unendlich gehen.
Dann muss ich wohl die ganze 2b verkehrt verstanden haben, hab irgendwie gedacht das das parallel läuft wenn das symmetrisch ist, naja.
Dann muss ich da nichts weiter machen als wie bei eins, also zeigen das es eine achsensymmetrie ist?
Grüße,
Mareike
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mareike!
> Also müsste 0 gegen unendlich gehen.
Wenn, dann gegen [mm] $\red{-} [/mm] \ [mm] \infty$ [/mm] !
> Dann muss ich da nichts weiter machen als wie bei eins,
> also zeigen das es eine achsensymmetrie ist?
Genau!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Mi 20.09.2006 | | Autor: | mareike-f |
Hi,
ah ja danke.
Ich hab es heute anscheinend nicht so mit dem Minus.
Vielen Dank für deine Antworten.
Grüße,
Mareike
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | 3. Eine gerade mit der Gleichung a=x schneidet für [mm]a\not=0[/mm] den Graphen [mm]G_h[/mm] im Punkt A und den Graphen [mm]G_f[/mm] im Punkt B. Zeigen Sie, dass der Term [mm]ln\bruch{a^2+4}{a^2}[/mm] die Entfernung [mm]\overline{AB}[/mm] der beiden Punkte angibt.
Weisen Sie nach, dass für [mm]a ->+\infty[/mm] gegen null geht. |
Ich habe diese Frage auf keiner weiteren Internetseite gestellt.
Hi,
so jetzt gehts an Teilaufgabe 3.
Zum ersten Teil:
Hier würde ich als erstes die beiden Punkte A und B ausrechnen in dem ich a=x mit den anderen beiden Funktionen schneide. Dann würde ich die Entfernung ausrechnen, in dem ich A von B abziehe.
Bis dahin hört sich das für mich noch alles sehr richtig an, aber dann weis ich nicht was ich mit dem Term anstellen soll.
Bekomm ich den vll. wenn aus A und B raus?
[mm]x=a[/mm]
[mm]y=a-x[/mm]
[mm]a-x=ln (\bruch{x^2}{4} + 1)[/mm] mal e?
zum zweiten Teil:
mhh...keine Ahnung wie ich das beweisen soll.
Meine teilt ja immer eine sehr große Zahl durch eine große Zahl.
Und immer wenn man eine große Zahl durch eine kleinere Teilt, ist das ergebnis ja kleiner, aber das ist ja kein Beweis.
Wäre für weitere Hilfestellungen dankbar.
Grüße,
Mareike
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Do 21.09.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Mareike,
> 3. Eine gerade mit der Gleichung a=x schneidet für [mm]a\not=0[/mm]
> den Graphen [mm]G_h[/mm] im Punkt A und den Graphen [mm]G_f[/mm] im Punkt B.
> Zeigen Sie, dass der Term [mm]ln\bruch{a^2+4}{a^2}[/mm] die
> Entfernung [mm]\overline{AB}[/mm] der beiden Punkte angibt.
> Weisen Sie nach, dass für [mm]a ->+\infty[/mm] gegen null geht.
> Ich habe diese Frage auf keiner weiteren Internetseite
> gestellt.
>
> Hi,
> so jetzt gehts an Teilaufgabe 3.
> Zum ersten Teil:
> Hier würde ich als erstes die beiden Punkte A und B
> ausrechnen in dem ich a=x mit den anderen beiden Funktionen
> schneide. Dann würde ich die Entfernung ausrechnen, in dem
> ich A von B abziehe.
> Bis dahin hört sich das für mich noch alles sehr richtig
> an, aber dann weis ich nicht was ich mit dem Term anstellen
> soll.
> Bekomm ich den vll. wenn aus A und B raus?
>
> [mm]x=a[/mm]
> [mm]y=a-x[/mm]
> [mm]a-x=ln (\bruch{x^2}{4} + 1)[/mm] mal e?
Hier verstehe ich deine Rechnung nicht.
Die Gerade $ x = a $ ist doch eine Parallele zur y-Achse. Also ist A(a|h(a)) und B(a|f(a).
Kommst du jetzt weiter?
>
> zum zweiten Teil:
> mhh...keine Ahnung wie ich das beweisen soll.
> Meine teilt ja immer eine sehr große Zahl durch eine große
> Zahl.
> Und immer wenn man eine große Zahl durch eine kleinere
> Teilt, ist das ergebnis ja kleiner, aber das ist ja kein
> Beweis.
Auch hier nur ein erster Tipp:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\ln\bruch{a^2+4}{a^2}[/mm]
$ = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\ln(1 [/mm] + [mm] \bruch{4}{a^2}) [/mm] $
Kommst du jetzt alleine weiter?
Gruß
Sigrid
>
> Wäre für weitere Hilfestellungen dankbar.
>
> Grüße,
> Mareike
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das stimmt jeweils nicht! Der Term [mm] $\bruch{x^2}{4}$ [/mm] geht doch für beide Grenzwerte (linksseitig und rechtsseitig) gegen $0_$ .
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
