Kurvendiskussion Übungsblatt < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:20 Fr 04.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi Leute,
Es ist sicher etwas zuviel verlangt: Ich benötige für die vier Aufgaben die Lösungen, aber besonders den Lösungsweg.
Ableitungen sind kein Problem, aber zum Beispiel das Krümmungsverhalten und die gesammte Aufgabe 4.
Die Grafik ist leider ziemlich schlecht, aber das ist alles was ich habe. Ich tippe die Aufgabenauch gerne nochmal ab, falls ihr Probleme habt es zu lesen.
MfG Vega
PS: Wäre auch schon über einzelne Aufgaben froh, muss nicht das geammte Blatt sein!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hi Leute,
>
> Es ist sicher etwas zuviel verlangt:
Hallo,
irgendwie schon...
Es ist ja Bestandteil der Forenregeln, daß man eigene Lösungsansätze und konkrete Fragen liefert.
Berichte doch mal, was Du bisher getan hast, welche Ergebnisse Du hast und an welchen Stellen die Probleme liegen.
Dann kann man viel besser helfen - und muß nicht selbst alls tippen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Fr 04.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Ok, du hast vollkommen Recht!! Also dann fange ich mal mit Aufgabe 1 an 
Ich habe die Ableitungen 1, 2 und 3:
[mm] f(x)=0,5x^{3}-4x^{2}+8x
[/mm]
[mm] f'(x)=1,5x^{2}-8x+8
[/mm]
f''(x)=3x-8
f'''(x)=3 (hinreichende Bedingung)
Nun setze ich f''(x)=0 und erhalte [mm] x_{0}=8/3 [/mm] (notwendige Bedingung)
Das wiederum setze ich in f'(x) ein und erhalte als Steigung [mm] f'(8/3)=-\bruch{8}{3}
[/mm]
Nun setze ich es noch in f(x) ein und erhalte für f(8/3)=2,37
Nach der Punkt-Steigungs-Formel y = m(x - xP) + yP erhalte ich jetzt:
[mm] y=-\bruch{8}{3}x [/mm] - 7,1111... + 2,37
bzw.
[mm] y=-\bruch{8}{3}*(x-\bruch{8}{3})+2,37
[/mm]
Passt das soweit, oder wo liegen die Fehler, wenn nicht?
|
|
|
| |
|
Hallo vega_ffm,
> Ok, du hast vollkommen Recht!! Also dann fange ich mal mit
> Aufgabe 1 an
>
> Ich habe die Ableitungen 1, 2 und 3:
>
> [mm]f(x)=0,5x^{3}-4x^{2}+8x[/mm]
> [mm]f'(x)=1,5x^{2}-8x+8[/mm]
> f''(x)=3x-8
> f'''(x)=3 (hinreichende Bedingung)
>
> Nun setze ich f''(x)=0 und erhalte [mm]x_{0}=8/3[/mm] (notwendige
> Bedingung)
> Das wiederum setze ich in f'(x) ein und erhalte als
> Steigung [mm]f'(8/3)=-\bruch{8}{3}[/mm]
> Nun setze ich es noch in f(x) ein und erhalte für
> f(8/3)=2,37
>
> Nach der Punkt-Steigungs-Formel y = m(x - xP) + yP erhalte
> ich jetzt:
> [mm]y=-\bruch{8}{3}x[/mm] - 7,1111... + 2,37
> bzw.
> [mm]y=-\bruch{8}{3}*(x-\bruch{8}{3})+2,37[/mm]
[mm]y=-\bruch{8}{3}*x+\bruch{256}{27}[/mm]
>
> Passt das soweit, oder wo liegen die Fehler, wenn nicht?
Passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 So 06.04.2008 | | Autor: | argl |
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Fr 04.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Wunderbar!
Dann weiter zu Aufgabe zwei. Krümmungsverhalten von
[mm] f(x)=\bruch{1}{12}x^{4}+2x^{2}
[/mm]
Ableitungen:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{3}x^{3}+4x
[/mm]
[mm] f''(x)=x^{2}+4
[/mm]
Antwort: f''(x)>0 [mm] \Rightarrow [/mm] linksgekrümmt
Aber ist das wirklich die Antwort?
MfG
|
|
|
| |
|
> Dann weiter zu Aufgabe zwei. Krümmungsverhalten von
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{12}x^{4}+2x^{2}[/mm]
>
> Ableitungen:
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{3}x^{3}+4x[/mm]
> [mm]f''(x)=x^{2}+4[/mm]
>
> Antwort: f''(x)>0 [mm]\Rightarrow[/mm] linksgekrümmt
>
> Aber ist das wirklich die Antwort?
Hallo,
ja.
Du kannst das natürlich noch etwas genauer aufschreiben:
weil [mm] x^2 [/mm] nie negativ wird, ist [mm] f''(x)=x^{2}+4 [/mm] >0 für alle reellen Zahlen x, und daher ist die Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] linksgekrümmt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 06.04.2008 | | Autor: | argl |
Hmmm, meiner Meinung nach ist das aber noch nicht ganz die Lösung. Ich untersuche immer die Nullstellen der zweiten Ableitung und überprüfe dann das Krümmungsverhalten an und zwischen den Nullstellen und erhalte somit Angaben für mindestens zwei Intervalle (wenn die Funktion eine Nullstelle hat).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Fr 04.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Ich weiß jetzt schon nicht mehr wie ich euch danken soll, dabei sind wir erst halb durch. Ihr seid spitze!
Aufgabe 3)
[mm] f(x)=-x^{4}+2x^{3}
[/mm]
0) Ableitungen
[mm] f'(x)=-4x^{3}+6x^{2}
[/mm]
[mm] f''(x)=-12x^{2}+12x
[/mm]
f'''(x)=-24x+12
f''''(x)=24
und Nullstellen:
[mm] -x^{2}(x^{2}-2x) [/mm] = 0
[mm] x_{01}=(0;0)
[/mm]
[mm] x_{02}=(0;2)
[/mm]
(sind das alle?)
i) Verhalten gegen [mm] |\infty|
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow|\infty|} f(x)->\infty [/mm] ( Da [mm] x^{4} [/mm] stärker wiegt als [mm] x^{3} [/mm] )
ii)Symmetrie:
f(x)=f(-x) ?
Hier habe ich ein wirkliches Grundsatzproblem. Ich weiß nicht, ob beim einsetzen von -x, aus [mm] -x^{4} [/mm] ein [mm] -(-x^{4}), [/mm] also wieder ein [mm] -x^{4}, [/mm] oder ein [mm] (-(-x))^{4}, [/mm] also [mm] x^{4} [/mm] wird.
Auf jeden Fall müsste der zweite Term [mm] -2x^{3} [/mm] lauten und somit dürfte keine Achsensymmetrie vorhanden sein.
f(-x)=-f(x) ?
[mm] -f(x)=x^{4}-2x^{3}
[/mm]
Hier kommt es auf obige Frage an.
iii) Achsenschnittpunkte
y-Achsenabschnitt:
y=0 [mm] \Rightarrow 0=-x^{4}+2x^{3} [/mm] ... ?
So, an dieser Stelle muss ich leider erstmal eine Pause einlegen, da ich nicht mehr weiter komme. Wie ihr in der Aufgabenstellung seht, kommen da noch die Extrem- und Wendepunkte & das Steigungs- und Krümmungsverhalten dazu.
Bei letzterem das wieder das Problem: Bedeutet [mm] -12x^{2} [/mm] nun [mm] -(12x^{2}) [/mm] oder [mm] (-12x)^{2}.
[/mm]
Ich wäre euch dankbar über jede Korrektur oder Ergänzung zum bisherigen Stand der KD. Vielleicht könnt ihr mir ja sogar bei den verbliebenen Punkten einen Wink mit dem Zaunpfahl geben. (oder einen Schlag)
MfG
|
|
|
| |
|
Hallo vega_ffm,
> Ich weiß jetzt schon nicht mehr wie ich euch danken soll,
> dabei sind wir erst halb durch. Ihr seid spitze!
>
> Aufgabe 3)
> [mm]f(x)=-x^{4}+2x^{3}[/mm]
>
> 0) Ableitungen
> [mm]f'(x)=-4x^{3}+6x^{2}[/mm]
> [mm]f''(x)=-12x^{2}+12x[/mm]
> f'''(x)=-24x+12
> f''''(x)=24
>
> und Nullstellen:
> [mm]-x^{2}(x^{2}-2x)[/mm] = 0
> [mm]x_{01}=(0;0)[/mm]
> [mm]x_{02}=(0;2)[/mm]
> (sind das alle?)
Ja, 0 ist 3fache Nullstelle, 2 einfache Nullstelle.
>
> i) Verhalten gegen [mm]|\infty|[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow|\infty|} f(x)->\infty[/mm] ( Da [mm]x^{4}[/mm]
> stärker wiegt als [mm]x^{3}[/mm] )
Ok, die Funktion verhält sich im Unendlichen wie die höchste Potenz.
>
>
> ii)Symmetrie:
> f(x)=f(-x) ?
> Hier habe ich ein wirkliches Grundsatzproblem. Ich weiß
> nicht, ob beim einsetzen von -x, aus [mm]-x^{4}[/mm] ein [mm]-(-x^{4}),[/mm]
> also wieder ein [mm]-x^{4},[/mm] oder ein [mm](-(-x))^{4},[/mm] also [mm]x^{4}[/mm]
> wird.
[mm]f\left(-x\right)=-\left(-x\right)^{4}+2*\left(-x\right)^3[/mm]
> Auf jeden Fall müsste der zweite Term [mm]-2x^{3}[/mm] lauten und
> somit dürfte keine Achsensymmetrie vorhanden sein.
Ok.
>
> f(-x)=-f(x) ?
> [mm]-f(x)=x^{4}-2x^{3}[/mm]
> Hier kommt es auf obige Frage an.
>
>
> iii) Achsenschnittpunkte
> y-Achsenabschnitt:
> y=0 [mm]\Rightarrow 0=-x^{4}+2x^{3}[/mm] ... ?
>
Die Schnittpunkte mit der x-Achse hast Du schon vorher berechnet.
>
>
> So, an dieser Stelle muss ich leider erstmal eine Pause > einlegen, da ich nicht mehr weiter komme. Wie ihr in der
> Aufgabenstellung seht, kommen da noch die Extrem- und
> Wendepunkte & das Steigungs- und Krümmungsverhalten dazu.
>
> Bei letzterem das wieder das Problem: Bedeutet [mm]-12x^{2}[/mm] nun
> [mm]-(12x^{2})[/mm] oder [mm](-12x)^{2}.[/mm]
[mm]-12x^{2}=-\left(12x^{2}\right)[/mm]
>
> Ich wäre euch dankbar über jede Korrektur oder Ergänzung
> zum bisherigen Stand der KD. Vielleicht könnt ihr mir ja
> sogar bei den verbliebenen Punkten einen Wink mit dem
> Zaunpfahl geben. (oder einen Schlag)
>
> MfG
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Sa 05.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Hi, nochmal eine kurze Nachfrage.
Kann es sein, dass
$ [mm] f(x)=-x^{4}+2x^{3} [/mm] $
nicht wie von mir geschrieben, gegen [mm] \infty [/mm] geht, sondern gegen [mm] -\infty? [/mm] Wegen dem - [mm] x^{4}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo vega_ffm,
> Hi, nochmal eine kurze Nachfrage.
>
> Kann es sein, dass
>
> [mm]f(x)=-x^{4}+2x^{3}[/mm]
>
> nicht wie von mir geschrieben, gegen [mm]\infty[/mm] geht, sondern
> gegen [mm]-\infty?[/mm] Wegen dem - [mm]x^{4}[/mm]
>
>
Ja, da hast Du recht, dass das gegen [mm]-\infty[/mm] geht.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Sa 05.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Ah, sehr gut.
Ich hänge gerade noch bei Aufgabe 3 und den Extremwerten.
Die erste Ableitung lautet ja [mm] -4x^{3}+6x^{2} [/mm] = x*x*(-4x+6) . Sie hat also Nullstellen bei 0(zweifach) und bei 1,5.
Mit 1.5 komme ich in der zweiten Ableitung auf -15, also befindet sich dort ein Hochpunkt. Mit 0 komme ich aber auf 0, also ist das garkein Extremwert? Trotz der drei-Potenz in f(x) ?
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Sa 05.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
hat sich erledigt, sorry!
(Sattelpunkt)
|
|
|
| |
|
Hallo vega_ffm,
> Ah, sehr gut.
>
> Ich hänge gerade noch bei Aufgabe 3 und den Extremwerten.
>
> Die erste Ableitung lautet ja [mm]-4x^{3}+6x^{2}[/mm] = x*x*(-4x+6)
> . Sie hat also Nullstellen bei 0(zweifach) und bei 1,5.
>
> Mit 1.5 komme ich in der zweiten Ableitung auf -15, also
Hmm. Die [mm]-15[/mm] stimmt nicht.
> befindet sich dort ein Hochpunkt. Mit 0 komme ich aber auf
> 0, also ist das garkein Extremwert? Trotz der drei-Potenz
> in f(x) ?
Das ist richtig.
>
> MfG
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Sa 05.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Ah, danke. Es war die -9. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Sa 05.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Jetzt liegen mir im Prinzip nurnoch zwei Sachen auf dem Herzen.
Steigungsverhalten in Aufgabe 3: Ich würde sagen die Funktion ist bis zum Hochpunkt streng Monoton steigend und danach streng monoton fallend. Der Sattelpunkt dürfte ja eigentlich kein Problem darstellen bez. "streng".
Und zum zweiten die Aufgabe 4:
4)Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades verläuft durch den Koordinatenursprung und schneidet bei 6 die x-Achse. Die Wendetangente durch den Punkt (0|0) ist der graph mit der Funktion t(x)=2x.
Ermitteln Sie den Funktionsterm
Infos:
[mm] x^{3} [/mm] kommt vor
f(0)=0
f(6)=0
Wendetangente hat die Steigung m=2 und geht durch (0;0)
Die Funktion hat an Ihrem Wendepunkt ebenfalls die Steigung 2
Ansatz 1: Die Steigung der Wendetangente ist die Steigung der Funktion am Wendepunkt, also setze ich die Steigung "2" und den Punkt (6;0) in die Punkt-Steigungs-Formel ein und erhalte: f(x)=2(x-6)=2x-12
Das macht natürlich keinen Sinn, weil diese Funktion überhaupt keinen Wendepunkt hat.
Ansatz 2: Die Wendetangente IST die zweite Ableitung, da der Wendepunkt bei f''(x)=0 liegt, was ja bei f(x)=2x gegeben ist.
[mm] \Rightarrow f(x)=\bruch{x^{3}}{3}
[/mm]
Das macht auch keinen Sinn, geht nicht durch (6;0)
...
Soweit so schlecht. An der Stelle hänge ich fest.
|
|
|
| |
|
Hallo vega_ffm,
> Jetzt liegen mir im Prinzip nurnoch zwei Sachen auf dem
> Herzen.
>
> Steigungsverhalten in Aufgabe 3: Ich würde sagen die
> Funktion ist bis zum Hochpunkt streng Monoton steigend und
> danach streng monoton fallend. Der Sattelpunkt dürfte ja
> eigentlich kein Problem darstellen bez. "streng".
Das kannst Du Dir aus [mm]f'\left(x\right)[/mm] selbst herleiten:
[mm]f'\left(x)\right)=-4x^{3}+6*x^{2}=2x^{2}*\left(-2x+3\right)[/mm]
2 Fälle:
i) [mm]3-2*x>0 \Rightarrow x < \bruch{3}{2} [/mm]
ii) [mm] 3-2*x<0 \Rightarrow x > \bruch{3}{2} [/mm]
>
> Und zum zweiten die Aufgabe 4:
> 4)Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades
> verläuft durch den Koordinatenursprung und schneidet bei 6
> die x-Achse. Die Wendetangente durch den Punkt (0|0) ist
> der graph mit der Funktion t(x)=2x.
> Ermitteln Sie den Funktionsterm
>
> Infos:
> [mm]x^{3}[/mm] kommt vor
> f(0)=0
> f(6)=0
> Wendetangente hat die Steigung m=2 und geht durch (0;0)
> Die Funktion hat an Ihrem Wendepunkt ebenfalls die
> Steigung 2
>
> Ansatz 1: Die Steigung der Wendetangente ist die Steigung
> der Funktion am Wendepunkt, also setze ich die Steigung "2"
> und den Punkt (6;0) in die Punkt-Steigungs-Formel ein und
> erhalte: f(x)=2(x-6)=2x-12
> Das macht natürlich keinen Sinn, weil diese Funktion
> überhaupt keinen Wendepunkt hat.
>
> Ansatz 2: Die Wendetangente IST die zweite Ableitung, da
> der Wendepunkt bei f''(x)=0 liegt, was ja bei f(x)=2x
> gegeben ist.
> [mm]\Rightarrow f(x)=\bruch{x^{3}}{3}[/mm]
> Das macht auch keinen
> Sinn, geht nicht durch (6;0)
>
> ...
>
> Soweit so schlecht. An der Stelle hänge ich fest.
>
Da musst Du erstmal den Wendepunkt herausbekommen.
[mm]f\left(x\right)=a*x^{3}+b*x^{2}+c*x+d[/mm]
Bilde die 2. Ableitung und Du erhältst [mm]x_{W}\ = \ \dots[/mm]
Bilde dann [mm]f'\left(x_{W}\right)[/mm] Dies ist dann die 3. Bedingung.
Weiters geht die Tangente im Wendepunkt [mm]x_{W}[/mm] durch [mm]\left(0|0\right)[/mm]. Daraus folgt, daß die Tangente eine Ursprungsgerade ist. Daher ergibt sich aus dieser Tangentengleichung unmittelbar die 4. Bedingung.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Sa 05.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Hi Mathepower. Ich stehe leider immernoch auf dem Schlauch. Ist das soweit schonmal richtig, oder bin ich schon auf dem Holzweg?
> Da musst Du erstmal den Wendepunkt herausbekommen.
>
> [mm]f\left(x\right)=a*x^{3}+b*x^{2}+c*x+d[/mm]
>
> Bilde die 2. Ableitung und Du erhältst [mm]x_{W}\ = \ \dots[/mm]
[mm] f'(x)=3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
f''(x)=2ax+2b
f''(x)=0 [mm] \rightarrow x_{w}=-\bruch{2b}{6a}
[/mm]
> Bilde dann [mm]f'\left(x_{W}\right)[/mm] Dies ist dann die 3.
> Bedingung.
[mm] f'(x)=3a(-\bruch{2b}{6a})^{2}+2b(-\bruch{2b}{6a})+c [/mm] = 2
> Weiters geht die Tangente
> im Wendepunkt [mm]x_{W}[/mm] durch [mm]\left(0|0\right)[/mm]. Daraus folgt,
> daß die Tangente eine Ursprungsgerade ist. Daher ergibt
> sich aus dieser Tangentengleichung unmittelbar die 4.
> Bedingung.
>
> Gruß
> MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo vega_ffm,
> Hi Mathepower. Ich stehe leider immernoch auf dem Schlauch.
> Ist das soweit schonmal richtig, oder bin ich schon auf dem
> Holzweg?
>
> > Da musst Du erstmal den Wendepunkt herausbekommen.
> >
> > [mm]f\left(x\right)=a*x^{3}+b*x^{2}+c*x+d[/mm]
> >
> > Bilde die 2. Ableitung und Du erhältst [mm]x_{W}\ = \ \dots[/mm]
>
>
> [mm]f'(x)=3ax^{2}+2bx+c[/mm]
> f''(x)=2ax+2b
> f''(x)=0 [mm]\rightarrow x_{w}=-\bruch{2b}{6a}[/mm]
>
> > Bilde dann [mm]f'\left(x_{W}\right)[/mm] Dies ist dann die 3.
> > Bedingung.
>
> [mm]f'(x)=3a(-\bruch{2b}{6a})^{2}+2b(-\bruch{2b}{6a})+c[/mm] = 2
Das kann man noch ein bischen zusammenfassen.
>
> > Weiters geht die Tangente
> > im Wendepunkt [mm]x_{W}[/mm] durch [mm]\left(0|0\right)[/mm]. Daraus folgt,
> > daß die Tangente eine Ursprungsgerade ist. Daher ergibt
> > sich aus dieser Tangentengleichung unmittelbar die 4.
> > Bedingung.
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Sa 05.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Hi Mathepower.
> > [mm]f'(x)=3a(-\bruch{2b}{6a})^{2}+2b(-\bruch{2b}{6a})+c[/mm] = 2
>
> Das kann man noch ein bischen zusammenfassen.
[mm] -\bruch{16b^{2}}{18a}+c [/mm] = 2
An der Stelle hänge ich schon wieder fest. Tut mir wirklich leid, dass ich dich so nerve.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Sa 05.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Ich bekomme heute nichts mehr hin. Was oben steht ist vollkommener Quark.
Vereinfach müsste es heißen [mm] -\bruch{b^{2}}{a}+c=2
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo vega_ffm,
> Hi Mathepower.
>
> > > [mm]f'(x)=3a(-\bruch{2b}{6a})^{2}+2b(-\bruch{2b}{6a})+c[/mm] = 2
> >
> > Das kann man noch ein bischen zusammenfassen.
>
> [mm]-\bruch{16b^{2}}{18a}+c[/mm] = 2
Die Gleichung
[mm]f'(x)=3a(-\bruch{2b}{6a})^{2}+2b(-\bruch{2b}{6a})+c=2[/mm]
stimmt.
Dann ist der Fehler beim Zusammenfassen passiert.
>
> An der Stelle hänge ich schon wieder fest. Tut mir wirklich
> leid, dass ich dich so nerve.
>
>
[mm]f'(x)=3a(-\bruch{2b}{6a})^{2}+2b(-\bruch{2b}{6a})+c=2[/mm]
Vereinfachen: [mm]\bruch{2b}{6a}=\bruch{b}{3a}[/mm]
[mm]f'(x)=3a(-\bruch{b}{3a})^{2}+2b(-\bruch{b}{3a})+c=2[/mm]
[mm]\gdw 3a*\bruch{b^{2}}{9a^{2}}-2b(\bruch{b}{3a})+c=2[/mm]
[mm]\gdw \bruch{b^{2}}{3a}-\bruch{2b^{2}}{3a}+c=2[/mm]
[mm]\gdw -\bruch{b^{2}}{3a}+c=2 [/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Sa 05.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Hi, ich weiß auch nicht was ich da für einen Unfug angestellt habe. Jetzt wo ich das sehe ist es ganz klar. Danke.
Ich habe aber noch das Problem, dass ich mit der falschen Vereinfachung schon hatte. Ich weiß nicht wie es nach diesem Schritt nun weiter geht. Nach was muss ich auflösen, bzw. wo muss ich es einsetzen?
|
|
|
| |
|
Hallo vega_ffm,
> Hi, ich weiß auch nicht was ich da für einen Unfug
> angestellt habe. Jetzt wo ich das sehe ist es ganz klar.
> Danke.
>
> Ich habe aber noch das Problem, dass ich mit der falschen
> Vereinfachung schon hatte. Ich weiß nicht wie es nach
> diesem Schritt nun weiter geht. Nach was muss ich auflösen,
> bzw. wo muss ich es einsetzen?
Ermittle erst einmal die 4. Bedingungsgleichung, dann kannst Du immer noch schauen, wo Du das einsetzt.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 So 06.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Hallo Mathepower,
> Ermittle erst einmal die 4. Bedingungsgleichung, dann
> kannst Du immer noch schauen, wo Du das einsetzt.
Wie genau mache ich das? Die Tagentengleich ist ja mit t(x)=2x angegeben. Da könnte ich jetzt die 2 durch die f'(x) Formel ersetzen, aber macht das Sinn?
Grüße vega_ffm
|
|
|
| |
|
Hallo vega_ffm,
> Hallo Mathepower,
>
> > Ermittle erst einmal die 4. Bedingungsgleichung, dann
> > kannst Du immer noch schauen, wo Du das einsetzt.
>
> Wie genau mache ich das? Die Tagentengleich ist ja mit
> t(x)=2x angegeben. Da könnte ich jetzt die 2 durch die
> f'(x) Formel ersetzen, aber macht das Sinn?
Die Tangentengleichung im Wendepunkt [mm]x_{W}[/mm] lautet:
[mm]y=f'\left(x_{W}\right)*\left(x-x_{W}\right)+f\left(x_{W}\right)[/mm]
[mm]\gdw y=f'\left(x_{W}\right)*x+\left(-f'\left(x_{W}\right)*x_{W}+f\left(x_{W}\right)\right)[/mm]
Jetzt wissen wir, daß die Tangentengleichung im Wendepunkt eine Ursprungsgerade ist, das heisst
[mm]-f'\left(x_{W}\right)*x_{W}+f\left(x_{W}\right)=0[/mm]
[mm]\gdw -2*x_{W}+f\left(x_{W}\right)=0[/mm]
Diese Gleichung ist jetzt die 4. Bedingungsgleichung.
>
> Grüße vega_ffm
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 So 06.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Hallo Mathepower,
> Die Tangentengleichung
> im Wendepunkt [mm]x_{W}[/mm] lautet:
>
> [mm]y=f'\left(x_{W}\right)*\left(x-x_{W}\right)+f\left(x_{W}\right)[/mm]
>
> [mm]\gdw y=f'\left(x_{W}\right)*x+\left(-f'\left(x_{W}\right)*x_{W}+f\left(x_{W}\right)\right)[/mm]
>
>
> Jetzt wissen wir, daß die Tangentengleichung im Wendepunkt
> eine Ursprungsgerade ist, das heisst
>
> [mm]-f'\left(x_{W}\right)*x_{W}+f\left(x_{W}\right)=0[/mm]
>
> [mm]\gdw -2*x_{W}+f\left(x_{W}\right)=0[/mm]
Aus der Aufgabenstellung: "...Die Wendetangente durch den Punkt (0|0) ist der graph mit der Funktion t(x)=2x."
Das entspricht deiner Lösung und scheint definitiv richtig zu sein.
Wie passt das jetzt aber mit [mm] -\bruch{b^{2}}{3a}+c=2 [/mm] zusammen?
Bzw. wie komme ich auf f(x)? Ich hänge da jetzt schon seit etlichen Stunden dran und ich finde so langsam keine Konzentration mehr. Aber ich werde nicht einschlafen können, bis ich auf was vernünftiges komme. Hast du noch einen letzten heißen Tipp für mich, damit ich das zu Ende bringen kann?
MfG vega_ffm
|
|
|
| |
|
Hallo vega_ffm,
> Hallo Mathepower,
>
> > Die Tangentengleichung
> > im Wendepunkt [mm]x_{W}[/mm] lautet:
> >
> >
> [mm]y=f'\left(x_{W}\right)*\left(x-x_{W}\right)+f\left(x_{W}\right)[/mm]
> >
> > [mm]\gdw y=f'\left(x_{W}\right)*x+\left(-f'\left(x_{W}\right)*x_{W}+f\left(x_{W}\right)\right)[/mm]
>
> >
> >
> > Jetzt wissen wir, daß die Tangentengleichung im Wendepunkt
> > eine Ursprungsgerade ist, das heisst
> >
> > [mm]-f'\left(x_{W}\right)*x_{W}+f\left(x_{W}\right)=0[/mm]
> >
> > [mm]\gdw -2*x_{W}+f\left(x_{W}\right)=0[/mm]
>
> Aus der Aufgabenstellung: "...Die Wendetangente durch den
> Punkt (0|0) ist der graph mit der Funktion t(x)=2x."
> Das entspricht deiner Lösung und scheint definitiv richtig
> zu sein.
>
> Wie passt das jetzt aber mit [mm]-\bruch{b^{2}}{3a}+c=2[/mm]
> zusammen?
>
> Bzw. wie komme ich auf f(x)? Ich hänge da jetzt schon seit
> etlichen Stunden dran und ich finde so langsam keine
> Konzentration mehr. Aber ich werde nicht einschlafen
> können, bis ich auf was vernünftiges komme. Hast du noch
> einen letzten heißen Tipp für mich, damit ich das zu Ende
> bringen kann?
Aus der Gleichung [mm]f\left(0\right)=0 \ \left(1\right)[/mm] erhältst Du das Absolutglied d.
Setze dies dann in die Gleichungen
[mm]f\left(6\right)=0 \ \left(2\right)[/mm]
und
[mm]f\left(x_{W}\right)-2*x_{W}=0 \ \left(4\right)[/mm]
ein.
Dann erhältst Du die Gleichungen (2a) und (4a).
Löse die Gleichung [mm]c-\bruch{b^{2}}{3a}=2 \ \left(3\right)[/mm] nach c auf und setze dieses c in Gleichung (4a) ein. Daraus ergibt sich b.
Dieses b wiederum setzt Du in die Gleichung (3) ein und erhälst c.
Welche Gleichung bleibt noch übrig, um das a zu ermitteln?
>
> MfG vega_ffm
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:42 So 06.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Hi.
> Aus der Gleichung [mm]f\left(0\right)=0 \ \left(1\right)[/mm]
> erhältst Du das Absolutglied d.
$ [mm] f\left(x\right)=a\cdot{}x^{3}+b\cdot{}x^{2}+c\cdot{}x+d [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] f(0)=d=0 [mm] \Rightarrow [/mm] d=0
> Setze dies dann in die Gleichungen
>
> [mm]f\left(6\right)=0 \ \left(2\right)[/mm]
f(6)= 216a+36b+6c = 0
> und
>
> [mm]f\left(x_{W}\right)-2*x_{W}=0 \ \left(4\right)[/mm]
>
> ein.
Was genau muss ich hier einsetzen? d kommt ja nicht vor.
> Dann erhältst Du die Gleichungen (2a) und (4a).
>
> Löse die Gleichung [mm]c-\bruch{b^{2}}{3a}=2 \ \left(3\right)[/mm]
> nach c auf...
$ [mm] c=2+\bruch{b^{2}}{3a} [/mm] $
>...und setze dieses c in Gleichung (4a) ein. Daraus
> ergibt sich b.
f(6)= [mm] 216a+36b+\bruch{2b^{2}}{a}+12 [/mm] = 0
...Ich glaube ich bin schon wieder auf dem Holzweg... :-(
> Dieses b wiederum setzt Du in die Gleichung (3) ein und
> erhälst c.
>
> Welche Gleichung bleibt noch übrig, um das a zu ermitteln?
>
> >
> > MfG vega_ffm
> >
>
> Gruß
> MathePower
Das Problem ist, dass wir so eine Aufgabe bisher noch nicht einmal im Ansatz gemacht haben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:33 So 06.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Hi.
> Ist auch wieder wahr.
> Ohne die Gleichung 4 bzw. 4a kommst Du meines Erachtens
> nicht weiter.
Ok, alsoooo: Die Gleichung 4 müsste folgendes sein
[mm] >f\left(x_{W}\right)-2\cdot{}x_{W}=0 \left(4\right)
[/mm]
und die Gleichung 4a dann
[mm] f\left(x_{W}\right)-2\cdot-\bruch{b}{3a}=f\left(x_{W}\right)+\bruch{2b}{3a}=0 [/mm] (4a)
Stimmt das so?
MfG
|
|
|
| |
|
Hallo vega_ffm,
> Hi.
>
> > Ist auch wieder wahr.
> > Ohne die Gleichung 4 bzw. 4a kommst Du meines Erachtens
> > nicht weiter.
>
> Ok, alsoooo: Die Gleichung 4 müsste folgendes sein
> [mm]>f\left(x_{W}\right)-2\cdot{}x_{W}=0 \left(4\right)[/mm]
> und
> die Gleichung 4a dann
>
> [mm]f\left(x_{W}\right)-2\cdot-\bruch{b}{3a}=f\left(x_{W}\right)+\bruch{2b}{3a}=0[/mm]
> (4a)
>
> Stimmt das so?
Und was ist [mm][mm] f\left(x_{W}\right)?
[/mm]
>
> MfG
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:52 So 06.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
> Hallo vega_ffm,
>
> > Hi.
> >
> > > Ist auch wieder wahr.
> > > Ohne die Gleichung 4 bzw. 4a kommst Du meines
> Erachtens
> > > nicht weiter.
> >
> > Ok, alsoooo: Die Gleichung 4 müsste folgendes sein
> > [mm]>f\left(x_{W}\right)-2\cdot{}x_{W}=0 \left(4\right)[/mm]
> >
> und
> > die Gleichung 4a dann
> >
> >
> [mm]f\left(x_{W}\right)-2\cdot-\bruch{b}{3a}=f\left(x_{W}\right)+\bruch{2b}{3a}=0[/mm]
> > (4a)
> >
> > Stimmt das so?
>
> Und was ist [mm][mm]f\left(x_{W}\right)?[/mm]
Das müsste dann [mm] x_{w} [/mm] eingesetzt in $ [mm] f\left(x\right)=a\cdot{}x^{3}+b\cdot{}x^{2}+c\cdot{}x+d [/mm] $ sein, wobei ich da noch $ [mm] c=2+\bruch{b^{2}}{3a} [/mm] $ zusätzlich einsetzen muss?
>
> MfG
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo vega_ffm,
> > Hallo vega_ffm,
> >
> > > Hi.
> > >
> > > > Ist auch wieder wahr.
> > > > Ohne die Gleichung 4 bzw. 4a kommst Du meines
> > Erachtens
> > > > nicht weiter.
> > >
> > > Ok, alsoooo: Die Gleichung 4 müsste folgendes sein
> > > [mm]>f\left(x_{W}\right)-2\cdot{}x_{W}=0 \left(4\right)[/mm]
>
> > >
> > und
> > > die Gleichung 4a dann
> > >
> > >
> >
> [mm]f\left(x_{W}\right)-2\cdot-\bruch{b}{3a}=f\left(x_{W}\right)+\bruch{2b}{3a}=0[/mm]
> > > (4a)
> > >
> > > Stimmt das so?
> >
> > Und was ist [mm][mm]f\left(x_{W}\right)?[/mm]
Das müsste dann [mm]x_{w}[/mm] eingesetzt in [mm]f\left(x\right)=a\cdot{}x^{3}+b\cdot{}x^{2}+c\cdot{}x+d[/mm] sein, wobei ich da noch [mm]c=2+\bruch{b^{2}}{3a}[/mm] zusätzlich einsetzen muss?
So isses. ![[saumuede]](/images/smileys/saumuede.gif "[saumuede]")
>
> MfG
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 So 06.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Guten "Morgen".
Nur zur besseren Übersicht:
[mm] c=2+\bruch{b^{2}}{3a}
[/mm]
d=0
[mm] x_{W}=-\bruch{b}{3a}
[/mm]
[mm] f\left(x_{W}\right)=a\cdot{}x_{W}^{3}+b\cdot{}x_{W}^{2}+c\cdot{}x_{W}+d
[/mm]
[mm] f\left(x_{W}\right)-2*x_{W}=0
[/mm]
>Das müsste dann [mm]x_{w}[/mm] eingesetzt in >[mm]f\left(x\right)=a\cdot{}x^{3}+b\cdot{}x^{2}+c\cdot{}x+d[/mm] sein, >wobei ich da noch [mm]c=2+\bruch{b^{2}}{3a}[/mm] zusätzlich einsetzen >muss?
>>So isses.
Ok, ich habe das gemacht und komme auf
[mm] f(-\bruch{b}{3a})-2\cdot{}-\bruch{b}{3a}=0
[/mm]
[mm] a*(-\bruch{b}{3a})^{3}+b*(-\bruch{b}{3a})^{2}+(2-\bruch{b^2}{3a})*(-\bruch{b}{3a})-2+(-\bruch{b}{3a})=0
[/mm]
[mm] \bruch{5*b^{3}}{27*a^{2}}=0
[/mm]
Was schon wieder Unfug ist, da a und b dafür 0 sein müssten.
|
|
|
| |
|
Hallo vega_ffm,
> Guten "Morgen".
>
> Nur zur besseren Übersicht:
> [mm]c=2+\bruch{b^{2}}{3a}[/mm]
>
> d=0
>
> [mm]x_{W}=-\bruch{b}{3a}[/mm]
>
> [mm]f\left(x_{W}\right)=a\cdot{}x_{W}^{3}+b\cdot{}x_{W}^{2}+c\cdot{}x_{W}+d[/mm]
>
> [mm]f\left(x_{W}\right)-2*x_{W}=0[/mm]
>
> >Das müsste dann [mm]x_{w}[/mm] eingesetzt in
> >[mm]f\left(x\right)=a\cdot{}x^{3}+b\cdot{}x^{2}+c\cdot{}x+d[/mm]
> sein, >wobei ich da noch [mm]c=2+\bruch{b^{2}}{3a}[/mm] zusätzlich
> einsetzen >muss?
>
> >>So isses.
>
> Ok, ich habe das gemacht und komme auf
>
> [mm]f(-\bruch{b}{3a})-2\cdot{}-\bruch{b}{3a}=0[/mm]
>
> [mm]a*(-\bruch{b}{3a})^{3}+b*(-\bruch{b}{3a})^{2}+(2-\bruch{b^2}{3a})*(-\bruch{b}{3a})-2+(-\bruch{b}{3a})=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{5*b^{3}}{27*a^{2}}=0[/mm]
Richtig muss es heißen:
[mm]-\bruch{b^{3}}{27*a^{2}}=0[/mm]
>
> Was schon wieder Unfug ist, da a und b dafür 0 sein
> müssten.
Wie kommst Du zu dem Schluß, daß [mm]a=0[/mm] sein muß?
Dann hast Du nämlich [mm]-\bruch{b^{3}}{27*a^{2}}=\bruch{0}{0}[/mm].
Und eine Division durch 0 ist nicht erlaubt, daher muß [mm]a \not= 0[/mm] sein.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 So 06.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
Hi
> Wie kommst Du zu dem Schluß, daß [mm]a=0[/mm] sein muß?
>
> Dann hast Du nämlich
> [mm]-\bruch{b^{3}}{27*a^{2}}=\bruch{0}{0}[/mm].
>
> Und eine Division durch 0 ist nicht erlaubt, daher muß [mm]a \not= 0[/mm]
> sein.
Du hast recht. Der Schluss muss sein [mm] \rightarrow [/mm] b = 0
Also d=0
c = 2 - [mm] \bruch{b^{2}}{3a} [/mm] (hier hatte ich eben einen Fehler)
b = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] c = 2
fehlt noch a
[mm] f(x)=a*x^{3}+c*x
[/mm]
f(6)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a*216+2*6 = 0
[mm] a=-\bruch{12}{216}=-\bruch{1}{18}
[/mm]
[mm] f(x)=-\bruch{1}{18}*x^{3}+2*x
[/mm]
Ich weiß noch nicht sicher, ob das richtig ist, aber der Graph sieht schonmal sehr gut aus.
> Gruß
> MathePower
Gruß vega_ffm
|
|
|
| |
|
Hallo vega_ffm,
> Hi
>
> > Wie kommst Du zu dem Schluß, daß [mm]a=0[/mm] sein muß?
> >
> > Dann hast Du nämlich
> > [mm]-\bruch{b^{3}}{27*a^{2}}=\bruch{0}{0}[/mm].
> >
> > Und eine Division durch 0 ist nicht erlaubt, daher muß [mm]a \not= 0[/mm]
> > sein.
>
> Du hast recht. Der Schluss muss sein [mm]\rightarrow[/mm] b = 0
>
> Also d=0
> c = 2 - [mm]\bruch{b^{2}}{3a}[/mm] (hier hatte ich eben einen
> Fehler)
> b = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] c = 2
> fehlt noch a
>
> [mm]f(x)=a*x^{3}+c*x[/mm]
>
> f(6)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] a*216+2*6 = 0
>
> [mm]a=-\bruch{12}{216}=-\bruch{1}{18}[/mm]
>
> [mm]f(x)=-\bruch{1}{18}*x^{3}+2*x[/mm]
>
> Ich weiß noch nicht sicher, ob das richtig ist, aber der
> Graph sieht schonmal sehr gut aus.
Das ist richtig, das hab ich nämlich auch raus.
>
> > Gruß
> > MathePower
>
> Gruß vega_ffm
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 So 06.04.2008 | | Autor: | vega_ffm |
MathePower, ich weiß garnicht wie ich dir danken soll.
Hut ab vor den vielen Stunden, die du ehrenamtlich geopfert hast und den vielen guten Tipps die mich letztendlich zur Lösung geführt haben.
Gut, besser, MathePower
MfG vega_ffm
|
|
|
|
