Kurvendiskussion (ln(x^2)) < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] $f(x)=x*(ln(x^2)-2)$.
[/mm]
a) Wie lautet die Definitionsmenge von $f$.
d) Untersuchen Sie $f$ auf Extrema und Wendepunkte. |
Hi,
ich habe schon ein wenig probiert, komme aber nicht weiter.
Wenn ich die Funktion so lasse
$ [mm] x*(ln(x^2)-2) \qquad [/mm] (1) $,
dann habe ich doch einen [mm] $DB=\IR$, [/mm] bei
$ x*(2*ln(|x|)-2) [mm] \qquad [/mm] (2) $
aber einen [mm] $DB=\IR\backslash\{0\}$...
[/mm]
In Maple bekomm ich für die erste Version eine Funktion wie $y=x$ und für die zweite keine gerade.
Splitte ich die Funktion $(2)$ wie folgt auf:
[mm] f(n)=\begin{cases}
x*(2*ln(x)-2), & \mbox{für } x \mbox{ > 0}
\\ x*(2*ln(-x)-2), & \mbox{für } x \mbox{ < 0}
\end{cases} [/mm] (3)
und lasse diese einzeln in Maple darstellen, erhalte ich wieder die Geraden $ y=x $ links- und rechtsseitig vom Nullpunkt.
Als Nullstellen von $ (2) $ erhalte ich $ [mm] x_{0,1}=\pm [/mm] e $
Siehe:
[mm] 2*ln(|x|) - 2 = 0 [/mm]
[mm]ln(|x|) = 1 [/mm]
[mm]|x| = e [/mm]
Diese würen mit der Mapleinterpretation von $ (2) $ übereinstimmen.
Leite ich ab (egal welche Version) komme ich auf
$ 2 ln(|x|)-2 $
und damit auf die EP $ [mm] x_E_{1,2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] e $
Und nun bin ich ganz verwirrt und hoffe, ihr könnt mir helfen.
Sascha
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo GrubenPete,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=x*(ln(x^2)-2)[/mm].
> a) Wie lautet die Definitionsmenge von [mm]f[/mm].
> d) Untersuchen Sie [mm]f[/mm] auf Extrema und Wendepunkte.
> Hi,
>
> ich habe schon ein wenig probiert, komme aber nicht
> weiter.
> Wenn ich die Funktion so lasse
> [mm]x*(ln(x^2)-2) \qquad (1) [/mm],
> dann habe ich doch einen [mm]DB=\IR[/mm], bei
> [mm]x*(2*ln(|x|)-2) \qquad (2)[/mm]
> aber einen [mm]DB=\IR\backslash\{0\}[/mm]...
Auf den ersten Blick ja.
Bei näherem Betrachten stellt man fest,
daß der Grenzwert
[mm]\limes_{x \to 0}{x*(ln(x^2)-2)}[/mm]
existiert.
Dann müsste dies aber separat definiert werden:
[mm]\f\left(x\right):=\left\{\begin{matrix}x*\left( \ln\left(x^{2}\right)-2 \ \right) & x \not =0 \\ 0 & x= 0 \end{matrix} \right [/mm]
>
> In Maple bekomm ich für die erste Version eine Funktion
> wie [mm]y=x[/mm] und für die zweite keine gerade.
> Splitte ich die Funktion [mm](2)[/mm] wie folgt auf:
> [mm]f(n)=\begin{cases}
x*(2*ln(x)-2), & \mbox{für } x \mbox{ > 0}
\\ x*(2*ln(-x)-2), & \mbox{für } x \mbox{ < 0}
\end{cases}[/mm]
> (3)
> und lasse diese einzeln in Maple darstellen, erhalte ich
> wieder die Geraden [mm]y=x[/mm] links- und rechtsseitig vom
> Nullpunkt.
>
> Als Nullstellen von [mm](2)[/mm] erhalte ich [mm]x_{0,1}=\pm e[/mm]
> Siehe:
> [mm]2*ln(|x|) - 2 = 0[/mm]
> [mm]ln(|x|) = 1[/mm]
> [mm]|x| = e[/mm]
>
> Diese würen mit der Mapleinterpretation von [mm](2)[/mm]
> übereinstimmen.
>
> Leite ich ab (egal welche Version) komme ich auf
> [mm]2 ln(|x|)-2[/mm]
Rechne diese Ableitung nochmal nach.
> und damit auf die EP [mm]x_E_{1,2} = \pm e[/mm]
>
> Und nun bin ich ganz verwirrt und hoffe, ihr könnt mir
> helfen.
>
> Sascha
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Hi,
bist du mit x=0 sicher?
Zwar existiert der Grenzwert für x [mm] \to [/mm] 0, aber 0 selbst kannst du nicht einsetzen. Für mich war das immer das Kriterium, ob eine Stelle zum Definitionsbereich dazu gehört oder nicht....
Wenn ich mich in der Begrifflichkeit nicht irre, dann ist f in 0 stetig fortsetzbar, das müsste dann aber separat definiert werden und steckt in dem genannten f nicht automatisch mit drin. Denke ich....
Die Ableitung ist aber tatsächlich falsch.
Zum Vergleichen:
Extremstellen bei x= [mm] \pm [/mm] 1 (Max bei x=-1, Min bei x=1)
Keine Wendepunkte.
lg weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Sa 22.01.2011 | | Autor: | MathePower |
Hallo weightgainer,
> Hi,
>
> bist du mit x=0 sicher?
>
> Zwar existiert der Grenzwert für x [mm]\to[/mm] 0, aber 0 selbst
> kannst du nicht einsetzen. Für mich war das immer das
> Kriterium, ob eine Stelle zum Definitionsbereich dazu
> gehört oder nicht....
> Wenn ich mich in der Begrifflichkeit nicht irre, dann ist
> f in 0 stetig fortsetzbar, das müsste dann aber separat
> definiert werden und steckt in dem genannten f nicht
> automatisch mit drin. Denke ich....
Natürlich hast Du da recht.
>
> Die Ableitung ist aber tatsächlich falsch.
>
> Zum Vergleichen:
>
> Extremstellen bei x= [mm]\pm[/mm] 1 (Max bei x=-1, Min bei x=1)
> Keine Wendepunkte.
>
> lg weightgainer
>
Gruss
MathePower
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Hey,
erstmal vielen Dank für eure Antworten !
Ich habe die Ableitungen nocheinmal aufgestellt und meinen Fehler gefunden.
Jetzt komme ich auch auf die EP x = [mm] $\pm$ [/mm] 1.
Zusammen mit den Nullstellen passt das nur zu Bild 2 und damit zu:
$ x(2*ln(|x|) - 2) $
was den Maple-Plot angeht.
Ich habe mal die komplette Aufgabe herausgesucht und folgende Teilaufgabe passt noch gut zum Problem:
"Begründen Sie, weshalb x = 0 keine Nullstelle von f ist, obwohl für x = 0 ein Faktor des Funktionstherms null wird."
Sascha
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> Hey,
>
> erstmal vielen Dank für eure Antworten !
>
> Ich habe die Ableitungen nocheinmal aufgestellt und meinen
> Fehler gefunden.
> Jetzt komme ich auch auf die EP x = [mm]\pm[/mm] 1.
>
> Zusammen mit den Nullstellen passt das nur zu Bild 2 und
> damit zu:
> [mm]x(2*ln(|x|) - 2)[/mm]
> was den Maple-Plot angeht.
Ich weiß nicht, was Maple mit deinem Funktionsterm macht, aber selbstverständlich ist
[mm] $\ln{x^{2}} [/mm] = [mm] 2*\ln{|x|}= \begin{cases} 2*\ln{x}, & \mbox{für } x>0 \\ 2*\ln{-x}, & \mbox{für } x<0 \end{cases} [/mm] $
Bild 1 ist einfach falsch. Ich hab alles zeichnen lassen, meine Plotter liefern identische Graphen - was auch notwendig ist, denn es ist ja immer das gleiche, nur anders aufgeschrieben.
Da kann keine Gerade rauskommen - irgendwo muss sich da bei dir noch ein Fehler eingeschlichen haben.
Für die Analyse (Ableitungen etc.) ist es sowieso einfacher, die quadratische Version stehen zu lassen:
$f'(x) = [mm] \ln{x^{2}}$
[/mm]
$f''(x) = [mm] \frac{2}{x}$
[/mm]
Und das auf dem ganzen Definitionsbereich, es ist keine Fallunterscheidung nötig. Bequemer geht es kaum.
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> Ich habe mal die komplette Aufgabe herausgesucht und
> folgende Teilaufgabe passt noch gut zum Problem:
> "Begründen Sie, weshalb x = 0 keine Nullstelle von f ist,
> obwohl für x = 0 ein Faktor des Funktionstherms null
> wird."
>
Naja, du hast die Frage rausgesucht, weil es zu den Kommentaren passt - x=0 liegt nicht im Definitionsbereich der Funktion.
> Sascha
lg weightgainer
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| Aufgabe | | i) Der Graph f schließt mit den Koordinatenachsen im 4. Quadranten ein Flächenstück ein. Berechnen Sie dessen Inhalt. |
Hey,
ich hab ein wenig auf Maple eingesprochen und ein * zwischen x und ( hinzugefügt und siehe da, es zeichnet mir nur noch die richtigen Verläufe *g*
Jetzt bin ich also bei der letzten Teilaufgabe und bin mir nicht sicher, wie ich das handhaben soll.
x=0 ist ja nicht definiert.
Wie kann ich jetzt die Fläche berechnen?
Kann/muss ich da das Integral mittels limes berechnen ?
Sascha
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> i) Der Graph f schließt mit den Koordinatenachsen im 4.
> Quadranten ein Flächenstück ein. Berechnen Sie dessen
> Inhalt.
> Hey,
>
> ich hab ein wenig auf Maple eingesprochen und ein *
> zwischen x und ( hinzugefügt und siehe da, es zeichnet mir
> nur noch die richtigen Verläufe *g*
>
> Jetzt bin ich also bei der letzten Teilaufgabe und bin mir
> nicht sicher, wie ich das handhaben soll.
> x=0 ist ja nicht definiert.
> Wie kann ich jetzt die Fläche berechnen?
> Kann/muss ich da das Integral mittels limes berechnen ?
>
> Sascha
Formal korrekt müsstest du schreiben:
[mm] $\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{-e}^{a}{x*(\ln{x^2}-2) dx} [/mm] = [mm] $\limes_{a\rightarrow 0} \left(\integral_{-e}^{a}{x*\ln{x^2} dx} - \integral_{-e}^{a}{2x dx} \right)
[/mm]
Das zweite Integral ist einfach, da kann man dann auch die Grenze einfach einsetzen.
Das erste Integral kann man mit partieller Integration lösen.
Für die Grenzwertberechnung muss man dann aber benutzen, dass gilt:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} x^2*\ln{x} [/mm] = 0$
Und dann müsste am Ende [mm] $\frac{e^2}{2} \approx [/mm] 3,6945.....$ rauskommen.
Viel Spaß beim Rechnen  . Man muss ein bisschen aufpassen, aber es gibt eigentlich außer dieser Erkenntnis bei der Grenzwertberechnung nichts schwieriges.
lg weightgainer
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