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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Mi 05.01.2005 | | Autor: | jule1984 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Zusammen!
Ich habe eine Aufgabe auf, die ich eigentlich zu Hause lösen sollte. Hab im Buch auch schon geschaut, aber ich komme nicht weiter bei den Ableitungen und dann halt Extrempunkte,etc.
Die Aufgabe lautet:
x+ [mm] e^{-x}
[/mm]
Bisher habe ich:
D. = R
Keine symmetrie zur y-ache und ursprung
Nullstellen x=0
Wäre total super, wenn mir da jemand weiterhelfen kann!
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Hallo!
> Die Aufgabe lautet:
> x+ [mm]e^{-x}
[/mm]
>
> Bisher habe ich:
> D. = R
> Keine symmetrie zur y-ache und ursprung
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Nullstellen x=0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie kommst du denn darau? Für x=0 erhältst du:
[mm] f(0)=0+e^0=0+1=1 \not= [/mm] 0!
Nullstelle gibt es bei dieser Funktion anscheinend nicht. Hab's mal gezeichnet, und da kommt es so raus. Für positive x ist das klar, dass die Funktion da >0 ist, denn die e-Funktion ist überall positiv, also auch [mm] e^{-x} [/mm] für positive x.
Und für negative x wächst dann [mm] e^{-x} [/mm] schneller x, also ist [mm] e^{-x}-x>0 [/mm] (soweit ich mich recht erinnere wächst die e-Funktion schneller als jedes Polynom, und x ist ja ein "kleines Polynom").
Nun zu den Ableitungen:
e-Funktionen sind in der Regel sehr schön abzuleiten, weil ja gilt:
[mm] e^{x}'=e^{x}
[/mm]
hier hast du dann nur noch ein "-" davor, aber das macht das Ganze auch nicht soo kompliziert, du benutzt die Kettenregel "innere Ableitung mal äußere Ableitung", also:
[mm] $e^{-x}'=e^{-x}$ [/mm] (äußere Ableitung)$*(-1)$(innere Ableitung)
Und mit dem additiven Faktor x davor erhältst du:
[mm] f'(x)=1-e^{-x}
[/mm]
Ich würde sagen, die weiteren Ableitungen versuchst du erstmal alleine - kannst deine Rechenschritte ja posten, dann können wir gucken, ob's stimmt oder wo der Fehler liegt. Ich gebe dir schon mal die Ergebnisse an, dann kannst du auf alle Fälle weiter mit den Extrempunkten und so rechnen: 
[mm] f''(x)=e^{-x}
[/mm]
[mm] f'''(x)=-e^{-x}
[/mm]
also eigentlich nur halb so schlimm! 
Nun zu den Extremstellen:
f'(x)=0
[mm] \gdw
[/mm]
x=0
das sieht man eigentlich direkt
f''(0)=1>0 es liegt also ein Tiefpunkt bei x=0 vor!
für die Wendepunkte brauchst du:
f''(x)=0
das geht aber nicht (die e-Funktion ist ja für alle Werte >0!)
also gibt es keine Wendepunkte.
Was brauchst du noch?
Grenzwerte?
Das müsste in beide Richtungen [mm] \infty [/mm] sein.
Übrigens findest du für [mm] x\to \infty [/mm] eine Asymptote, nämlich y=x. Das liegt daran, dass für immer größere x [mm] e^{-x} [/mm] immer kleiner wird ("hoch minus" bedeutet ja "durch hoch", und durch wird ja für größere Werte immer kleiner), also gegen 0 geht, und dann bleibt nur noch x übrig.
Ansonsten fällt mir hierzu eigentlich nichts mehr ein.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen - viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Mi 05.01.2005 | | Autor: | jule1984 |
Hallo Bastiane!
Danke für deine Hilfe! Echt super! Die Nullstellen haben wir schon im Unterricht besprochen gehabt!
Eine Nullstelle ist x=0 und eine andere gibt es nicht!
[mm] x*e^{-x} [/mm] = 0
0*1 = 0
So hatten wir das im Unterricht gemacht!
Sorry, hatte die Vorzeichen verwechselt und die Aufgabe!
Die Aufgabe heißt eigentlich:
x* [mm] e^{-x}
[/mm]
Bei den Rechnungen macht sich da ja nicht viel!
Freu mich aber echt, das du mir geholfen hast!!!! DANKE!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Jule!
Also, wenn du die falsche Aufgabe angegeben hast, ändert sich da schon einiges! Die erste Ableitung musst du dann zum Beispiel mit der Produktregel bilden, du erhältst dann
[mm] f'(x)=e^{-x}(1-x) [/mm] wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Kommst du denn jetzt alleine klar?
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Mi 05.01.2005 | | Autor: | jule1984 |
Ja, danke! Komme dann allein weiter! SUPER!
Rechne das aber auch nochmal alles nach und schau nochmal genau, was ich so habe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Liebe Christiane, hallo jule...,
> Hallo!
> > Die Aufgabe lautet:
> > x+ [mm]e^{-x}
[/mm]
> Nullstelle gibt es bei dieser Funktion anscheinend nicht.
> Hab's mal gezeichnet, und da kommt es so raus. Für positive
> x ist das klar, dass die Funktion da >0 ist, denn die
> e-Funktion ist überall positiv, also auch [mm]e^{-x}[/mm] für
> positive x.
> Und für negative x wächst dann [mm]e^{-x}[/mm] schneller x, also
> ist [mm]e^{-x}-x>0[/mm] (soweit ich mich recht erinnere wächst die
> e-Funktion schneller als jedes Polynom, und x ist ja ein
> "kleines Polynom").
Also [mm] $f(x)=x+e^{-x} [/mm] > 0$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$ [/mm] wollt ihr zeigen. Für $x > 0$ hat Christiane das schon bewiesen. Für den Fall $x [mm] \le [/mm] 0$ möchte ich gerne einen anderen Beweis vorführen (Christianes Begründung für diesen Fall ist aber auch okay . Nur sollte man sich dazu mal die Graphen von [mm]x \mapsto exp(-x)[/mm] und der Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] x$ angucken usw.), da man hier schön über die Ableitung argumentieren kann (beachte auch: $f$ ist sogar diff'bar auf ganz [mm] $\IR$):
[/mm]
Es gilt [mm] $f'(x)=1-e^{-x}$.
[/mm]
Ist nun $x [mm] \le [/mm] 0$, so ist $-x [mm] \ge [/mm] 0$ und damit (da $exp(0)=1$ und $exp$ streng monoton wachsend) [mm] $e^{-x} \ge e^{0}=1$, [/mm] woraus folgt:
[mm] $f'(x)=1-e^{-x} \le [/mm] 0$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \le [/mm] 0$.
D.h., für alle $x [mm] \le [/mm] 0$ gilt $f'(x) [mm] \le [/mm] 0$ und damit ist [mm]f[/mm] auf dem Intervall [m]]-\infty,0][/m] monoton fallend (siehe  monoton, Bemerkung 5) iii)), also gilt für alle [m]x \le 0[/m] auch [mm]f(x) \ge f(0)=0+e^0=1 > 0[/mm].
Liebe Grüße,
Marcel
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