Kurvendiskussion 2te < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Kurven, die durch folgende Gleichungen gegeben sind, auf lokale Extrema und Wendepunkte !
[mm] y=\bruch{x}{x^{2}+1} [/mm] |
O.K. Typische Kurvendiskussion, also erstmal Ableitungen bilden. Daran haperts schon.
Sieht erstmal nach Quotientenregel aus, also
u=x, u'=1, [mm] v=x^{2}+1, [/mm] v=2x demnach
[mm] y'=\bruch{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}
[/mm]
2te Ableitung, wieder Quotientenregel
[mm] u=1-x^{2}, [/mm] u'=-2x, [mm] v=(x^{2}+1)^{2} [/mm] binom. Formel ausmultipliziert
also v= [mm] x^{4}+2x^{2}+1, v'=4x^{3}+4x
[/mm]
zusammen also
[mm] \bruch{-2x(x^{4}+2x^{2}+1)-(1-x^{2})(4x^{3}+4x)}{(x^{2}+1)^{4}}
[/mm]
Das ganze dann noch ausmultipliziert und zusammengefasst ergibt bei mir
[mm] \bruch{2x^{5}-4x^{3}-6x}{(x^{2}+1)^{4}}
[/mm]
Ich glaube bis hierher lief schon einiges schief. Aus dieser Aufgabe dann noch x-Werte rauszubekommen ist glaub ich nicht das Ziel unserer Übung.
|
|
| |
|
O.K., also nicht ausmultiplizieren, dann bekomme ich für die 2te Ableitung:
[mm] u=1-x^{2}, [/mm] u'=-2x, [mm] v=(x^{2}+1)^{2}, v'=4x(x^{2}+1)
[/mm]
Zusammen ergibt das dann:
[mm] \bruch{2x(x^{2}+1)^{2}-4x(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{4}}
[/mm]
Ich hoffe ich bin noch richtig.
Kann ich dann die Klammern aus dem Zähler mit dem Nenner kürzen?
Dann müsste ja nur noch
[mm] \bruch{4x^{3}-6x}{x^{2}+1} [/mm] übrig bleiben, oder???
|
|
|
| |
|
Hallo Hoffmann!
> [mm]u=1-x^{2},[/mm] u'=-2x, [mm]v=(x^{2}+1)^{2}, v'=4x(x^{2}+1)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zusammen ergibt das dann:
>
> [mm]\bruch{2x(x^{2}+1)^{2}-4x(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{4}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Ganz vorne fehlt das Minuszeichen aus $u'_$ .
Und wo ist weiter hinten im Zähler das $u_$ verblieben?
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Verdammt, habs hier auf meinem Schmierzettel richtig stehen. Also nochmal
> $ [mm] \bruch{-2x(x^{2}+1)^{2}-4x(x^{2}+1)(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{4}} [/mm] $
Hab ich das (sieher vorheriger Post) denn wenigstens richtig zusammengefasst und gekürzt?
|
|
|
| |
|
Hallo Hoffmann!
Nein, ich erhalte etwas anderes.
$$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{\red{2}*x^3-6*x}{\left(1+x^2\right)^{\red{3}}}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Sorry roadrunner, aber ich seh gerade beim zusammenfassen und kürzen nicht mehr durch. Könntest du mir das bitte noch etwas genauer erläutern?
|
|
|
| |
|
Hallo, du hattest ja vorhin ebenso RICHTIG!!!
[mm] f''(x)=\bruch{-2x(x^{2}+1)^{2}-4x(x^{2}+1)(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{4}}
[/mm]
kürze [mm] (x^{2}+1)
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-2x(x^{2}+1)-4x(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}
[/mm]
jetzt den Zähler ausmultiplizieren
[mm] f''(x)=\bruch{-2x^{3}-2x-4x+4x^{3}}{(x^{2}+1)^{3}}
[/mm]
und noch den Zähler zusammnenfassen
[mm] f''(x)=\bruch{2x^{3}-6x}{(x^{2}+1)^{3}}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Di 25.08.2009 | | Autor: | Hoffmann79 |
Aaaahhhh, jetzt ists klar. Ich hatte beim zusammenfassen mal wieder das Minus vor dem 2x vergessen.
Danke vielmals 
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Kurven, die durch folgende Gleichungen gegeben sind, auf lokale Extrema und Wendepunkte !
$ [mm] y=\bruch{x}{x^{2}+1} [/mm] $ |
Hallo, habe zu obiger Aufgabe schon sehr gute Hilfe aus diesem Forum bekommen. Nun komme ich bei der 3ten Ableitung nicht weiter.
Hier nochmal die 1ste: [mm] \bruch{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}
[/mm]
Die 2te: [mm] \bruch{2x^{3}-6x}{(x^{2}+1)^{3}}
[/mm]
O.K., beide von euch abgesegnet.
Nun zur 3ten, wieder Quotientenregel.
[mm] u=2x^{3}-6x [/mm] ; [mm] u'=6x^{2}-6
[/mm]
[mm] v={(x^{2}+1)^{3}} [/mm] ; [mm] v'=6x(x^{2}+1)
[/mm]
Zusammen also:
[mm] \bruch{(6x^{2}-6)({(x^{2}+1)^{3}})-(2x^{3}-6x)(6x(x^{2}+1))}{{(x^{2}+1)^{6}}}
[/mm]
Dann müsste ich doch (ähnlich wie bei der 2ten Ableitung) 1x [mm] (x^{2}+1) [/mm] rauskürzen können, oder?
Dann bliebe:
[mm] \bruch{(6x^{2}-6)({(x^{2}+1)^{2}})-(2x^{3}-6x)6x}{{(x^{2}+1)^{5}}}
[/mm]
Um jetzt rauszufinden ob meine Wendepunkte existieren, müsste ich meine x-Werte aus der 2ten Ableitung hier einsetzen, also den ganzen Spass ausmultiplizieren und zusammenfassen. Scheint mir ein ziemlich grosser Aufwand, bzw. sehr viel Rechnerei. Von daher denke ich muss wohl irgendwo ein Fehler meinerseits entstanden sein. Ich habe mal meinen 2ten x-Wert [mm] \wurzel{3} [/mm] eingesetzt und komme sogar auf ein relativ humanes Ergebnis, nämlich [mm] \bruch{3}{16}. [/mm] Ich denke jedoch, dass irgendwo in meiner Rechnung ein Fehler liegt.
|
|
|
| |
|
Hallo, es ist guter Brauch, die Funktion und ihre Ableutng zu benennen:
[mm]f(x) =\bruch{x}{x^{2}+1}[/mm]
[mm]f'(x) = \bruch{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}[/mm]
[mm]f''(x)= \bruch{2x^{3}-6x}{(x^{2}+1)^{3}}[/mm]
> O.K., beide von euch abgesegnet.
[mm]u=2x^{3}-6x[/mm] ; [mm]u'=6x^{2}-6[/mm]
>
> [mm]v={(x^{2}+1)^{3}}[/mm] ; [mm]v'=6x(x^{2}+1)[/mm]
v' ist falsch: Du musst die Kettenregel anwenden:
[mm] v'=3*(x^2+1)^2* [/mm] 2x
Damit folgt f'''(x) = ... und du kannst [mm](x^2+1)^2[/mm] kürzen.
Gruß, MatheOldie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Hoffmann79 |
Alles klar, ich habe das Quadrat beim Ableiten vergessen. Danke und in Zukunft versuche ich mich an die mathematische Schreibweise zu halten
|
|
|
|
Quotientenregel