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Kurvendiskussion - Probleme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 Sa 29.11.2008
Autor: espritgirl

Hallo Zusammen [winken],


Ich möchte eine Kurvendiskussion von [mm] f(x)=e^{3x-1}-2 [/mm] durchführen.

Dafür habe ich zunächst die ersten drei Ableitungen gebildet:

[mm] f'(x)=3e^{3x-1} [/mm]
[mm] f''(x)=9e^{3x-1} [/mm]
[mm] f'''(x)=27e^{3x-1} [/mm]

Dann die Nullstellenberechnung: f(x)=0

[mm] e^{3x-1}=0 [/mm] ---> nicht definiert => keine Nullstellen vorhanden

Und jetzt habe ich Probleme mit den Extremstellen: f'(x)=0

[mm] 3e^{3x-1}=0 [/mm]
[mm] e^{3x-1}=0 [/mm]  ---> jetzt würde man ja logarithmieren

[mm] log_{e}(e^{3x-1})=log_{e}(0) [/mm]

Aber das funktioniert gar nicht. Mein TR zeigt Error an. Heißt das, dass es keine Extremstellen gibt, wenn es ein =0 gibt?



Liebe Grüße,

Sarah :-)



        
Bezug
Kurvendiskussion - Probleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Sa 29.11.2008
Autor: steppenhahn

Hallo!

unächst muss ich dich entäuschen ;-): Funktionen der Form $f(x) = [mm] e^{a*x+b}+c$ [/mm] mit [mm] $a,b,c\in\IR$ [/mm] haben keine Extrem- und Wendestellen.
Für $c [mm] \ge [/mm] 0$ treten nicht mal Nullstellen auf. Warum das so ist, erkennt man gerade an den Ableitungen.

> Hallo Zusammen [winken],
>  
>
> Ich möchte eine Kurvendiskussion von [mm]f(x)=e^{3x-1}-2[/mm]
> durchführen.
>  
> Dafür habe ich zunächst die ersten drei Ableitungen
> gebildet:
>  
> [mm]f'(x)=3e^{3x-1}[/mm]
>  [mm]f''(x)=9e^{3x-1}[/mm]
>  [mm]f'''(x)=27e^{3x-1}[/mm]

[ok]

> Dann die Nullstellenberechnung: f(x)=0
>  
> [mm]e^{3x-1}=0[/mm] ---> nicht definiert => keine Nullstellen
> vorhanden

Achtung: Deine Funktion lautet  [mm]f(x)=e^{3x-1}-2[/mm], du hast gerade die Nullstellen von  [mm]f(x)=e^{3x-1}[/mm] bestimmt!
Deine Funktion hat eine Nullstelle.

> Und jetzt habe ich Probleme mit den Extremstellen: f'(x)=0
>  
> [mm]3e^{3x-1}=0[/mm]
>  [mm]e^{3x-1}=0[/mm]  ---> jetzt würde man ja logarithmieren

>  
> [mm]log_{e}(e^{3x-1})=log_{e}(0)[/mm]
>  
> Aber das funktioniert gar nicht. Mein TR zeigt Error an.
> Heißt das, dass es keine Extremstellen gibt, wenn es ein =0
> gibt?

Der Graph der Funktion hat keine Nullstellen, richtig. Weil [mm] e^{a*x+b} [/mm] immer größer als 0 ist! Dein Taschenrechner zeigt dir Error an, weil [mm] log_{e}(0) [/mm] nicht definiert ist. Der Logarithmus ist nur für positive Argument definiert.

>
>
> Liebe Grüße,
>  
> Sarah :-)

Grüße,
Stefan.

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion - Probleme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 Sa 29.11.2008
Autor: espritgirl

Hallo Stefan [winken],


Vielen Dank für deine Antwort.

Funktionen der Form [mm] f(x)=e^{a*x}+C [/mm] haben aber Extrem- und Wendestellen,oder?


> Achtung: Deine Funktion lautet  [mm]f(x)=e^{3x-1}-2[/mm], du hast
> gerade die Nullstellen von  [mm]f(x)=e^{3x-1}[/mm] bestimmt!
>  Deine Funktion hat eine Nullstelle.

Okay, ich hatte ausversehen die Nullstellenberechnung mit der 1. Ableitung durchgeführt.

Aber wieso gibts eine Nullstelle? Ist die N(0 / 2)?

> Der Graph der Funktion hat keine Nullstellen, richtig. Weil
> [mm]e^{a*x+b}[/mm] immer größer als 0 ist! Dein Taschenrechner zeigt
> dir Error an, weil [mm]log_{e}(0)[/mm] nicht definiert ist.

Du hast doch oben geschrieben, dass eine Nullstelle vorliegt?!



Liebe Grüße,

Sarah :-)

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion - Probleme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Sa 29.11.2008
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Hallo Stefan [winken],
>  
>
> Vielen Dank für deine Antwort.
>  
> Funktionen der Form [mm]f(x)=e^{a*x}+C[/mm] haben aber Extrem- und
> Wendestellen,oder?

Nein, eigentlich nicht. Die Ableitung sind ja

$f'(x) = [mm] a*e^{a*x}$ [/mm]
$f''(x) = [mm] a^{2}*e^{a*x}$ [/mm]

Und die können nie 0 werden!

$f'(x) = [mm] a*e^{a*x} [/mm] = 0 [mm] \gdw e^{a*x} [/mm] = 0$

und das geht ja nicht!

> > Achtung: Deine Funktion lautet  [mm]f(x)=e^{3x-1}-2[/mm], du hast
> > gerade die Nullstellen von  [mm]f(x)=e^{3x-1}[/mm] bestimmt!
>  >  Deine Funktion hat eine Nullstelle.
>  
> Okay, ich hatte ausversehen die Nullstellenberechnung mit
> der 1. Ableitung durchgeführt.
>  
> Aber wieso gibts eine Nullstelle? Ist die N(0 / 2)?

Na:

$f(x) = [mm] e^{3x-1}-2 [/mm] = 0$

[mm] $\gdw e^{3x-1} [/mm] = 2$

[mm] $\gdw [/mm] 3x-1 = [mm] \ln(2)$ [/mm]

[mm] $\gdw [/mm] x = [mm] \bruch{\ln(2)+1}{3}$ [/mm]

Die hier!

> > Der Graph der Funktion hat keine Nullstellen, richtig. Weil
> > [mm]e^{a*x+b}[/mm] immer größer als 0 ist! Dein Taschenrechner zeigt
> > dir Error an, weil [mm]log_{e}(0)[/mm] nicht definiert ist.
>
> Du hast doch oben geschrieben, dass eine Nullstelle
> vorliegt?!

Entschuldigung, war etwas schlampig von mir: Der Graph der Ableitungsfunktion meinte ich, hat keine Nullstellen.

> Liebe Grüße,
>  
> Sarah :-)

Grüße,

Stefan.

Bezug
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