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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:25 So 11.09.2011 | | Autor: | Kuise |
| Aufgabe | | Wie heißt die Polynomfunktion 3. Grades, mit den Nullstellen 1 und 0 und den Fixwerten 3 und –1 ? |
Hallo Leute.
Ich habe absolut keine Ahnung wie ich den Lösungsweg angehen soll. Bitte um Hilfe. Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 So 11.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo kuise,
Du kannst jedes Polynom auch als Produkt seiner Nullstellen darstellen. Bei einem Polynom dritten Grades existieren drei Nullstellen, zwei davon hast Du bereits gegeben.
Die allgemeine Form lautet mit der Abkürzung [mm] z [/mm] für die jeweilige Nullstelle:
[mm] y = (x-z_1) \cdot (x-z_2) \cdot (x-z_3)[/mm]
Bei Deiner Aufgabe wissen wir also schon mal wegen der Nullstellen bei 1 und 0, dass das Ganze so aussehen muss:
[mm] y = (x-1) \cdot x \cdot (x - z_3) [/mm]
Diesen dritten Wert bekommst Du mithilfe der Fixwerte raus.
Viele Grüße,
Infinit
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> Hallo kuise,
> Du kannst jedes Polynom auch als Produkt seiner Nullstellen
> darstellen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
... das ist wohl doch etwas zuuu salopp ausgedrückt
> Bei einem Polynom dritten Grades existieren
> drei Nullstellen
... es könnten auch weniger sein (insbesondere im Reellen)
> zwei davon hast Du bereits gegeben.
> Die allgemeine Form lautet mit der Abkürzung [mm]z[/mm] für die
> jeweilige Nullstelle:
> [mm]y = (x-z_1) \cdot (x-z_2) \cdot (x-z_3)[/mm]
Da fehlt noch ein konstanter Faktor a, wenn man damit
jedes Polynom 3. Grades darstellen können soll.
> Bei Deiner Aufgabe
> wissen wir also schon mal wegen der Nullstellen bei 1 und
> 0, dass das Ganze so aussehen muss:
> [mm]y = (x-1) \cdot x \cdot (x - z_3)[/mm]
> Diesen dritten Wert bekommst Du mithilfe der Fixwerte raus.
> Viele Grüße,
> Infinit
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 So 11.09.2011 | | Autor: | Kuise |
| Aufgabe | | Wie heißt die Polynomfunktion 3. Grades, mit den Nullstellen 1 und 0 und den Fixwerten 3 und –1 ? |
> Hallo kuise,
> Du kannst jedes Polynom auch als Produkt seiner Nullstellen
> darstellen. Bei einem Polynom dritten Grades existieren
> drei Nullstellen, zwei davon hast Du bereits gegeben.
> Die allgemeine Form lautet mit der Abkürzung [mm]z[/mm] für die
> jeweilige Nullstelle:
> [mm]y = (x-z_1) \cdot (x-z_2) \cdot (x-z_3)[/mm]
> Bei Deiner Aufgabe
> wissen wir also schon mal wegen der Nullstellen bei 1 und
> 0, dass das Ganze so aussehen muss:
> [mm]y = (x-1) \cdot x \cdot (x - z_3)[/mm]
> Diesen dritten Wert bekommst Du mithilfe der Fixwerte raus.
> Viele Grüße,
> Infinit
>
>
Danke Infinit!!!
Ja ich langsam dämmerts. Kannst du das mit den Fixwerten noch ein bisschen näher erklären bitte?
Ich steig noch nicht ganz zu 100% durch.
lg
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Moin kuise,
> Ja ich langsam dämmerts. Kannst du das mit den Fixwerten
> noch ein bisschen näher erklären bitte?
Das Polynom hat die Gestalt [mm] p(x)=a*(x-1)*x*(x-z_3). [/mm] Nun ist bekannt, dass p(-1)=-1 und p(3)=3.
Setz die beiden Werte in obige Polynomgleichung ein, dann erhältst du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (a und [mm] z_3). [/mm] Das sollte sich dann leicht lösen lassen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 So 11.09.2011 | | Autor: | Kuise |
| Aufgabe | | Wie heißt die Polynomfunktion 3. Grades, mit den Nullstellen 1 und 0 und den Fixwerten 3 und -1? |
Ich trau mich fast gar nicht mehr fragen, weils wahrscheinlich total einfach ist und ich nur auf der Leitung stehe, oder irgendwas übersehe, aber ich habs noch immer nicht verstanden.
Könnt ihr mir das bitte einmal vor machen? Danke vielmals für eure Hilfe!!
> Moin kuise,
> > Ja ich langsam dämmerts. Kannst du das mit den
> Fixwerten
> > noch ein bisschen näher erklären bitte?
>
> Das Polynom hat die Gestalt [mm]p(x)=a*(x-1)*x*(x-z_3).[/mm] Nun ist
> bekannt, dass p(-1)=-1 und p(3)=3.
>
> Setz die beiden Werte in obige Polynomgleichung ein, dann
> erhältst du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (a und
> [mm]z_3).[/mm] Das sollte sich dann leicht lösen lassen.
>
> LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 So 11.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast.
f(x)=ax³+bx²+cx+d
Und 4 Bedingungen:
$ [mm] f(1)=0\Rightarrow [/mm] a+b+c+d=0 $
$ [mm] f(0)=0\Rightarrow [/mm] d=0 $
$ [mm] f(3)=3\Rightarrow [/mm] 27a+9b+3c+d=0 $
$ [mm] f(-1)=-1\Rightarrow [/mm] -a+b-c+d=-1 $
Die vier Gleichungen ergeben per Gauß-Algorithmus:
$ [mm] a=\frac{1}{8}, b=-\frac{1}{2}, c=\frac{3}{8} [/mm] d = 0 $
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 So 11.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
es gibt noch eine Methode und zwar mithilfe eines Polynomansatzes mit unbekannten Koeffizienten, die man dann noch bestimmen muss.
Der Ansatz lautet
[mm] y = ax^3 + b x^2 + cx + d [/mm]
mit vier Unbekannten und Du hast vier Bedingungen gegeben, nämlich die zwei Nullstellen (d.h. bei Einsetzen von x = 0 oder x=1 muss der y-Wert 0 herauskommen) und die beiden Fixwerte.
Viele Grüße,
Infinit
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