Kurvendiskussion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mo 13.06.2005 | | Autor: | maja78 |
Hallo zusammen !
Ich habe gerade versucht, mit einem Freund eine Kurvendiskussion aufzustellen.
Leider sind wir schnell gescheitert.
Die ganze Aufgabe lautet:
Gegeben ist die Funktion f(x) über der Grundmenge [mm] \IR [/mm] durch
f(x)=x4 - 4x³ + 3x² + 4x - 4
( x4 = 4 ist der Exponent, weiß nicht, wie ich das richtig schreiben kann )
Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion der Funktion durch ( gegebenfalls unter Anwendung einer Polynomdivision ) und skizzieren Sie den Funktionsgraphen.
Hinweis: Eine Nullstelle von f(x) ist gegeben durch x1=1, Eine Nullstelle von f '(x) ist gegeben durch x1=2
Ich weiß, dass ich x ausklammern muss, dann habe ich x=0. Aber dann ?
Wäre wirklich super nett, wenn mir jemand helfen könnte. Schreibe morgen Klausur und bin verzweifelt.
Maja
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:03 Mo 13.06.2005 | | Autor: | maja78 |
Hallo Mehmet !
Danke für Deine Antwort, aber das ist nicht mein Problem. Polynomdivision kann ich.
Es geht darum, dass ich die Funktion nicht ausrechnen kann. Ich möchte auf die Lösungen kommen, die ich hier habe ( L={1;2;-1} / f(0) = -4 ). Mit Quadratischer Ergänzung ( die ich auch kann ). Klar kann ich die nachher ablesen, wenn ich die PD gemacht habe, aber ich weiß nicht, ob meinem Mathelehrer das reicht.
Gruß
Maja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Mehmet |
Hallo Maja
Also ich versteh deine Frage nicht so recht, was möchtest du den genau wissen?Wenn du doch PD und alles kannst dann dürfte es doch kein problem sein.![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") und deine Lösung müsste ja dann auch stimmen.
Gruß Mehmet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mo 13.06.2005 | | Autor: | maja78 |
Wenn ich die 1. Ableitung dieser Funktion mache, dann errechne ich ein Ergebnis. Aus der 2. Ableitung errechne ich dann die Extrempunkte. Diese Werte drücken sich in Zahlen, dem Ergebnis aus. Und das meine ich mit ausrechnen. Weiß nicht, wie ich das bei Funktionen 3. und 4. Grades ausrechne.( Nicht den Extrempunkt, sondern ein Ergebnis, was ich rauskriege wo dann sowas wie z.B. L= { 2; 0,5 + Wurzel aus 0,75; 0,5 - Wurzel aus 0,75 }
Das hört sich alles viel komplizierter an, als es ist. Ich will die Gleichung nach x auflösen. Also wie man da vorgeht. Oder, ob das überhaupt geht.
Hoffe, das war verständlicher als vorhin. 
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Hi, Maja,
also, ich schau' mal, ob Du's so verstehst:
Die 1. Ableitung Deiner Funktion ist:
f'(x) = [mm] 4x^{3}-12x^{2}+6x+4.
[/mm]
Wir wissen, dass [mm] x_{1}=2 [/mm] Lösung von f'(x)=0 ist.
Daher muss die Polynomdivision
[mm] (4x^{3}-12x^{2}+6x+4) [/mm] : (x - 2)
aufgehen!
Tut sie auch!
Kommt nämlich
[mm] 4x^{2}-4x-2
[/mm]
raus.
Nun setzen wir dieses gleich null:
[mm] 4x^{2}-4x-2=0 [/mm] <=> [mm] 2x^{2}-2x-1=0
[/mm]
Mitternachtsformel: [mm] x_{2/3}=\bruch{2\pm\wurzel{4+8}}{4}
[/mm]
Um zu entscheiden, welche der 3 Lösungen Maximal-, welche Minimalstellen sind, setzen wir sie in die 2.Ableitung ein:
f''(x) = [mm] 12x^{2}-24x+6
[/mm]
Ich mach's mal für [mm] x_{1}=2:
[/mm]
f''(2) = 12*4-24*2+6 > 0 => Tiefpunkt.
Mit den andern beiden geht's ebenso, wobei Du ruhig den Taschenrechner verwenden kannst!
Für die Berechnung der y-Koordinaten musst Du natürlich in f(x) einsetzen (auch hierfür kannst Du ggf. den Taschenrechner verwenden). Ich mach's wieder für [mm] x_{1}=2:
[/mm]
f(2) = [mm] 2^{4}-4*2^{3}+3*2^{2}+4*2-4 [/mm] = 0.
Also: T(2;0).
Jetzt besser?
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Hi, Maja,
also: Eine "Kurvendiskussion" mit meiner Freundin ging bei mir in Deinem Alter eher nicht um ganzrationale Funktionen: Wir haben Sinuslinien bevorzugt!
> Gegeben ist die Funktion f(x) über der Grundmenge [mm]\IR[/mm]
> durch
> f(x)=x4 - 4x³ + 3x² + 4x - 4
> Hinweis: Eine Nullstelle von f(x) ist gegeben durch x1=1,
> Eine Nullstelle von f '(x) ist gegeben durch x1=2
> Ich weiß, dass ich x ausklammern muss, dann habe ich x=0.
Das mit dem Ausklammern ist natürlich hier NICHT BRAUCHBAR, da Du am Ende die Konstante -4 hast. Demnach ist's auch nix mit x=0 als Lösung!
Die erste Nullstelle ist ja vorgegeben: x=1.
Nun machst Du Polynomdivision durch (x - 1).
Beim resultierenden Term musst Du eine weitere Nullstelle raten, z.B. x=-1
und nochmals Polynomdivision machen.
Die restliche(n) Nullstellen kannst Du dann mit p/q-Formel (Mitternachtsformel) errechnen.
(Zum Vergleich: Die Nullstellen x=1 und x=-1 sind einfach; die Nullstelle x=2 ist doppelt)
Nun musst Du den Funktionsterm ableiten. f'(x) ist eine Funktion 3.Grades. Du weißt bereits (aus Deiner Aufgabe), dass x=2 eine Nullstelle von f'(x) ist.
Also machst Du (schon) wieder Polynomdivision, und zwar f'(x):(x-2), erhältst dabei einen quadratischen Term, den Du abermals durch p/q-Formel löst. Am Ende hast Du 3 Extrempunkte (darunter einen Tiefpunkt T(2;0).)
Naja: Und für die Wendepunkte leitest Du halt nochmals ab, wobei f''(x) ein quadratischer Term ist, den Du direkt mit p/q-Formel lösen kannst!
Noch Fragen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Mo 13.06.2005 | | Autor: | maja78 |
Hallo Zwerglein !
> Hi, Maja,
> also: Eine "Kurvendiskussion" mit meiner Freundin ging bei
> mir in Deinem Alter eher nicht um ganzrationale Funktionen:
> Wir haben Sinuslinien bevorzugt!
Ach Du meinst das war mein Freund ? Nein, das würde ich auch mit meiner Freundin tun. Die macht das mit den Sinuslinien und er mit den Kurvendiskussionen... Und was heißt in meinem Alter ? Ich gehe stark auf die 30ig zu...
>
> > Gegeben ist die Funktion f(x) über der Grundmenge [mm]\IR[/mm]
> > durch
> > f(x)=x4 - 4x³ + 3x² + 4x - 4
>
> > Hinweis: Eine Nullstelle von f(x) ist gegeben durch x1=1,
> > Eine Nullstelle von f '(x) ist gegeben durch x1=2
>
> > Ich weiß, dass ich x ausklammern muss, dann habe ich x=0.
>
> Das mit dem Ausklammern ist natürlich hier NICHT BRAUCHBAR,
> da Du am Ende die Konstante -4 hast. Demnach ist's auch nix
> mit x=0 als Lösung!
>
> Die erste Nullstelle ist ja vorgegeben: x=1.
> Nun machst Du Polynomdivision durch (x - 1).
>
> Beim resultierenden Term musst Du eine weitere Nullstelle
> raten, z.B. x=-1
Also bei dem Ergebnis der ersten PD ? Und wäre das dann durch ( x+1 ) ?
> und nochmals Polynomdivision machen.
> Die restliche(n) Nullstellen kannst Du dann mit p/q-Formel
> (Mitternachtsformel) errechnen.
Kenne ich gar nicht, weiß auch nicht, ob wir das gemacht haben. Gibt es eine andere Möglichkeit zur Lösung ?
> (Zum Vergleich: Die Nullstellen x=1 und x=-1 sind einfach;
> die Nullstelle x=2 ist doppelt)
Das verstehe ich nicht.
>
> Nun musst Du den Funktionsterm ableiten. f'(x) ist eine
> Funktion 3.Grades. Du weißt bereits (aus Deiner Aufgabe),
> dass x=2 eine Nullstelle von f'(x) ist.
> Also machst Du (schon) wieder Polynomdivision, und zwar
> f'(x):(x-2), erhältst dabei einen quadratischen Term, den
> Du abermals durch p/q-Formel löst. Am Ende hast Du 3
> Extrempunkte (darunter einen Tiefpunkt T(2;0).)
Das ist mir auch ein Rätsel.
>
> Naja: Und für die Wendepunkte leitest Du halt nochmals ab,
> wobei f''(x) ein quadratischer Term ist, den Du direkt mit
> p/q-Formel lösen kannst!
>
> Noch Fragen?
Ich bin wirklich nicht allzu bescheuert in Mathe, aber hier stehe ich ein wenig auf dem Schlauch. Liegt vielleicht daran, dass mein Fachabi auf dem Spiel steht und ich die letzten Tage nur mit lernen verbracht habe. Sorry...
Maja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mo 13.06.2005 | | Autor: | maja78 |
Danke Informix !
Ich kenne das Schema, die Definitionen.
Zwerglein, Du hast mir schon weitergeholfen.
Ich habe die 1. Ableitung gemacht und PD durch (x-2 ). Ergebnis ist auch richtig.
Jetzt habe ich f(x) genommen und PD durch (x-1 ) versucht, komme aber nicht auf null.#
Ich verzweifle...
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Hi Maja! Ich zwar nicht Zwerglein, aber da es etwa dringend/verzweifelt klingt und Zwerglein anscheinend nicht da ist, hoffe ich, du hast nichts dagegen, wenn ich es stattdessen versuche!?!
Also, du hast f(x) durch (x-1) geteilt und solltest dann auf [mm] x^3-3*x^2+4 [/mm] gekommen sein. Bei diesem Term lässt sich leider nichts ausklammern, allerdings, wie Zwerglein schon sagte, ist -1 eine relativ offensichtliche (ich weiß gefähliches Wort) Lösung. D.h. du kannst diesen Term nochmals mit PD durch (x- (-1)), also (x+1) vereinfachen. Die daraus resultierende quadratische Gleichung kannst du normalerweise mit der p/q- Formel lösen, lasst sich hier aber mit Hilfe der binomischen Formeln anpacken.
Soweit erstmal, ich hoffe, das dir das weiterhilft.
Gruß Tran
PS: Viel Erfolg bei deinem Fachabi!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Mo 13.06.2005 | | Autor: | maja78 |
Ich bin bei der Lösung bis x²-4x gekommen, aber 4 und 4x heben sich nicht auf. Ich bin verwirrt...
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Müssen sie auch nicht.
Zumindest vermute ich mal, dass bei dir sowas steht:
[mm] x^2-4x+4 [/mm] ?? Auf jeden Fall sollte das nach PD rauskommen, ansonsten hast du irgendwo einen Fehler!
Das lässt sich doch jetzt aber mit Binomischer Formel faktorisieren:
[mm] (a-b)^2= a^2-2ab+b^2
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:21 Di 14.06.2005 | | Autor: | fool |
ich hab genau den gleichen Fehler wie du gemacht.
also ich habe versucht folgendes Polynom zu dividieren:
(x³ - 3x² +0x + 4) : (x - 1) = x² - 4x + 4
- (x³ + x²)
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- 4x² + 0x
- (- 4x² - 4x)
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+ 4x + 4
- ( 4x + 4)
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0
Zur Verdeutlichung hab ich 0x eingefügt.
Das muss man sich sonst einfach dazudenken.
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Kurvendiskussion