Kurvendiskussion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Mi 18.02.2009 | | Autor: | jaktens |
| Aufgabe | | Kurvendiskussion von f(x)=2*cos(x)*(sin(x)+1); [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le2*pi [/mm] |
Hallo und Danke im vorraus! Ich hänge bei der Nullstellenberechnung in den Ableitungen!
Zuerst mal, was ich bis jetzt habe:
1.)Nullstellen:
f(x)=2*cos(x)*(sin(x)+1)
[mm] x_{N1}=\bruch{pi}{2};
[/mm]
[mm] x_{N2/3}=\bruch{3*pi}{2}
[/mm]
2.)Extremstellen:
f´ (x)=2*(-sin(x)*(sin(x)+1)+cos(x)*cos(x))
[mm] =-2*(sin^2(x)+sin(x)-cos^2(x)
[/mm]
Hier habe ich ca ne Stunde versucht, die Funktion in Produkte umzuwandeln.....leider ohne Erfolg.
Auch die Umformungen a´la [mm] sin^2(x)=1-cos^2(x) [/mm] bzw [mm] cos^2(x)=1-sin^2(x) [/mm] haben zu keinem Ergebnis geführt.
3.Wendestellen:
[mm] f´´(x)=2*(-2*sin(x)*cos(x)-cos(x)-2*cos(x)*sin(x))=2*(-4*sin(x)*cos(x)-cos(x))=-8*cos(x)*(sin(x)+\bruch{1}{4})
[/mm]
[mm] x_{w1}=\bruch{pi}{2}
[/mm]
[mm] x_{w2}=\bruch{3*pi}{2}
[/mm]
Hab die Funktion anschließend geplottet und komme trotz dessen zu keinem Ergebnis. Ich kann zwar mittels der ersten Ableitung die Extremstellen( [mm] \bruch{pi}{6} [/mm] ; [mm] \bruch{5*pi}{6} [/mm] ; [mm] \bruch{3*pi}{2}) [/mm] und die fehlenden Wendestellen in etwa ablesen, aber selbst damit komme ich nicht weiter...
Könnte mir jemand nen Tipp geben, wie ich [mm] 0=sin(x)+\bruch{1}{4} [/mm] lösen bzw wie ich in der ersten Ableitung vorgehen müsste?
Das Thema ist noch recht neu für mich.....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mi 18.02.2009 | | Autor: | jaktens |
| Aufgabe | | Nach Substitution wie weiter?? |
[mm] f´(x)=-2*(sin^2(x)+sin(x)-cos^2(x))
[/mm]
[mm] =-2*(sin^2(x)+sin(x)-(1-sin^2(x)))
[/mm]
[mm] =-2*(sin^2(x)+sin(x)+sin^2(x)-1)
[/mm]
[mm] =-2*(2*sin^2(x)+sin(x)-1)
[/mm]
[mm] =-4*(sin^2(x)+\bruch{sin(x)}{2}-\bruch{1}{2})
[/mm]
Substitution: sin(x)=z
[mm] z^2+\bruch{z}{2}-\bruch{1}{2}
[/mm]
Jetzt über p-q-Formel weiter?
[mm] Z_{1/2}=\bruch{1}{4}\pm\wurzel{\bruch{9}{16}}
[/mm]
[mm] Z_{1}=-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] Z_{2}=1
[/mm]
Habs zweimal gerechnet, Werte stimmen aber nicht mit der geplotteten Funktion überein.
Respektive fehlt´s mir dann an einer Idee, die Werte auf die periodischen Nullstellen zu beziehen.
Ich hab auch keinen Lösungsansatz für 0=sin(x)+0.25...
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Hallo jaktens,
> Nach Substitution wie weiter??
> [mm]f´(x)=-2*(sin^2(x)+sin(x)-cos^2(x))[/mm]
> [mm]=-2*(sin^2(x)+sin(x)-(1-sin^2(x)))[/mm]
> [mm]=-2*(sin^2(x)+sin(x)+sin^2(x)-1)[/mm]
> [mm]=-2*(2*sin^2(x)+sin(x)-1)[/mm]
> [mm]=-4*(sin^2(x)+\bruch{sin(x)}{2}-\bruch{1}{2})[/mm]
> Substitution: sin(x)=z
>
> [mm]z^2+\bruch{z}{2}-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Jetzt über p-q-Formel weiter?
>
> [mm]Z_{1/2}=\bruch{1}{4}\pm\wurzel{\bruch{9}{16}}[/mm]
Das muß doch
[mm]Z_{1/2}=\red{-}\bruch{1}{4}\pm\wurzel{\bruch{9}{16}}[/mm]
heißen.
>
> [mm]Z_{1}=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]Z_{2}=1[/mm]
>
> Habs zweimal gerechnet, Werte stimmen aber nicht mit der
> geplotteten Funktion überein.
> Respektive fehlt´s mir dann an einer Idee, die Werte auf
> die periodischen Nullstellen zu beziehen.
> Ich hab auch keinen Lösungsansatz für 0=sin(x)+0.25...
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Mi 18.02.2009 | | Autor: | jaktens |
Stimmt, ganz blöder Vorzeichenfehler und somit drehen sich die Vorzeichen der Lösungen.
[mm] Z_{1}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] Z_{2}=-1
[/mm]
1.
[mm] \bruch{1}{2}+k*pi=0 ;k\in\IZ
[/mm]
bzw
[mm] \bruch{pi}{6}+k*pi=0 ;k\in\IZ [/mm] (BINGO!!!)
Danke sehr für eure Hilfe!!!!
Den Rest versuch ich erst mal alleine
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
