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| Aufgabe | Bestimme : Asymptoden , lokale Extrema, Wendepunkte von
[mm] \bruch{x^3+x^2+4}{2x^2} [/mm] |
Ich hab das jetzt alles mal gemacht und würde gerne wissen ob das so passt 
Um die Asymptode zu berechnen mache ich einfach ne Polynomdivision mit dem Ergebnis [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{4}{2x^2}
[/mm]
Also ist meine Asymptode [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Um die Extrema und Wendepunkte zu klären mache ich erstmal die 1. und 2. Ableitung von dem ganzen wobei ich ja hier eigentlich auch das Ergebnis meiner Polynomdivision verwenden kann, sehe ich das Richtig?
Also mein f(x) = [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{x^2}
[/mm]
Erste Ableitung [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{-4}{x^3}
[/mm]
Zweite Ableitung : [mm] \bruch{12}{x^4}
[/mm]
Um jetzt meine Extremas zu testen mache ich doch folgendes :
Ich setze die 1. Ableitung = 0 und erhalte dann dafür einen Wert für x.
Hier im Beispiel erhalte ich dann für x = 2.
Dieses Ergebnis setze ich dann wiederum in die 2. Ableitung ein.
Wenn das Ergebnis dann > 0 ist habe ich ein lokales minimum wenn das Ergebnis < 0 ist ein lokales maximum??
Am Beispiel :
[mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{4} [/mm] = 2! -> Lokales Minimum bei x = 2
Um jetzt noch auf Wendepunkte zu prüfen setze ich die 2. Ableitung = 0
Also
[mm] \bruch{12}{x^4} [/mm] = 0
Diese Gleichung lässt sich allerdings nicht umstellen deshalb kein Wendepunkt.
Lg
Marry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marry!
Du machst fast alles richtig ...
Zum einen heißt es "Asymptoten".
> Am Beispiel :
>
> [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{2}{x^2}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}2[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{2}{4}[/mm] = 2! ->
Hier setzt Du ja in die Ausgangsfunktion ein und nicht in die 2. Ableitung.
Mit Deiner Rechnung ermittelst du den Funktionswert des Minimums mit $f(2) \ = \ 2$ .
Gruß
Loddar
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Danke fürs drüberschaun
Hab das in der eile nur falsch kopiert wo ich falsch eingesetzt habe. Ist aber klar soweit!
Ich habe mich jetzt mal an ein paar weiteren Aufgaben versucht, hat auch alles gut geklappt. Jetzt bin ich aber auf ein Problem gestoßen.
Ich habe nun die Aufgabe [mm] \bruch{1}{6}(x+2)²(2x-5)
[/mm]
Was mir nicht ganz klar ist ist der Anfang. Ich multipliziere doch jetzt einfach das ganze aus und mache alles wie vorher auch?
lg
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> Ich habe nun die Aufgabe [mm]\bruch{1}{6}(x+2)²(2x-5)[/mm]
> Was mir nicht ganz klar ist ist der Anfang. Ich
> multipliziere doch jetzt einfach das ganze aus und mache
> alles wie vorher auch?
Hallo Maria,
diese Funktion ist anders als die vorherige eine
reine Polynomfunktion und kann insbesondere
keine (geradlinigen) Asymptoten haben. Zu
einer Standard-Kurvendiskussion gehören hier:
Definitionsbereich, Nullstellen, Extremalpunkte,
Wendepunkte, ev. Terrassenpunkte, Verhalten
für [mm] x\to\infty [/mm] und für [mm] x\to -\infty, [/mm] Wertebereich
und natürlich eine Zeichnung.
Die Gleichung, in der Form wie sie gegeben ist,
verrät dem Kennerblick übrigens schon fast
alles Wesentliche über die Kurve. Insbesondere
suchst du die Nullstellen am besten vor dem
Ausmultiplizieren.
LG
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Ohh, hab ich garnicht geschrieben, es sollen nur die Nullstellen, Extremas und Wendepunkte bestimmt werden.
Zuerstmal zu den Nullstellen. Die kann ich ja hier einfach ablesen
[mm] \bruch{1}{6}(x+2)²(2x-5)
[/mm]
Also das wäre dann -2 und 2.5 ?
Dann Multipliziere ich aus und komme auf
[mm] \bruch{2}{6}x³+\bruch{3}{6}x²-\bruch{12}{6}x-\bruch{20}{6}
[/mm]
Stimmt das soweit?
lg
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Hallo Marry2605,
> Ohh, hab ich garnicht geschrieben, es sollen nur die
> Nullstellen, Extremas und Wendepunkte bestimmt werden.
>
> Zuerstmal zu den Nullstellen. Die kann ich ja hier einfach
> ablesen
> [mm]\bruch{1}{6}(x+2)²(2x-5)[/mm]
> Also das wäre dann -2 und 2.5 ?
Ja, allerdings tritt die Nullstelle x=-2 zweimal auf.
>
> Dann Multipliziere ich aus und komme auf
> [mm]\bruch{2}{6}x³+\bruch{3}{6}x²-\bruch{12}{6}x-\bruch{20}{6}[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> lg
Gruß
MathePower
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Na dann mal ans Werk :
f1(x) = x²+x-2
f2(x) = 2x + 1
Extremas :
So, jetzt x²+x-2 = 0 setzen und mit pq Formal aufgelöst ergibt
x1 = 1 und x2 = -2
Jetzt setze ich x1 bzw. x2 in f2(x) ein:
Für x1=1 erhalte ich 3 -> Minimalstelle
Für x2=-2 erhalte ich -3 -> Maximalstelle
Wendepunkte :
f2(x) = 0
2x + 1 = 0 --> x = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Damit sollte das ganze dann erledigt sein
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 So 23.11.2008 | | Autor: | Marry2605 |
> Es gehört natürlich unbedingt noch dazu, nicht
> bloss die Extremal- und Wende-Stellen
> anzugeben, sondern die Extremal- und Wende-
> Punkte mit ihren beiden Koordinaten.
>
> Und: die Nullstellen hast du wohl schon vorher
> notiert, oder ? - ach ja, die hatten wir schon.
>
>
danke!
Klar das das noch dazu gehört, ist aber jetzt für die Aufgabe nicht gefreagt
lg
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> > Es gehört natürlich unbedingt noch dazu, nicht
> > bloss die Extremal- und Wende-Stellen
> > anzugeben, sondern die Extremal- und Wende-
> > Punkte mit ihren beiden Koordinaten.
> Klar das das noch dazu gehört, ist aber jetzt für die
> Aufgabe nicht gefreagt
Früher hast du geschrieben:
"es sollen nur die Nullstellen, Extremas und Wendepunkte bestimmt werden"
Die Extrema (Minimum/Maximum) sind nicht die
Extremalstellen (x-Werte), sondern die dazu
gehörigen Funktionswerte (y-Werte):
(lokales) Maximum = f(-2) = 0
(lokales) Minimum = f(1) = -4.5
Wendepunkt ist nicht die Zahl x = -0.5 , sondern
der Punkt W(-0.5/-2.25)
LG
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Achso, jetzt versteh ich was du damit meinst! Deswegen haben meine Zeichnungen auch nicht so wirklich gestimmt.....
Um den Wendepunkt zu bekommen setz ich ja einfach was bei f2(x) = 0 rauskam in die Ursprungsgleichung ein? Das habe ich eben mal nachgerechnet das stimmt.
Meine Extremas erhalte ich dann ja genauso.
Es ist ja nicht möglich das ganze in eine Ableitung einzusetzen? Oder?
Ich verrechne mich nämlich bei solchen Sachen ganaz gerne
LG
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guten Tag Maria
> Achso, jetzt versteh ich was du damit meinst! Deswegen
> haben meine Zeichnungen auch nicht so wirklich
> gestimmt.....
>
> Um den Wendepunkt zu bekommen setz ich ja einfach was bei
> f2(x) = 0 rauskam in die Ursprungsgleichung ein?
Natürlich.
>Das habe ich eben mal nachgerechnet das stimmt.
>
> Meine Extremas erhalte ich doch dadurch das ich die
> Ergebnisse aus der 1. Ableitung in die Urspungsgleichung
> einsetze? Oder sehe ich das falsch?
Nein; das siehst du goldrichtig.
und nebenbei:
"Extrema" ist schon Plural zum Singular "Extremum",
das "s" am Schluss ist also überflüssig oder, präzise
ausgedrückt, falsch ! 
LG al-Chw.
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> [mm]\bruch{1}{6}(x+2)²(2x-5)[/mm]
>
> Dann Multipliziere ich aus und komme auf
> [mm]\bruch{2}{6}x³+\bruch{3}{6}x²-\bruch{12}{6}x-\bruch{20}{6}[/mm]
Tipp:
bei solchen Aufgaben kann man sich das Leben
ein bisschen leichter machen, wenn man den
konstanten Faktor vorne stehen lässt, hier also:
$\ [mm] f(x)=\bruch{1}{6}*(2x^3+3x^2-12x-20)$
[/mm]
Auch bei den Ableitungen kannst du dann gemeinsame
Faktoren ausklammern, hier:
$\ [mm] f'(x)=\bruch{1}{6}*(6x^2+6x-12)=\bruch{1}{6}*6*(x^2+x-2)=x^2+x-2$
[/mm]
Die Gleichung f'(x)=0 lässt sich dann auch ganz
leicht ohne Formeln durch Faktorisieren lösen:
[mm] $f'(x)=0\quad\gdw\quad x^2+x-2=0\quad\gdw\quad (x+2)*(x-1)=0\quad\gdw\quad [/mm] x=-2\ [mm] \vee\ [/mm] x=1$
LG
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Ich hätte mal noch eine Frage dazu.
Gehen wir mal davon aus ich soll den Flächeninhalt von der Fläche zwischen
[mm] \bruch{1}{6}(x+2)²(2x-5) [/mm] und der x-Achse berechnen.
Dafür Packe ich doch meine ausmultiplizierte Gleichung einfach in ein Integral und Rechne das aus? Oder sehe ich das Falsch?
Lg
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Hallo, so ist es, Stammfunktion ermitteln, Grenzen einsetze, die hast du ja über die Nullstellen, Steffi
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> Hallo, so ist es, Stammfunktion ermitteln, Grenzen
> einsetze, die hast du ja über die Nullstellen, Steffi
... und eben, bitte, in deinem eigenen Interesse:
den Faktor [mm] \bruch{1}{6} [/mm] zuerst mal brav vorne draussen stehen lassen ! Al-Chw.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
