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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 So 05.10.2008 | | Autor: | DerDon |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f:x [mm] \mapsto \wurzel{\bruch{1}{2}*x^2+x+4} [/mm] für -2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 und f:x [mm] \mapsto (x-1)^2 [/mm] + 1 für x > 2
a) Berechnen Sie die Schnittpunkte von Gf mit den Koordinatenachsen
b) Zeigen Sie, dass f an der Stelle x = 2 zwar stetig, aber nicht differenzierbar ist, geben sie f' in abschnittsweise definierter Form an und berechnen Sie den (spitzen) Knichwinkel von Gf.
c) Bestimmen Sie Lage und Art aller Punkte mit waagrechter Tangente.
d) Untersuchen Sie das Verhalten von f' bei Annäherung an die untere Grenze von Df' und deuten Sie das Ergebnis.
e) Zeichnen Sie Gf unter Verwendung aller bisheriger Ergebnisse im Bereich [-2; 3]
f) Besitzt Gf noch weitere Extrempunkte, als die bei c) berechneten? Wenn ja, dann geben Sie Art und Lage an |
Hallo erstmal!
Ich weiß, dass das sehr viel ist, aber ich bin wirklich total blank. Das ist zwar nur eine Wiederholung aus dem letzten Jahr, dennoch weiß ich überhaupt nicht mehr, wie ich vorgehen muss. Vielleicht hat jemand einen kleinen Denkanstoß? Wäre sehr sehr dankbar dafür.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 So 05.10.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo DerDon,
hier kommen ein paar Tipps zur Aufgabe, rechnest musst aber Du.
zu a) Den Schnittpunkt mit der y-Achse bekommst Du, indem du für x = 0 einsetzt, den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem Du die Gleichung 0 setzt und nach x auflöst.
zu b) Nehme die beiden Teilfunktionen und zeige, dass sie für x gegen 2 gegen den gleichen Wert laufen. Leite dann beide Teilfunktionen ab und bestimme die Steigung in diesem Punkt. Der Knickwinkel ist der Winkel zwischen den Ableitungen der Teilfunktionen an dieser Stelle.
zu c) waagrechte Tangenten tauchen bei Extremwerten auf. Die Ableitungen kennst Du schon aus b), diese Null setzen und Du kennst die Punkte
zu d) Da musst Du halt mal schauen
zu e) Ergibt sich aus den Ergebnissen der Berechnungen oben
zu f) Das kannst Du erst beantworten, wenn Du die Kurve mal gezeichnet hast.
Und nun, frischauf ans Werk,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 So 05.10.2008 | | Autor: | DerDon |
Danke schonmal!
Also bei a) in die erste für x 0 einzusetzen hat funktioniert. Aber bei welcher der beiden soll ich jetzt nullsetzen und dann nach x auflösen?
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Hi,
das musst du natürlich mit beiden Teilen der Funktion machen. Es kann ja mehrere Nullstellen geben!
grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 So 05.10.2008 | | Autor: | DerDon |
Danke, habe jetzt zumindestens für die Lösung!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 So 05.10.2008 | | Autor: | Giraffe |
Was ist eine Nullstelle?
Das ist die Stelle (oder auch mehrere) wo der Graf die y-Achse schneidet.
Die Koordinate für so eine Nullstelle muss immer lauten (x/0), da der y-Wert für alle Nullstelllen immer null ist.
Um die Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) rauszubekommen, mußt du immer die Ausgangsfunktion gleich null setzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 So 05.10.2008 | | Autor: | XPatrickX |
> Was ist eine Nullstelle?
> Das ist die Stelle (oder auch mehrere) wo der Graf die
> y-Achse schneidet.
Hier hat sich ein kleiner Rechtschreibfehler eingeschlichen, es geht ja um die Schnittpunkte mit der [mm] \red{x}-Achse. [/mm]
Den Schnittpunkt mit der y-Achse nennt man nicht Nullstelle und es kann auch max. nur einen geben.
> Die Koordinate für so eine Nullstelle muss immer lauten
> (x/0), da der y-Wert für alle Nullstelllen immer null ist.
> Um die Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse)
> rauszubekommen, mußt du immer die Ausgangsfunktion gleich
> null setzen.
>
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Infinit hat dir schon Tipps gegeben.
Aber etwas stimmt an der Aufgabe nicht. Die Funktion,
die du angegeben hast, ist an der Stelle 2 nicht
stetig ! Überprüfe die Formeln nochmals genau !
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> Gegeben ist die Funktion f:x [mm]\mapsto \wurzel{\bruch{1}{2}*x^2+x+4}[/mm]
> für -2 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2 und f:x [mm]\mapsto (x-1)^2[/mm] + 1 für x > 2
> b) Zeigen Sie, dass f an der Stelle x = 2 zwar stetig,
> aber nicht differenzierbar ist, geben sie f' in
> abschnittsweise definierter Form an und berechnen Sie den
> (spitzen) Knichwinkel von Gf.
Ich vermute sehr, dass du bei der ersten Formel
ein Minuszeichen unterschlagen hast. Wenn es hiesse:
[mm] f:x\mapsto \wurzel{\red{-}\ \bruch{1}{2}*x^2+x+4} [/mm] für [mm] -2\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 und .....
dann hätten wir wirklich eine an der Stelle x=2
stetige Funktion mit Eigenschaften, die im Hinblick
auf die übrigen Teilaufgaben interessant sind.
LG
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