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| Aufgabe | 1
[mm] y=x(x-a)^2
[/mm]
--->komplette Kurvendiskussion
--->Ortskurve des Max. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo erstmal hier im Matheraum! 
Meine Rechnung:
Extrema
[mm] y=x(x-a)^2
[/mm]
[mm] y=x(x^2-ax-ax+a^2)
[/mm]
[mm] y=x^3-2ax^2+ax^2
[/mm]
[mm] y'=3x^2-4ax+a^2
[/mm]
y''=6x-4a
y'''=6
y'=0
[mm] 0=3x^2-4ax+a^2 [/mm] |/3
[mm] 0=x^2-(1/1/3)ax+(a/3)^2 [/mm] (Hier beginne ich mit der p/q Formel)
[mm] X_{1/2}= [/mm] 2a/3 [mm] \pm \wurzel{(4/9)-(a/3)²}
[/mm]
[mm] X_{1/2}= [/mm] 2a/3 [mm] \pm \wurzel{(4-3a^2)/9}
[/mm]
Nun weiß ich nicht mehr wie ich weiter machen soll...
WP'e
y''=0
0=6x-4a |+4a
4a=6x | /6
(4a)/6=x
[mm] y=(4a/6)³-2a*[4a/6)²+(4a/6)a^2
[/mm]
[mm] y=8/27a³-8/9a^3+4/a^3
[/mm]
[mm] y=2/27a^3
[/mm]
WP'e bei (4a/6 | [mm] 2/27a^3)
[/mm]
Von Ortskurve habe ich keine Ahnung außerdem ist sie jetzt nicht zu berechnen, weil ich kein Max ermittelt habe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Sa 03.05.2008 | | Autor: | unbekannt |
Ach ja kommt mir doof vor aber was ich noch sagen wollte:
DANKE IM VORAUS
Euer unbekannter ;D
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Sa 03.05.2008 | | Autor: | vivo |
> [mm]y'=3x^2-4ax+a^2[/mm]
Hallo,
die erste Ableitung ist richtig! nun die "Mitternachtsformel" angewandt:
[mm] \bruch{4a \pm \wurzel{16a^2 - 4(3a^2} }{6} [/mm] = [mm] \bruch{4a \pm \wurzel{16a^2 - 12a^2} }{6} [/mm] = [mm] \bruch{4a \pm \wurzel{4a^2 } }{6} [/mm] = [mm] \bruch{4a \pm 2a }{6} [/mm]
[mm] x_1 [/mm] = a/3
[mm] x_2 [/mm] = a
Das sind die beiden x-Werte der Extremstellen
gruß
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Hi danke für deine Antwort
Ich weiß aber leider nicht wie du auf $ [mm] \bruch{4a \pm \wurzel{16a^2 - 4(3a^2} }{6} [/mm] $ kommst??? Von einer "Mitternachtsformel" habe ich heute zum erstenmal was gehört!
Könntest du mir bitte ab den Schritt: $ [mm] 0=3x^2-4ax+a^2 [/mm] $ nochmals alles genau erklären? das wäre nett
Dann müsste ich noch die Ortskurve berechnen!
Aber bitte nochmal die erste Ableitung!
Danke
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Mit der Mitternachtsformel bezeichnet man die Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Sie wird so genannt, weil jeder Schüler sie auch zu "mitternacht" aus dem Schlaf aufsagen können sollte
Es gibt zwei Lösungs-Formeln, wobei sich die zweite auf die erste zurückführen lässt:
Für quadratische Gleichungen der Form [mm]x^{2}+p*x+q = 0[/mm] wird folgende Gleichung zur Lösungsfindung angewandt:
[mm]x_{1/2} = -\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^{2}-q}[/mm].
Für quadratische Gleichungen der Form [mm]a*x^{2}+b*x+c = 0[/mm] wird folgende Gleichung zur Lösungsfindung angewandt:
[mm]x_{1/2} = -\bruch{b}{2*a}\pm\wurzel{\left(\bruch{b}{2*a}\right)^{2}-\bruch{c}{a}}[/mm].
Das entsteht einfach, wenn du die Gleichung [mm]a*x^{2}+b*x+c = 0[/mm] folgendermaßen umformst:
[mm]a*x^{2}+b*x+c = 0 \gdw x^{2}+\bruch{b}{a}+\bruch{c}{a} = 0[/mm]
Und nun [mm]p = \bruch{b}{a}[/mm] und [mm]q = \bruch{c}{a}[/mm] in die erste Formel einsetzt.
Speziell zu deiner Gleichung empfiehlt es sich jedoch, erst durch 3 zu rechnen, dann brauchst du nur die p-q-Formel (also die erste) anzuwenden:
[mm]3*x^{2} - 4*a*x+a^{2}[/mm]
[mm]\gdw x^{2} - \bruch{4}{3}*a*x+\bruch{1}{3}*a^{2}[/mm]
Nun hast du praktisch
[mm]p = - \bruch{4}{3}*a[/mm]
und
[mm]q = \bruch{1}{3}*a^{2}[/mm]
vorliegen und setzt das in die p-q-Formel ein!
Du erhältst die schon von vivo angegebenen Nullstellen.
Um herauszufinden, welches der beiden möglichen Extremstellen nun das Maximum ist, solltest du die gerade berechneten x-Werte der Extremstellen in deine zweite Ableitung einsetzen. Ist sie dann > 0, dann handelt es sich um ein Minimum, ist sie dann < 0, handelt es sich um ein Maximum.
Berechne zunächst, welche Extremstelle eine Maximum-Stelle ist und berechne den dazugehörigen y-Wert des Maximums, indem du die Exstremstelle in die Ausgangsfunktion einsetzt!
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