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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 So 06.04.2008 | | Autor: | z4k |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f mit [mm] f(x)=\bruch{4e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}} [/mm] . Ihr Schaubild sei K.
a.) Untersuchen sie K auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Asymptoten, Extrem- und Wendepunkte. Zeige, dass K zur y-Achse symmetrisch ist. Zeichne K.
b.) Weise nach, dass für t>0 jede Kurve [mm] K_{t}:y=\bruch{4e^{x}}{(e^{x}+t)^{2}} [/mm] zur Geraden mit der Gleichung x=In t symmetrisch ist. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte aller Kurven [mm] K_{t}? [/mm] |
Hallo,
die oben genannte Aufgabe soll ich Vortragen. Leider ist es schon länger her das ich diese Art von Aufgaben gerechnet habe, deswegen bräuchte ich bei einigen Teilen der Aufgabe einen kleinen Stupps in die richtig Richtung.
Auf Schnittpunkte untersuchen, ist relativ einfach:
Nullstellen sind nicht vorhanden da [mm] 4e^{x}\not=0 [/mm] ist.
Schnittpunkte mit der x Achse, x=0, daraus folgt [mm] \bruch{4}{4}=1, [/mm] also liegt der Schnittpunkt bei (0/1).
Bei der Asymptote bräuchte ich eine Anregung wie ich überhaupt anfangen soll, da ich aus meinen alten Aufzeichnungen nicht mehr schlau werde. Herausgefunden: im Prinzip sucht man bei der Asymptote die Funktion, die im "durchschnitt" am ehesten mit f(x) vereinbar ist?!?
Extrem- und Wendepunknte sind vom verständniss her auch relativ einfach. Ableitungen berechnen und und Nullsetzen usw. . Ich denke mal das ich da auch Probleme kriegen werde(vor allem mit den Ableitungen), aber das werde ich schon hinkriegen ;)
Wirklich Problematisch ist die Frage, wie kann man nachweisen, dass K symmetrisch zur y-Achse ist, obwohl es ja relativ offensichtlich ist, das es nicht so ist? Bei diesem Teil der Aufgabe bin ich leider völlig überfragt was ich machen soll :(
Die Aufgabe b.) ist so ein Ding für sich. Mal sehen wie weit ich da allein komme, oder ob ich auch noch mal um Hilfe fragen muss.
Wie schon gesagt, für die beiden oben genannten problematischen Teilaufgaben bräuchte ich nur Lösungsansätze, ich denke den rest würde ich dann allein schaffen.
Ich hoffe ich konnte mich verständlich ausdrücken.
Vielen Dank im vorraus,
z4k
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 So 06.04.2008 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
> die oben genannte Aufgabe soll ich Vortragen. Leider ist es
> schon länger her das ich diese Art von Aufgaben gerechnet
> habe, deswegen bräuchte ich bei einigen Teilen der Aufgabe
> einen kleinen Stupps in die richtig Richtung.
>
> Auf Schnittpunkte untersuchen, ist relativ einfach:
> Nullstellen sind nicht vorhanden da [mm]4e^{x}\not=0[/mm] ist.
> Schnittpunkte mit der x Achse, x=0, daraus folgt
> [mm]\bruch{4}{4}=1,[/mm] also liegt der Schnittpunkt bei (0/1).
Der Schnittpunkt mit der y-Achse. Sonst richtig.
>
> Bei der Asymptote bräuchte ich eine Anregung wie ich
> überhaupt anfangen soll, da ich aus meinen alten
> Aufzeichnungen nicht mehr schlau werde. Herausgefunden: im
> Prinzip sucht man bei der Asymptote die Funktion, die im
> "durchschnitt" am ehesten mit f(x) vereinbar ist?!?
Zwei Dinge musst du tun:
1.) Bilde [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} f(x) [/mm]. Auch für [mm]-\infty[/mm]!
2.) Setze den Nenner der Funktion Null und suche nach Polstellen. (Tipp: Es gibt keine, aber das musst du zeigen.)
>
> Extrem- und Wendepunknte sind vom verständniss her auch
> relativ einfach. Ableitungen berechnen und und Nullsetzen
> usw. . Ich denke mal das ich da auch Probleme kriegen
> werde(vor allem mit den Ableitungen), aber das werde ich
> schon hinkriegen ;)
Wir helfen immer gerne ;)
>
> Wirklich Problematisch ist die Frage, wie kann man
> nachweisen, dass K symmetrisch zur y-Achse ist, obwohl es
> ja relativ offensichtlich ist, das es nicht so ist? Bei
> diesem Teil der Aufgabe bin ich leider völlig überfragt was
> ich machen soll :(
Für Symmetrie bezüglich der y-Achse musst du zeigen, dass f(-x)=f(x). Bedenke, dass [mm] e^{-x}=\bruch{1}{e^x}[/mm]. Die Funktion ist symmtrisch zur y-Achse!
>
> Die Aufgabe b.) ist so ein Ding für sich. Mal sehen wie
> weit ich da allein komme, oder ob ich auch noch mal um
> Hilfe fragen muss.
Das Lob ich mir. Viel Spaß beim Lösen.
>
> Wie schon gesagt, für die beiden oben genannten
> problematischen Teilaufgaben bräuchte ich nur
> Lösungsansätze, ich denke den rest würde ich dann allein
> schaffen.
>
> Ich hoffe ich konnte mich verständlich ausdrücken.
> Vielen Dank im vorraus,
> z4k
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
zetamy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 06.04.2008 | | Autor: | z4k |
Danke für die schnelle Hilfe zetamy!
Ich denke mit deinen Hinweisen werde ich etwas anfangen können. :)
In der Zeit, in der ich auf eine antwort gewartet habe, habe ich mich einmal mit den Ableitungen und Extremwerten befasst. Es wäre sehr nett wen jemand diese korrigieren würde. Zur erinnerung hier noch einmal die Funktion
[mm] f(x)=\bruch{4e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}} [/mm] .
wenn gilt [mm] f(x)=\bruch{u(x)}{v(x)}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{(v(x))^{2}}
[/mm]
dann müsste nach ableiten und kürzen für die Ableitungen folgendes gelten:
[mm] f'(x)=\bruch{-4e^{2x}+4e^{x}}{(e^{x}+1)^{3}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-20e^{3x}+8e^{2x}+4e^{x}}{(e^{x}+1)^{4}}
[/mm]
Extremalpunkte:
Hinreichende und Notwendige Bedingung folgen im Vortrag ;)
Es gilt, u(x)=0 und [mm] v(x)\not=0.
[/mm]
[mm] u(x)=-4e^{2x}+4e^{x}=0 [/mm] | ausklammern
[mm] 0=e^{x}(4e^{x}+4) [/mm] | ein term ist 0 sobald einer der Faktoren 0 ist.
[mm] e^{x}\not=0
[/mm]
[mm] 4e^{x}+4=0 [/mm] |umstellen, /4, ln
x=0
daraus folgt extremalpunkt bei 0, einsetzen in f''(x)
[mm] f''(0)=\bruch{-20+8+4}{16}=-0,5--> [/mm] Hochpunkt
überprüfung des y-Wertes, x wert in f(x)
[mm] f(0)=\bruch{4}{4}=1 [/mm] Hochpunktk an der Stelle x=(0/1)
sieht für mich zumindest auf den ersten blick richtig aus :)
Hoffe wieder auf schnelle Hilfe,
Grüße z4k
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Hallo z4k,
> Danke für die schnelle Hilfe zetamy!
>
> Ich denke mit deinen Hinweisen werde ich etwas anfangen
> können. :)
>
> In der Zeit, in der ich auf eine antwort gewartet habe,
> habe ich mich einmal mit den Ableitungen und Extremwerten
> befasst. Es wäre sehr nett wen jemand diese korrigieren
> würde. Zur erinnerung hier noch einmal die Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{4e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}[/mm] .
>
> wenn gilt [mm]f(x)=\bruch{u(x)}{v(x)}[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{(v(x))^{2}}[/mm]
>
> dann müsste nach ableiten und kürzen für die Ableitungen
> folgendes gelten:
> [mm]f'(x)=\bruch{-4e^{2x}+4e^{x}}{(e^{x}+1)^{3}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]f''(x)=\bruch{-20e^{3x}+8e^{2x}+4e^{x}}{(e^{x}+1)^{4}}[/mm]
Das stimmt leider nicht.
>
> Extremalpunkte:
> Hinreichende und Notwendige Bedingung folgen im Vortrag
> ;)
> Es gilt, u(x)=0 und [mm]v(x)\not=0.[/mm]
>
> [mm]u(x)=-4e^{2x}+4e^{x}=0[/mm] | ausklammern
[mm]u(x)=-4e^{2x}\red{-}4e^{x}=0[/mm]
> [mm]0=e^{x}(4e^{x}+4)[/mm] | ein term ist 0 sobald einer der
> Faktoren 0 ist.
> [mm]e^{x}\not=0[/mm]
> [mm]4e^{x}+4=0[/mm] |umstellen, /4, ln
[mm]4e^{x}\red{-}4=0[/mm]
> x=0
>
> daraus folgt extremalpunkt bei 0, einsetzen in f''(x)
> [mm]f''(0)=\bruch{-20+8+4}{16}=-0,5-->[/mm] Hochpunkt
>
> überprüfung des y-Wertes, x wert in f(x)
> [mm]f(0)=\bruch{4}{4}=1[/mm] Hochpunktk an der Stelle x=(0/1)
>
> sieht für mich zumindest auf den ersten blick richtig aus
> :)
>
> Hoffe wieder auf schnelle Hilfe,
> Grüße z4k
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 So 06.04.2008 | | Autor: | z4k |
Hallo MathePower,
Danke das du so schnell geantwortet hast.
Ich hab mir nochmal die 2. Ableitung angschaut und deke nun das sie korrekt sein dürfte. (Vorzeichenfehler)
[mm] f''(x)=\bruch{4e^{3x}-16e^{2x}+4e^{x}}{(e^{x}+1)^{4}}
[/mm]
Falls diese nun die richtige Ableitung ist, dürfte sich nichts an meinem Hochpunkt(wie vorher beschrieben) bei (0/1) geändert haben. Falls es immer noch nicht die richtige Ableitung ist bin ich
a.) depri :'( und
b.) werd ich dann einfach Schritt für Schritt schreiben was ich gemacht hab, zur besseren Fehler erklärung. hätte ich jetzt eigentlich auch schon gemacht, aber ich habe das Vorzeichen dierekt auf den 1.Blick (obwohl ich vorher natürlich schonmal rüber geguggt hab) gesehen und dachte ich frag einfach nochmal nach.
Gruß z4k
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Hallo z4k,
> Hallo MathePower,
> Danke das du so schnell geantwortet hast.
> Ich hab mir nochmal die 2. Ableitung angschaut und deke
> nun das sie korrekt sein dürfte. (Vorzeichenfehler)
>
> [mm]f''(x)=\bruch{4e^{3x}-16e^{2x}+4e^{x}}{(e^{x}+1)^{4}}[/mm]
Das ist die richtige Ableitung.
>
> Falls diese nun die richtige Ableitung ist, dürfte sich
> nichts an meinem Hochpunkt(wie vorher beschrieben) bei
> (0/1) geändert haben. Falls es immer noch nicht die
> richtige Ableitung ist bin ich
> a.) depri :'( und
> b.) werd ich dann einfach Schritt für Schritt schreiben
> was ich gemacht hab, zur besseren Fehler erklärung. hätte
> ich jetzt eigentlich auch schon gemacht, aber ich habe das
> Vorzeichen dierekt auf den 1.Blick (obwohl ich vorher
> natürlich schonmal rüber geguggt hab) gesehen und dachte
> ich frag einfach nochmal nach.
>
> Gruß z4k
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mo 07.04.2008 | | Autor: | z4k |
Hallo,
ich habe ja jetzt die 2. Ableitung, komme aber leider nicht zu den Wendepunkten. Laut Symmetrieverhalten müsste die Funktion symmetrisch zur y-Achse sein. Ausserdem besitzt sie einen Hochpunkt bei (0/1) und eine Asymptote auf der x-Achse. Soweit bin ich mir relatib sicher, dass es 2 Wendepunkte geben muss!
Jedoch komme ich auf nichtmale einen...
Ausgangsfunktion:
[mm] f(x)=\bruch{4e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}
[/mm]
Das ist die 2. Ableitung
[mm] f''(x)=\bruch{4e^{3x}-16e^{2x}+4e^{x}}{(e^{x}+1)^{4}}
[/mm]
Definitionsgemäß muss man nur den Zähler 0 setzen:
[mm] 4e^{3x}-16e^{2x}+4e^{x}=0
[/mm]
ich habe nun durch 4 geteilt und [mm] e^{x} [/mm] ausgeklammert:
[mm] (e^{2x}-4e^{x}+1)e^{x}=0
[/mm]
Da ein Produkt 0 ist wenn ein Faktor 0 ist und man mit [mm] e^{x}=0 [/mm] so nicht weiter rechnen kann bleibt
[mm] e^{2x}-4e^{x}+1=0
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter :( meine bisherigen Vermutungen habe ich alle wieder zerschlagen, da waren z.B. pq-Formel, Logarithmieren, nochmal ausklammer.
Bitte gebt mir ein Stupps in die richtige Richtung!
Danke an alle die sich bis hierher durchgerungen haben,
z4k
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Mo 07.04.2008 | | Autor: | CatDog |
Substituieren wäre eine Möglichkeit
Gruss CatDog
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mi 09.04.2008 | | Autor: | z4k |
| Aufgabe | | Weise nach, dass für t>0 jede Kurve $ [mm] K_{t}:y=\bruch{4e^{x}}{(e^{x}+t)^{2}} [/mm] $ zur Geraden mit der Gleichung x=ln t symmetrisch ist. Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte aller Kurven $ [mm] K_{t}? [/mm] $ |
Hallo,
erstmal an alle die mir geholfen haben ein herzliches Dankeschön. Aufgabenteil a.) konnte ich präsentieren und habe 11 Punkte bekommen. Nun bin ich mehr oder minder "opfer" meines Erfolges geworden, den meine Lehrerin sagte, wenn ich Aufgabenteil b.) auch noch präsentieren könnte, würde ich 13 Punkte bekommen. Gesagt, getan:
Wenn man davon ausgeht, dass x=ln t die Symmetrieachse zu [mm] K_{t}:y=\bruch{4e^{x}}{(e^{x}+t)^{2}} [/mm] ist, dann müsste man, wenn den Abstand h nach rechts sowie nach links geht den gleichen y Wert bekommen.
Daraus folgt:
[mm] K_t: [/mm] f(ln t+h)=f(ln t-h)
[mm] \bruch{4e^{ln t+h}}{(e^{ln t+h}+t)^{2}}=\bruch{4e^{ln t-h}}{(e^{ln t-h}+t)^{2}}
[/mm]
Hier stoße ich auf mein erstes Problem. Wenn ich probiere diese Gleichung auf "normale Art" aufzulösen bekomme ich nur kauderwelsch, beispielsweise sowas:
[mm] \bruch{ln1,38t+1,38h}{2lnt+2h+ln2t+lnt+h}=\bruch{ln1,38t-1,38h}{2lnt+2h+ln2t+lnt-h}
[/mm]
Das sieht nicht nur falsch aus, sondern wenn ich es weiter auflöse komme ich auch zu keinem schlüssigem ergebniss. Meine Frage ist nun, ob es bei der Gleichung einen "Trick", mit der man sie leichter auflösen kann, oder ob es wirklich nur über das hin- und hergerechne geht.
Um die Kurve zu bestimmen, die durch alle Extrempunkte geht muss ich erstmal den Extrempunkt bestimmen.
[mm] f'(x)=\bruch{-4e^{2x}+4te^{x}}{(e^{x}+t)^{3}}
[/mm]
Dann die erste Ableitung 0 setzen und das ergebniss in die Ausgangsfunktion f(x) einstezen, Ergbniss: (ln t/1,38ln t)
Nun wirds (für mich) schwierig, da ich nicht weiß, wie ich weiter verfahren soll. Aus dem Bauch heraus würde ich nun genau wie bei einer Wendetangente weiterrechnen. Heißt also:
ln t=m*1,38ln t+n
Für die Wendetangente müsste man nun y in die erste Ableitung einstezen? und der Wert, welchen man bekommen würde wäre m. Das kann man, denke ich, bei den Extrema nicht machen, da man ja den Wert 0 herausbekommen würde. Sollte ich es dan einfach in die Ausgangsfunktion einsetzen, und ist das überhaupt der richtige Weg?
Ich bitte um Hilfe ;)
Gruß z4k
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo z4k!
Für die Symmetrie solltest Du mal an die  Potenzgesetze denken. Es gilt ja:
[mm] $$e^{\ln(t)+h} [/mm] \ = \ [mm] e^{\ln(t)}*e^h [/mm] \ = \ [mm] t*e^h$$
[/mm]
[mm] $$e^{\ln(t)-h} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^{\ln(t)}}{e^h} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{t}{e^h} [/mm] \ = \ [mm] t*e^{-h}$$
[/mm]
Bei der Ortskurve bzw. den Extremwerten habe ich einen anderen Funktionswert; nicht [mm] $1.38*\ln(t)$ [/mm] .
Um die gesuchte Ortskurve zu erhalten, musst Du [mm] $x_e [/mm] \ = \ [mm] \ln(t)$ [/mm] nach $t \ = \ ...$ umstellen und in die Funktionsvorschrift einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 13.04.2008 | | Autor: | z4k |
Hallo,
vielen dank loddar für die erinnerung an die Potenzgesetze! ;)
ich will jetzt noch einen letzten versuch starten und hoffen das mein extrema dieses mal richtig ist!
ich habe das gleiche gemacht, was ich schon eine frage davor beschrieben habe, habe aber dieses mal [mm] (ln_{t}/\bruch{1}{t}) [/mm] heraus.
hoffe auf eine schnelle korrektur,
mfg z4k
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 So 13.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo z4k!
Das sieht gut aus ... und nun noch nochmals $t_$ ersetzen.
Gruß
Loddar
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