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Kurvendiskussion: Frage + Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Mi 12.03.2008
Autor: Markus110

Aufgabe
Geg. sei die Funktion f(x)= [mm] \bruch{x^2-2x+1}{x+1} [/mm]

Aufgabe: 1. Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) durch die Gleichung y=f(x)= x-3+ [mm] \bruch{4}{x+1} [/mm] beschrieben werden kann.
         2. Ermitteln Sie eine Gleichung der Stammfunktion von f(x).
         3. Der Graph der Funktion f(x), die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x=10 begrenzen eine
            Fläche vollständig. Ermitteln Sie deren Inhalt vollständig.
         4. Begründen Sie, dass sich für große Werte von x der Graph der Funktion f(x) an den Graphen mit der
            Gleichung y=x-3 annähert.

[winken] Hallo Zusammen!

Zu 1. (Frage):  Der Nenner bleibt ja erhalten, und den Zähler habe ich umgeformt zu: [mm] x^2-2x+1 [/mm] = (x-1)*(x-1). Nun weis ich nicht mehr weiter. Ist das überhaupt der richtige Weg?

Zu 2. (Korrektur): F(x)= [mm] \bruch{\bruch{1}{3}x^3-x^2+x}{x^2+x} [/mm]

Zu 3. (Korrektur): Habe das Integral von der Nullstelle der Funktion (1;0) bis x=10 bestimmt.

[mm] \int_{1}^{10} \, [/mm] dx = [mm] \bruch{\bruch{1}{3}(10)^3-10^2+10}{10^2+10} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{1}{3}1^3-1^2+1}{1^2+1} [/mm]  = 332,2 F.E.

Zu 4. (Korrektur): y=f(x)= x-3+ [mm] \bruch{4}{x+1} [/mm] (habe die Gleichung für f(x) gewählt, da dort x-3 schon vorkommt)

  [mm] \lim_{x \to \infty}x_n [/mm] = [mm] \lim_{x \to \infty}x_n(x) [/mm] - [mm] \lim_{x \to \infty}x_n [/mm] (-3) [mm] \bruch{ \lim_{x \to \infty}x_n \bruch{4}{x}}{ \lim_{x \to \infty}x_n \bruch{1}{x}} [/mm]

da der Bruch gegen unendlich Null wird, nähert sich die Funktion y=x-3.


Sorry wegen der vielen Fragen und Danke schonmal für Eure Mühen. LG Markus
        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Mi 12.03.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

> Geg. sei die Funktion f(x)= [mm]\bruch{x^2-2x+1}{x+1}[/mm]
>
> Aufgabe: 1. Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) durch die
> Gleichung y=f(x)= x-3+ [mm]\bruch{4}{x+1}[/mm] beschrieben werden
> kann.
> 2. Ermitteln Sie eine Gleichung der Stammfunktion von
> f(x).
>           3. Der Graph der Funktion f(x), die x-Achse und
> die Gerade mit der Gleichung x=10 begrenzen eine
> Fläche vollständig. Ermitteln Sie deren Inhalt
> vollständig.
>           4. Begründen Sie, dass sich für große Werte von x
> der Graph der Funktion f(x) an den Graphen mit der
> Gleichung y=x-3 annähert.
>  [winken] Hallo Zusammen!
>  
> Zu 1. (Frage):  Der Nenner bleibt ja erhalten, und den
> Zähler habe ich umgeformt zu: [mm]x^2-2x+1[/mm] = (x-1)*(x-1). Nun
> weis ich nicht mehr weiter. Ist das überhaupt der richtige
> Weg?
>  

Führehier eine Polynomdivision durch:
[mm] (x^{2}-2x+1):(x+1)=... [/mm]


> Zu 2. (Korrektur): F(x)=
> [mm]\bruch{\bruch{1}{3}x^3-x^2+x}{x^2+x}[/mm]
>

[notok] hier kannst du nicht Gleidweise aufleiten.
Du hast ja durch die Polynomdivision aus Aufg.1 folgende Funktion bekommen: [mm] f(x)=x-3+\bruch{4}{x+1} [/mm] und das ist nun einfach zu integrieren. Es ist [mm] \integral_{a}^{b}{x dx}+\integral_{a}^{b}{-3 dx}+\integral_{a}^{b}{\bruch{4}{(x+1)} dx}=\integral_{a}^{b}{x dx}+\integral_{a}^{b}{-3 dx}+4\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x+1)} dx} [/mm]


> Zu 3. (Korrektur): Habe das Integral von der Nullstelle der
> Funktion (1;0) bis x=10 bestimmt.
>  
> [mm]\int_{1}^{10} \,[/mm] dx =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{3}(10)^3-10^2+10}{10^2+10}[/mm] -
> [mm]\bruch{\bruch{1}{3}1^3-1^2+1}{1^2+1}[/mm]  = 332,2 F.E.
>

da die 2 falsch ist ist auch der Flächeninhalt den du ausgerechnet hast leider auch falsch [notok]
Schau dir mal die Zeichnung an vielleicht kommst du selbst drauf :-)

[Dateianhang nicht öffentlich]

> Zu 4. (Korrektur): y=f(x)= x-3+ [mm]\bruch{4}{x+1}[/mm] (habe die
> Gleichung für f(x) gewählt, da dort x-3 schon vorkommt)
>  
> [mm]\lim_{x \to \infty}x_n[/mm] = [mm]\lim_{x \to \infty}x_n(x)[/mm] -
> [mm]\lim_{x \to \infty}x_n[/mm] (-3) [mm]\bruch{ \lim_{x \to \infty}x_n \bruch{4}{x}}{ \lim_{x \to \infty}x_n \bruch{1}{x}}[/mm]
>
> da der Bruch gegen unendlich Null wird, nähert sich die
> Funktion y=x-3.
>
>

Das ist ja sozusagen deine Asymptote [ok]
> Sorry wegen der vielen Fragen und Danke schonmal für Eure
> Mühen. LG Markus

[cap] Gruß
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:28 Mi 12.03.2008
Autor: Markus110

Danke.... stimmt Polynomdivision und Partialbruchzerlegung - ist schon zu lange her bei mir. Aber jetzt werde ich das so berechnen und zur Kontrolle reinstellen. LG
Bezug
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