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| Aufgabe | Diskutieren sie die Funktion : f(x) = [mm] \bruch{x²-2x+2}{x²+1}.
[/mm]
Diskussionspunkte: Definitionsbereich, Nullstellen,,Polstellen, Verhalten für /x/ -> [mm] \infty, [/mm] Extremstellen, Art möglicher Extremstellen, Wendepunkt. |
Also ich habe folgendes raus:
Definitionsbereich: x [mm] \in \IR
[/mm]
Nullstellen: gibt es nicht
Polstellen:keine
/x/-> [mm] \infty: [/mm] f(x) ->1
Extremstellen:
Ableitung:
f´(x) = [mm] \bruch{2x²-2x-2}{(x²+1)²}
[/mm]
[mm] f´´(x)=\bruch{-4x^5 + 6x^4 + 8x^3 + 4x² + 12x -2}{(x²+1)^4}
[/mm]
TP: 0.38
HP: 2.26
Mein Problem liegt nun beim Wendepunkt!
[mm] -4x^5 [/mm] + [mm] 6x^4 [/mm] + [mm] 8x^3 [/mm] + 4x² + 12x -2 =0
diese gleichung muss ich doch auf x auflösen! nur weis ich nicht wie ich des machen soll?! kann mir da jemand helfen und vllt auch sagen ob der rest so stimmt?
Vielen Dank!
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> Diskutieren sie die Funktion : f(x) =
> [mm]\bruch{x²-2x+2}{x²+1}.[/mm]
>
> Diskussionspunkte: Definitionsbereich,
> Nullstellen,,Polstellen, Verhalten für /x/ -> [mm]\infty,[/mm]
> Extremstellen, Art möglicher Extremstellen, Wendepunkt.
> Also ich habe folgendes raus:
>
[mm] $\bffamily \text{Hi.}$
[/mm]
> Definitionsbereich: x [mm]\in \IR[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nullstellen: gibt es nicht
>
> Polstellen:keine
>
> /x/-> [mm]\infty:[/mm] f(x) ->1
>
> Extremstellen:
>
> Ableitung:
> f´(x) = [mm]\bruch{2x²-2x-2}{(x²+1)²}[/mm]
> [mm]f´´(x)=\bruch{-4x^5 + 6x^4 + 8x^3 + 4x² + 12x -2}{(x²+1)^4}[/mm]
>
[mm] $\bffamily \text{Du kannst dir eine Menge Ausmultiplizierungsarbeit ersparen, indem du, nachdem du die Quotientenregel ange-}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{wendet hast, guckst, ob du was wegkürzen kannst.}$
[/mm]
> TP: 0.38
> HP: 2.26
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $\bffamily \text{Da hast du dich bei der }p\text{-}q\text{-Formel/quadratischen Ergänzung wohl ein wenig vertan. Überprüf' noch mal deine Ergebnisse!}$
[/mm]
> Mein Problem liegt nun beim Wendepunkt!
> [mm]-4x^5[/mm] + [mm]6x^4[/mm] + [mm]8x^3[/mm] + 4x² + 12x -2 =0
> diese gleichung muss ich doch auf x auflösen! nur weis ich
> nicht wie ich des machen soll?! kann mir da jemand helfen
> und vllt auch sagen ob der rest so stimmt?
>
[mm] $\bffamily \text{Stichwort: cardanische Formel.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Hier die Ergebnisse (doch ich würde trotzdem versuchen, sie selbst noch mal zu errechnen, als Kontrolle!):}$
[/mm]
[mm] $\bffamily x_{1}=\wurzel{5}*\cos\left(\bruch{\operatorname{arctan}\left(\bruch{1}{3}\right)}{3}+\bruch{\pi}{12}\right)+\bruch{1}{2}\approx [/mm] 0{,}1557915668$
[mm] $\bffamily \vee$
[/mm]
[mm] $\bffamily x_{2}=-\wurzel{5}*\sin\left(\bruch{\operatorname{arctan}\left(\bruch{1}{3}\right)}{3}+\bruch{\pi}{4}\right)+\bruch{1}{2}\approx [/mm] -1{,}241306459$
[mm] $\bffamily \vee$
[/mm]
[mm] $\bffamily x_{3}=-\wurzel{5}*\sin\left(\bruch{\operatorname{arctan}\left(\bruch{1}{2}\right)}{3}\right)+\bruch{1}{2}\approx [/mm] 2{,}585514892$
> Vielen Dank!
[mm] $\bffamily \text{Grüße, Stefan.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{PS: Die Formel von Cardano kannst du natürlich nur benutzen, wenn du auf meine vorhin genannte Kürzung eingehst, da sich nur dann eine Gleichung 3. Grades ergibt.}$[/mm]
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