Kurvendiskussion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 So 10.09.2006 | | Autor: | essence |
| Aufgabe | Gegeben sind díe Funktionen fk mit [mm] fk(x)=2*x^{3} -3*k*x^{2}+k^{3} [/mm] ; k [mm] \in [/mm] IR
Untersuche allgemein die Funktion fk. Skizziere den Graphen für k=-1 und 1 |
Kann mir da jmd helfen? ich kanns einfach nicht :((((
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 So 10.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Wobei hast du denn genau Probleme? Wie eine normale Kurvenuntersuchung geht, weißt du, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 So 10.09.2006 | | Autor: | essence |
ja ne normale kurvendisskusion kann ich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 10.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Annika
Dann zeige ich dir das Prinzip mal am Beispeil der Extrema:
Es gilt: [mm] f_{k}(x)=2x³ [/mm] -3kx²+k³
Also sind die Ableitungen:
[mm] f_{k}^{'}(x) [/mm] = 6x² - 6kx
und
[mm] f_{k}^{''}(x)= [/mm] 12x - 6k
Fur Extremstellen [mm] x_{e} [/mm] gilt nun:
[mm] 6x_{3}² [/mm] - [mm] 6kx_{e} [/mm] = 0 [mm] \gdw 6x_{e}(x-k) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_{e_{1}} [/mm] = 0, [mm] x_{e_{2}} [/mm] = k
Prüfen wir nun, ob es ein Hoch oder Tiefpunkt wird.
[mm] f_{k}^{''}(k) [/mm] = 12x - 6k = 6k [mm] \begin{cases} >0, \mbox{für } k>0 \\ <0 \mbox{ für } k<0 \end{cases}
[/mm]
[mm] f_{k}^{''}(0) [/mm] = -6k [mm] \begin{cases} <0, \mbox{ für } k>0 \\ >0 \mbox{für } k<0 \end{cases}
[/mm]
Also ist [mm] E_{1} (k;f_{k}(k)) [/mm] = (k;0) ein Tiefpunkt für k > 0 und ein Hochpunkt für k<0, und [mm] E_{2} [/mm] (0;k³) ein Hochpunkt für k>0 und ein TP für k<0.
Die Wendepunkte funktionieren ähnlich.
Und wenn du genau gelesen hast, habe ich dir indirekt auch die erste Nullstelle gegeben, so dass du die Polynomdivision durchführen kannst, um weitere zu bestimmen.
Marius
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Hi,
du kannst ja eine "normale" Kurvediskussion. Bei einem Funktionenschar ändert sich eigentlich nicht viel:
1. Definitionsbereich
2. Ableitungen
3. Symmetrie bestimmen
4. Nullstellen
5. Extremstellen (bei x = 0 V x = k)
6. Wendestellen (bei x = k/2)
Erhälst du in den "Hinreichenden Bedingungnen" in 6. und/oder 7. musst du mit dem "Vorzeichenkriterium" weiterrechnen.
7. Verhalten gegen "unendlich" und "negativ unenedlich"
8. Skizze für k = 1 bzw. k = -1 (hier musst du in die erhaltenen Extrem- und Wendepunkte, die ja von k abhängig sind (s. oben), k = 1 bzw. -1 einsetzen und danach die "neuen" Punkte auf dein Koordinatensystem eintragen.
Naja, das war's dann auch...
Ich hoffe, das bringt dich weiter!
DoktorQuagga
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