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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Sa 25.03.2006 | | Autor: | fyby |
| Aufgabe | 3.0 Gegeben ist nun die abschnittsweise definierte Funktion g : |-> g(x), Dg = R
mit g (x) 1/8(-x³+12x+16) für x < 0
g(x) qx²+rx+s für x >= 0
mit q,r,s elementar R
3.1 Berechnen sie q,r und s so, dass die Funktin g für x0=0 steigt und differenzierbar ist.
3.3 Der Graph Gg schließt mit der x-achse ein im I. und II. Quadranten liegendes Flächenstück ein. Berechnen sie die Maßzahl dieses Flächenstücks.
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ich verstehe nicht was ich genau machen muss...
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Betrachte die beiden Funktionen [mm]u,v[/mm] mit
[mm]u(x) = \frac{1}{8} \left( -x^3 + 12x + 16 \right) \, , \ \ x \in \mathbb{R}[/mm]
[mm]v(x) = qx^2 + rx + s \, , \ \ x \in \mathbb{R}[/mm]
Wie du bemerkst, sind das genau die beiden Teilfunktionen, aus denen sich [mm]g[/mm] zusammensetzt, ausgedehnt auf einen größeren Definitionsbereich. Es gilt daher
[mm]g(x) \ = \ \begin{cases} u(x) & \mbox{für} \ x<0 \\ v(x) & \mbox{für} \ x \geq 0 \end{cases}[/mm]
Damit die Funktion [mm]g[/mm] bei [mm]x_0 = 0[/mm] differenzierbar ist, müssen die beiden Teilgraphen dort glatt ineinander übergehen. Das führt auf zwei Bedingungen,
erstens die Stetigkeitsbedingung:
[mm]u(0) = v(0)[/mm]
Sie garantiert, daß die Graphenstücke ohne Sprung aneinander ansetzen. In der Regel wird allerdings bei der Anschlußstelle ein Knick sein.
zweitens die Differenzierbarkeitsbedingung:
[mm]u'(0) = v'(0)[/mm]
Sie garantiert, daß die Graphenstücke zusätzlich knickfrei, d.h. glatt, aneinander ansetzen.
Mit Hilfe der Bedingungen kannst du [mm]r[/mm] und [mm]s[/mm] eindeutig bestimmen. [mm]q[/mm] ist damit allerdings nicht zu bestimmen und daher frei wählbar.
Möglicherweise findet sich im Aufgabenteil 2, den du uns verschwiegen hast, eine weitere Bedingung, die dann auch noch zu einem eindeutigen Wert für [mm]q[/mm] führt.
Etwas merkwürdig finde ich die Forderung, daß die Funktion bei [mm]x_0 = 0[/mm] steigen soll, weil sich das aufgrund des Verhaltens von [mm]u[/mm] bei [mm]x_0[/mm] von alleine ergibt.
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