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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 So 03.09.2006 | | Autor: | Beliar |
| Aufgabe | Erklärung zu folgender Aufgabe: f(x)= 2x [mm] *e^x
[/mm]
Berechnung der Nullstellen, Extrempunkte, Funktionswerte und Wendepunkte. |
Hallo habe diese Aufgabe hier schon mal gestellt,wurde auch zum Teil beantwortet es gibt aber noch etwas Unklarheit.
Ich fang mal an, die Nst. habe ich so bekommen,
2x * [mm] e^x [/mm] =0 [mm] e^x [/mm] kann nicht Null werden, also
2x = 0 /2 ergibt dann x=0
Extrempunkte:
habe die 1.Ableitung gebildet f'(x)= [mm] 2e^x(x+1)
[/mm]
notwendige Bedindung f'(x)=0 da [mm] 2e^x [/mm] nicht null wird also nur (x+1)=0
kommt -1 raus.
Erste Frage kann man jetzt schon sagen es gibt nur einen Extremwert?
Oder hab ich da etwas falsch gemacht?
Hinreichende Bedingungen: f'(x)=0 f''(x)><0
setze jetzt, weil ich ja nur -1 heraus bekommen habe -1 in f''(x) ein
und bekomme 0,735 als Ergebnis
Bedeutet das jetzt ich habe ein Minimum bei -1 auf der X-Achse oder gibt es etwas was ich übersehen habe?
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Hi,
Du hast [mm] f(x)=2x*e^x.
[/mm]
Nullstellen:
[mm] 2x*e^x=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_0=0
[/mm]
1. Ableitung:
[mm] f'(x)=2*e^x [/mm] (1+x)
Nullstellen d. 1. Ableitung:
[mm] 2*e^x [/mm] (1+x)=0
[mm] \Rightarrow x_1=-1
[/mm]
2. Ableitung:
[mm] f''(x)=2*e^x [/mm] (2+x)
Einsetzen der Nullstelle d. 1. Ableitung:
[mm] \Rightarrow f''(x_1)=\bruch{2}{e}
[/mm]
Was größer Null ist. Also ist bei [mm] x_1=-1 [/mm] ein lokales Minimum.
Du hast also alles richtig gemacht.
Gruß
Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 So 03.09.2006 | | Autor: | Beliar |
Wenn ich jetzt die Funktionswerte ermitteln möchte kann ich doch nur mit -1 arbeiten?
Wäre also f(-1)=2*-1 * e^-1
f(-1)= -0,735
richtig oder?
Wendepunkte:
1.Möglichkeit [mm] f'''(x)\not=0 [/mm] 2.Möglichkeit f'''(x) wechsel Vorzeichen bei Xw
f'''(x)= [mm] 2e^x(x+3)
[/mm]
[mm] f'''(-0,735)\not=2e^-0,735 [/mm] * (-0,735+3)
f'''(-0,735)= 2,172 hoffe das ist richtig?
Aber wie geht der Vorzeichenwechsel????
Brauch da mal etwas Hilfe Danke
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Hi, beliar,
> Wenn ich jetzt die Funktionswerte ermitteln möchte kann ich
> doch nur mit -1 arbeiten?
> Wäre also f(-1)=2*-1 * e^-1
> f(-1)= -0,735
> richtig oder?
> Wendepunkte:
> 1.Möglichkeit [mm]f'''(x)\not=0[/mm] 2.Möglichkeit f'''(x)
> wechsel Vorzeichen bei Xw
Naja: Aber VORHER: f''(x) = 0 setzen!
f''(x) = 0 ergibt: x=-2
> f'''(x)= [mm]2e^x(x+3)[/mm]
> [mm]f'''(-0,735)\not=2e^-0,735[/mm] * (-0,735+3)
Nicht die y-Koordinate des Extrempunktes, sondern die Nullstelle von f''(x) musst Du hier einsetzen:
f'''(-2) = [mm] 2*e^{-2}(-2+3) [/mm] = 0,2707 [mm] \not= [/mm] 0; also Wendestelle bei x=-2
y-Koordinate wieder durch Einsetzen in f(x):
[mm] y_{W} [/mm] = f(-2) = ...
> Aber wie geht der Vorzeichenwechsel????
x=-2 ist EINfache Nullstelle von f''(x), daher Nullstelle MIT Vorzeichenwechsel.
(Anders ausgedrückt: Der Graph von f'' SCHNEIDET die x-Achse bei x=-2; daher liegt bei x=-2 eine Wendestelle der Ausgangsfunktion f vor. Würde der Graph von f'' die x-Achse BERÜHREN ohne sie zu schneiden, hätten wir mit Sicherheit KEINE Wendestelle von f.)
Wenn Du Dir bei dem Vorzeichenwechsel nicht sicher bist, kannst Du mit dem Taschenrechner auch Zahlen in der Nähe von x=-2 in f''(x) einsetzen, etwa x=-2,1 und x=-1,9. Es müssen Ergebnisse mit unterschiedlichem Vorzeichen rauskommen.
mfG!
Zwerglein
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