Kurven in Parameterdarstellung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:09 Mo 21.07.2008 | | Autor: | lisa11 |
Aufgabenstellung wie in den letzen Beiträgen Prameterdarstellung nur jetzt mit Berechnung des Windes und folgenden Angaben
Der Wind hat an Ihrer aktuellen Flugposition t= 0 eine Geschwindigkeit von 18km/h in Richtung der y- Achse und er dreht mit 0.002 rad pro Meter Höhe nach rechts. (das ist 1°pro 10 meter).
Es hat keine Turbulenzen, d.h sie dürfen davon ausgehen, dass die obigen Angaben in einem weiten Bereich konstant sind.
Zusätzliche Angabe ist der Wind dreht mit der Zeit abhängig von der Höhe des Flugzeuges nach rechts. Hier hilft die Parameterdarstellung des Kreises weiter. Weiters hat der Wind die Eigenschaft, dass er mit steigender Höhe nach rechts dreht.
Mein Ansatz :
Ich habe hier zur y- Achse bei der Rechtsdrehung zu den Winkel pi/4 von dem man aus startet 0.002 rad dazugezählt, wobei ich dies in Rad umwandeln sollte, sonst bleibt der Vektor ähnlich wie bei der ersten Teilaufgabe man hat einfach nur die Rechtsdrehung des Windes zu berücksichtigen.
Um die Positon zu bekommen integriere ich den Vektor v(t).
Gruss
e.w.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!
So ganz stimmt das nicht.
Erstmal, der Wind zeigt aktuell in positive y-Richtung, und dreht nach rechts. Dann kannst du gerne aus der Darstellung des Einheitskreises durch Hinzufügen eines Winkeloffsets dafür sorgen, daß bei t=0 ein Vektor in Richtung y-Achse rauskommt. Dieser Offset beträgt aber [mm] \pi/2 [/mm] .
Aber du kannst es auch so machen: [mm] \vektor{\sin(\omega t) \\ \cos(\omega t)}
[/mm]
Dieser Vektor dreht sich links rum, und fängt bei [mm] \vektor{0\\1} [/mm] an.
Das ist schon alles zur zeitlichen Änderung des Windes. Jetzt zur Höhe:
Erstmal ist angegeben, daß sich der Wind mit 0,002rad pro Meter höhe dreht. Da mußt du keinen Winkel umrechnen, das ist doch schon rad! Und dann fehlt da noch die Höhe drin, der Winkel ist also [mm] $\phi=-0.002*z$ [/mm] . Negativ deshalb, weil mit zunehmender Höhe ja eine Rechtsdrehung stattfindet.
Nun mußt du bedenken, daß dieser zusätzliche Drehwinkel doch auf x- und y-Achse einen Einfluß hat. Der muß in das Argument von beiden trig Funktionen mit reinaddiert werden!
Falls du mit einem Ballon fliegst, brauchst du tatsächlich nur über diesen Vektor zu integrieren. Fliegst du in einem Flugzeug, mußt du dessen Geschwindigkeitsvektor ja auch noch berücksichtigen.
Beachte, sobald das Flugobjekt auch Steigt oder sinkt, wird die Sache geringfügig komplizierter, weil dann die Steigrate für das z in der Gleichung auch noch berücksichtigt werden muß.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Mo 21.07.2008 | | Autor: | lisa11 |
Wenn ich dich richtig verstehe, ist die Steigrade das was das Variometer angzeigt dies ist 1.5m/s dies muss man mit -0.002 multiplizieren somit habe ich den Vektor in z-Richtung und beim y Vektor kommt pi/2 dazu somit lautet der Geschwindigkeitsvektor:
[mm] v(t) = \vektor {v*\cos(\omega*t) \\ v*\sin(\omega*t +\pi/2 \\ -0.002*1.5}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Mo 21.07.2008 | | Autor: | lisa11 |
Könnte das jemand ansehen was ich geschrieben habe ob es auch stimmt ich bin mir etwas unsicher!
Gruss e.w.
|
|
|
| |
|
hallo lisa,
Für das reine Kreisen auf konstanter Höhe hatten wir (mit
der ursprünglichen Bedeutung von [mm] \varphi [/mm] !) die
Bewegungsgleichung:
[mm]\vec{v}(t) = \vektor {-v*\sin(\omega*t+\pi/4) \\ v*\cos(\omega*t +\pi/4) \\ 0}[/mm]
Jetzt ohne das Kreisen, also Ballonfahrt:
Ganz ohne Wind, ohne Steigen und Fallen, ist natürlich [mm]\vec{v}_{Ballon}(t) = \vektor {0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Jetzt mit konstantem Südwind [mm] v_{Wind}=5m/s [/mm] und konstantem Steigen mit [mm] v_z=1.5m/s:
[/mm]
[mm]\vec{v}_{Ballon}(t) = \vektor {0 \\ v_{Wind}\\ v_z}[/mm]
Und jetzt soll der Wind mit zunehmender Höhe drehen. Dann wird:
[mm]\vec{v}_{Ballon}(t) = \vektor {v_{Wind}*sin(\blue{-}\Omega*z(t))\\ v_{Wind}*cos(\blue{-}\Omega*z(t))\\ v_z}[/mm]
Dabei ist [mm] \Omega [/mm] die Drehung der Windrichtung pro m Steighöhe, also -0.002.
Wenn man z(t)=1.5 t und die Zahlenwerte von [mm] \Omega [/mm] und [mm] v_{Wind} [/mm] einsetzt hat man dann:
[mm]\vec{v}_{Ballon}(t) = \vektor {5*sin(\blue{+}0.003*t)\\ 5*cos(\blue{+}0.003*t)\\ 1.5}[/mm]
diese Vorzeichen waren vorher falsch !
Für das Mupad-Programm wird es aber sinnvoller sein,
in den Formeln die verschiedenen Parameter als solche
zu belassen ! (das macht das Programm übersichtlicher
und ermöglicht andere Flugbeispiele !)
Ich glaube kaum, dass ihr den winzigen Einfluss, den
das Steigen auf die effektive Fluggeschwindigkeit hat,
wirklich noch korrigieren müsst. So genau, um diesen
Einfluss tatsächlich messen zu können, arbeitet kein
real existierendes Fluggeschwindigkeitsmessgerät.
Gruß al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mo 21.07.2008 | | Autor: | lisa11 |
Ein kleiner Hinweis ich programmiere dies dann in Mupad und stelle es graphisch dar dies sind Vorarbeiten damit ich dies überhaupt als Notebook erstellen kann.
Jetzt habe ich 2 Vektoren Fall ohne Wind und dann Fall mit Wind, nun
sollte ich die Geschwindigkeitsvektoren des Flugzeuges ohne Wind und mit dem Wind (Ballon) addieren und zur Position aufintegrieren, dann steht noch ich sollte beide Male die gleiche Flugbahn erhalten also ist mein
Ansatz:
[mm]\integral_{0}^{125} \vektor{-25*\sin (\omega*t +\pi/4)\\ 25*\ cos(\omega*t +\pi/4)\\0}+ \vektor{5*\sin(-0.002*t)\\5*\cos(-0.002*t)\\1.5 [/mm]
Man muss die Geschwindigkeit über Grund zum Zeitpunkt des Einfluges angeben ist das dies?
http://www.ntb.ch/public/kurven
weitere Teilaufgaben folgen morgen mit Schnittpunkt der Flugbahn mit der CTR
(Controllzone)
lg
e.w.
|
|
|
| |
|
> Ein kleiner Hinweis ich programmiere dies dann in Mupad und
> stelle es graphisch dar dies sind Vorarbeiten damit ich
> dies überhaupt als Notebook erstellen kann.
>
> Jetzt habe ich 2 Vektoren Fall ohne Wind und dann Fall mit
> Wind, nun
> sollte ich die Geschwindigkeitsvektoren des Flugzeuges
> ohne Wind und mit dem Wind (Ballon) addieren und zur
> Position aufintegrieren, dann steht noch ich sollte beide
> Male die gleiche Flugbahn erhalten also ist mein
> Ansatz:
>
> [mm]\integral_{0}^{125} \vektor{-25*\sin (\omega*t +\pi/4)\\ 25*\ cos(\omega*t +\pi/4)\\0}+ \vektor{5*\sin(-0.002*t)\\5*\cos(-0.002*t)\\1.5 [/mm]
>
>
>
> Man muss die Geschwindigkeit über Grund zum Zeitpunkt des
> Einfluges angeben ist das dies?
> http://www.ntb.ch/public/kurven
>
> weitere Teilaufgaben folgen morgen mit Schnittpunkt der
> Flugbahn mit der CTR
> (Controllzone)
>
> lg
> e.w.
>
Welches die beiden alternativen Berechnungsmöglichkeiten
sein sollen, ist mir nicht ganz klar.
Eine Obergrenze für das Integral haben wir bis jetzt nicht,
man kann einfach einmal die Flugbahn durch das Integral:
[mm] \vec{r}(t)=\vektor{x(t)\\y(t)\\z(t)}=\integral_0^t{\vec{v}(t) \ dt}
[/mm]
beschreiben.
Damit lässt sich die Flugbahn graphisch darstellen.
Um den Zeitpunkt des ersten Eindringens in die CTR zu
bestimmen, muss man die kleinste Lösung [mm] t_1 [/mm] der Gleichung
y(t)=1000 berechnen. Erst wenn dieser Zeitpunkt [mm] t_1
[/mm]
bekannt ist, kann man die genauen Flugdaten (genauer
Ort und Geschwindigkeit) für diesen Augenblick berechnen.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mo 21.07.2008 | | Autor: | lisa11 |
Dieser v(t) Vektor welchen ich integiere kann ich diesen den zusammengesetzen Vektor wie oben angegeben gleichsetzen, d.h.
darf ich integieren über Vektor FAll ohne Wind + Vektor Wind alleine?
lg
e.w.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Mo 21.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Dieser v(t) Vektor welchen ich integiere kann ich diesen
> den zusammengesetzen Vektor wie oben angegeben
> gleichsetzen, d.h.
> darf ich integieren über Vektor FAll ohne Wind + Vektor
> Wind alleine?
Meinst du:
[mm]\integral_{0}^{125} \left( \vektor{-25\cdot{}\sin (\omega\cdot{}t +\pi/4)\\ 25\cdot{}\ cos(\omega\cdot{}t +\pi/4)\\0}+ \vektor{5\cdot{}\sin(-0.002\cdot{}t)\\5\cdot{}\cos(-0.002\cdot{}t)\\1.5 }\right) dt=
\integral_{0}^{125} \vektor{-25\cdot{}\sin (\omega\cdot{}t +\pi/4)\\ 25\cdot{}\ cos(\omega\cdot{}t +\pi/4)\\0} dt + \integral_{0}^{125} \vektor{5\cdot{}\sin(-0.002\cdot{}t)\\5\cdot{}\cos(-0.002\cdot{}t)\\1.5}dt [/mm]
Ja, das geht.
Eine Summe im Integral darfst du immer in zwei Integrale zerlegen, solange die beiden Integrale auf der rechten Seite überhaupt existieren.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Ich stimme dem absolut zu, aber die Integrations-Obergrenze 125
macht keinen Sinn. Die müsste vorerst offen bleiben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 21.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
ja, das sind die Wunder von Copy-and-Paste...
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:19 Di 22.07.2008 | | Autor: | lisa11 |
da ich die ersten fünf Minuten darstellen muss ist die kleinste Grenze entweder Null oder 1 ich würde 1 nehmen oder ist Null besser..
also nochmals zusammengefasst ich integiere einen zusammengesetzen Vektor d.h. darf in 2 Mal zerlegen, 2. inegieren und dieses dann zusammen zählen...
gut ich muss mich heute an den schnittpunkt machen...
gruss e.w.
|
|
|
| |
|
Untere Grenze ist 0, siehe weiter unten.
Das Integral darfst du gerne zerlegen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:15 Di 22.07.2008 | | Autor: | lisa11 |
Es heisst stellen Sie dien Flug für die resten fünf Minuten graphisch dar kann ich dann als Integrationsobergrenze für t1 nicht 300 Sekunden nehmen und für t im Vektor ein Intervall von 60...300 angeben?
ich integiere über die Untergrenze 0 bis zur Obergrenze 300 oder gilt dies nur für den Geschwindigkeitsvektor als Intervall?
gruss e.w.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Deine untere Grenze ist 0, denn bei t=0 beginnst du ja deine Reise.
Als Obergrenze setzt du den Zeitpunkt ein, zu dem du die Koordinaten deines Aufenthaltsortes wissen willst.
Setzt du dort 300 ein, bekommst du eben deinen Aufenthaltsort nach 5 Minuten. Da du aber eine Kurve zeichnen willst, setzt du als obere grenze einfach T ein, und rechnest das Integral aus. (Damit man mit der oberen Grenze und dem t im Integranden nicht durcheinander kommt, habe ich jetzt mal ein großes T benutzt...)
Das Ergebnis deiner Integration gibt dir dann deinen Ort zu einem beliebigen Zeitpunkt t. Das heißt, du läßt deinen Rechner danach diese Ergebnis-Formel zeichnen, und zwar für [mm] T\in[0;300]
[/mm]
Ich sehe grade allerdings auch, daß die Geschwindigkeit in km/h gegeben ist. Du mußt dann noch ein wenig mit den Einheiten aufpassen. Entweder rechnest du die 18km/h in m/s um, oder du bleibst bei km/h, dann mußt du als Zeiteinheit allerdings auch Stunden nehmen, und dann wären deine Integrationsgrenzen eben [mm] T\in\left[0;\frac{1}{12}\right] [/mm] .
In den letzten Beiträgen dümpelt übrigens immernoch das [mm] \red{\pi/4} [/mm] rum Es muß aber [mm] \red{\pi/2} [/mm] heißen, denn
[mm] \vektor{\cos(0) \\ \sin(0)}=\vektor{1\\0} [/mm] (Richtung x-Achse)
[mm] \vektor{\cos(\pi/4) \\ \sin(\pi/4)}=\vektor{\frac{\wurzel{2}}{2} \\ \frac{\wurzel{2}}{2}} [/mm] (Richtung 1. Diagonale)
[mm] \vektor{\cos(\pi/2) \\ \sin(\pi/2)}=\vektor{0\\1} [/mm] (Richtung y-Achse)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Di 22.07.2008 | | Autor: | lisa11 |
gut soweit ich das verstehe habe ich dann eine Integrationsformel von:
[mm]\integral_{0}^{t}\vektor{-25*\sin(\omega*t +0)\\25 *\cos(\omega*t +\pi/2)\\0} +\integral_{0}^{t}\vektor{5*\sin(0.002*t)\\5*\cos(0.002*t)\\1.5[/mm]
[mm] t\in\lbrack0...300\rbrack
[/mm]
es muss alles in Meter und Sekunden angegeben werden.
gruss
e.w.
wenn diese Formel stimmt kann ich erst den Schnittpunkt der Flugbahn mit der CTR berechnen.
|
|
|
| |
|
> gut soweit ich das verstehe habe ich dann eine
> Integrationsformel von:
>
>
> [mm]\integral_{0}^{t}\vektor{-25*\sin(\omega*t +0)\\25 *\cos(\omega*t +\pi/2)\\0} +\integral_{0}^{t}\vektor{5*\sin(0.002*t)\\5*\cos(0.002*t)\\1.5[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> [mm]t\in\lbrack0...300\rbrack[/mm]
>
> es muss alles in Meter und Sekunden angegeben werden. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> gruss
> e.w.
siehe die Meldung gleich unten dran !
|
|
|
| |
|
> Ich sehe grade allerdings auch, daß die Geschwindigkeit in
> km/h gegeben ist. Du mußt dann noch ein wenig mit den
> Einheiten aufpassen. Entweder rechnest du die 18km/h in m/s
> um, oder du bleibst bei km/h, dann mußt du als Zeiteinheit
> allerdings auch Stunden nehmen, und dann wären deine
> Integrationsgrenzen eben [mm]T\in\left[0;\frac{1}{12}\right][/mm] .
es ist sehr zu empfehlen, die SI-Einheiten, also m/s zu nehmen
(das Beispiel ist so konstruiert, dass dann alles "schöne" Zahlen gibt)
>
>
> In den letzten Beiträgen dümpelt übrigens immernoch das
> [mm]\red{\pi/4}[/mm] rum Es muß aber [mm]\red{\pi/2}[/mm] heißen
Das [mm]\red{\pi/4}[/mm] war von mir, und ich denke, es ist richtig.
Da zum Zeitpunkt t=0 die Flugrichtung nach NW zeigt, ist der
Geschwindigkeitsvektor dann:
[mm]\ \vec{v}(0)=\vektor{-v*\frac{\wurzel{2}}{2} \\ v*\frac{\wurzel{2}}{2}\\0} =\vektor{-25\cdot{}\sin (\omega\cdot{}0 +\pi/4)\\ 25\cdot{}\cos(\omega\cdot{}0 +\pi/4)\\0}[/mm]
Dies bezieht sich auf das Segelflugzeug, das in ruhiger Atmosphäre
auf konstanter Höhe kreist, wie schon früher angegeben.
Das [mm] \omega [/mm] und die Phasenverschiebung [mm] \pi/4, [/mm] die hier vorkommen,
betreffen also das links herum kreisende Flugzeug.
Für den (mit steigender Höhe) nach rechts, und mit einer
anderen Winkelgeschwindigkeit drehenden Wind benütze
ich nicht nochmals das Symbol [mm] \omega, [/mm] sondern ich habe ein
[mm] \Omega [/mm] definiert:
> Dabei ist [mm] \Omega [/mm] die Drehung der Windrichtung pro m Steighöhe, also -0.002.
etwas geschickter wäre gewesen:
[mm] \Omega [/mm] = Drehung der Windrichtung pro Sekunde Steigflug, also -0.002*1.5=-0.003
Insgesamt komme ich auf den Geschwindigkeitsvektor des (im drehenden Wind)
kreisenden und steigenden Seglers:
[mm]\ \vec{v}(t)= \vektor{-25\cdot{}\sin (\omega\cdot{}t +\pi/4)\\ 25\cdot{}\cos(\omega\cdot{}t +\pi/4)\\0}+ \vektor{5\cdot{}\sin(\blue{+}0.00\red{3}\cdot{}t)\\5\cdot{}\cos(\blue{+}0.00\red{3}\cdot{}t)\\1.5[/mm]
(sorry,hier hatte ich vorher noch falsche Vorzeichen...)
[mm] \omega [/mm] hat dabei den Zahlenwert 0.2 [mm] \left[s^{-1}\right]
[/mm]
Gruß al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Di 22.07.2008 | | Autor: | lisa11 |
danke und diesen Vektor integiere ich über t mit
t Element von 0..300 oder?
d.h untere Grenze 0 und obere Grenze Intervall von 0..300?
gruss
e.w.
|
|
|
| |
|
> danke und diesen Vektor integiere ich über t mit
>
> t Element von 0..300 oder?
>
> d.h untere Grenze 0 und obere Grenze Intervall von 0..300?
>
> gruss
> e.w.
dann bekommst du die Position nach genau 300 s ;
mein Rechner (GTR) liefert dafür: P(485/1106/450), also
schon deutlich ins CTR eingedrungen.
Du kannst aber auch die Obergrenze gleich t setzen
und kannst das Ergebnis als Funktion P(t) abspeichern.
und nun guten Flug !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:24 Di 22.07.2008 | | Autor: | lisa11 |
diese Flugbahn ist also das "zusammengesetzte Integral" mit Obergrenze t da ich die ersten fünf minuten darstelle nehme ich 1 oder darf ich das nicht?
gruss e.w.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Gemach, gemach, es ist bei euch erst früh am Morgen, da sind noch nicht ganz so viele leute unterwegs. Antwort steht weiter oben!
|
|
|
|
