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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Sa 23.01.2010 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Tangenteneinheitsvektor, Länge und Betrag der Krümmung der folgende Kurve.
C: [mm] \vec{r}(t)= \pmat{ t^2 \\ 3t-1 \\ t+1 }, t\in[3,4]
[/mm]
Hinweis: Zur Berechnung der Länge der Kurve bestimmen Sie bitte erst [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{1+t^2} dt} [/mm] |
Ich habe eine Frage zu dem Tangenteneinheitsvektor. Der sieht bei mir jetzt so aus:
[mm] $\vec{r}(t)*\bruch{1}{|\vec{r}(t)|}=\bruch{1}{\wurzel{(2t)^2+3^2+1^2}}*\pmat{ 2t \\ 3 \\ 1 }$ [/mm] über dem r soll eigentlich noch ein Punkt sein, aber ich weiß nicht wie man das eingibt.
Die Frage ist jetzt, ob und wie man das noch weiter zusammenfassen könnte, und ob man irgendwann das angegebene Intervall eingeben muss.
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> Bestimmen Sie den Tangenteneinheitsvektor, Länge und
> Betrag der Krümmung der folgenden Kurve.
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> C: [mm]\vec{r}(t)= \pmat{ t^2 \\ 3t-1 \\ t+1 }, t\in[3,4][/mm]
>
> Hinweis: Zur Berechnung der Länge der Kurve bestimmen Sie
> bitte erst [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{1+t^2} dt}[/mm]
> Ich habe
> eine Frage zu dem Tangenteneinheitsvektor. Der sieht bei
> mir jetzt so aus:
>
> [mm]\vec{r}(t)*\bruch{1}{|\vec{r}(t)|}=\bruch{1}{\wurzel{(2t)^2+3^2+1^2}}*\pmat{ 2t \\ 3 \\ 1 }[/mm]
> über dem r soll eigentlich noch ein Punkt sein, aber ich
> weiß nicht wie man das eingibt.
Statt Ableitungspunkte könntest du natürlich auch
Ableitungsstrichlein benützen: [mm] \vec{r}\,'(t) [/mm]
Wenn du den Punkt haben willst, geht dies mit [mm] $\backslash$dot:
[/mm]
[mm] $\dot{\vec{r}}\,(t)$ [/mm] oder [mm] $\dot{\overrightarrow{r}}\,(t)$
[/mm]
(klick auf die Terme um zu sehen wie man sie eingibt)
> Die Frage ist jetzt, ob und wie man das noch weiter
> zusammenfassen könnte, und ob man irgendwann das
> angegebene Intervall eingeben muss.
1.) Natürlich unter der Wurzel zusammenfassen !
2.) Für die Integration kann man die drei Kompo-
nenten separat behandeln.
3.) Das Integral für die erste Komponente ist durch
eine einfache Substitution zu lösen.
4.) Jene für die anderen Komponenten lassen sich
auf das vorzubereitende Integral zurückführen durch
eine weitere kleine lineare Substitution.
5.) Nach erfolgter Integration natürlich dann die
Grenzen einsetzen, um die Kurvenlänge zu
berechnen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Sa 23.01.2010 | | Autor: | steem |
Irgendwie erkenne ich gerade nicht so recht, wie ich das unter der Wurzel zusammenfassen kann.
So ist es ja nicht mehr das gleiche wie vorher.
[mm] {\wurzel{(2t)^2+10}}
[/mm]
und die Wurzel aus den einzelnen Termen ziehen ist auch nicht drin...
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> Irgendwie erkenne ich gerade nicht so recht, wie ich das
> unter der Wurzel zusammenfassen kann.
>
> So ist es ja nicht mehr das gleiche wie vorher. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> [mm]{\wurzel{(2t)^2+10}}[/mm]
Natürlich ist [mm] ${\wurzel{(2t)^2+3^2+1^1}}\ [/mm] =\ [mm] {\wurzel{(2t)^2+10}}\ [/mm] =\ [mm] {\wurzel{4\,t^2+10}}$
[/mm]
> und die Wurzel aus den einzelnen Termen ziehen ist auch
> nicht drin... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(einige andere hätten dies leider getan ...)
Zu bestimmen ist dann z.B. (für die 3. Komponente)
das Integral:
[mm] $\integral\frac{1}{\wurzel{4\,t^2+10}}\,dt$ [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") siehe KorrekturEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
!
Um dies hinzubekommen, kann man den Radikanden
umformen:
$\ 4\,t^2+10\ =\ 10*\left(1+\frac{4}{10}\,t^2}\right)\ =\ 10*\left(1+{\underbrace{\left(\frac{2}{\sqrt{10}}\,t\right)}_{u}}}^2\right)$
Damit wird
$\frac{1}{\wurzel{4\,t^2+10}}\ =\ \frac{1}{\wurzel{\ 10*\left(1+{\underbrace{\left(\frac{2}{\sqrt{10}}\,t\right)}_{u}}}^2\right)}}\ =\ \frac{1}{\sqrt{10}}*\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$
Für die Integration muss man natürlich auch noch
das Differential transformieren.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 So 24.01.2010 | | Autor: | steem |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke für die Hinweise!
Ich hätte die Kurve irgendwie anders integriert als du.
Weil der Betrag von r wird ja integriert um die Länge zu erhalten.
$ \integral\ |\dot{\vec{r}}\,(t)|\,dt $
also:
$ \integral\ \wurzel{4\,t^2+10}}\,dt $
Weil $ |\dot{\vec{r}}\,(t)| = \wurzel{4\,t^2+10}} $ ist.
Oder ist das falsch?
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> Ich hätte die Kurve irgendwie anders integriert als du.
> Weil der Betrag von r wird ja integriert um die Länge zu
> erhalten.
>
> [mm]\integral\ |\dot{\vec{r}}\,(t)|\,dt[/mm]
>
> also:
>
> [mm]\integral\ \wurzel{4\,t^2+10}}\,dt[/mm]
>
> Weil [mm]|\dot{\vec{r}}\,(t)| = \wurzel{4\,t^2+10}}[/mm] ist.
>
> Oder ist das falsch?
Nein; du hast Recht. Sorry, ich glaub ich habe mich
durch die zwei Teilaufgaben (Tangenteneinheitsvektor,
Kurvenlänge) ein Stück weit verwirren lassen.
Trotzdem sollte dir die angegebene Substitution mit
der Variablen u weiterhelfen !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 So 24.01.2010 | | Autor: | steem |
Hallo Al!
Das ist ja beruhigend :) Dann habe ich bisher noch alles verstanden.
Ja die Substitution mit der Wurzel ist für mich sehr wertvoll! Vielen Dank dafür.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 So 24.01.2010 | | Autor: | steem |
Irgendwie kann ich den Substutionsschritt nicht komplett nachvollziehen.
$ 4 [mm] *t^2+10= [/mm] 10 [mm] \cdot{(1+\frac{4}{10} t^2)} [/mm] $
bis hier hin ist alles klar,
aber dann kommt es mir komisch vor, dass der Term
[mm] \frac{4}{10} t^2 [/mm]
zu [mm] \frac{2}{\sqrt{10}}*t^2 [/mm] wird
$10 [mm] \cdot{\left(1+{\underbrace{\left(\frac{2}{\sqrt{10}}\ t\right)}_{u}}}^2\right) [/mm] $
Eigentlich ist hier ja etwas passiert was man nicht machen sollte, eine Wurzel aus einer Summe in einzelteile zerlegt und seperat gewurzelt.
Ich kann noch nicht genau sehen, ob diese Regel wirklich verletzt wurde, oder ob es vielleicht doch dadurch das eigentlich [mm] \sqrt{10} [/mm] ausgeklammert wurde, bzw. wieder eingeklammert wird, wieder stimmt...
wenn ich das nämlich so schreibe:
[mm] \wurzel{10*(\bruch{4t^2}{10}+1)} [/mm] kann man ohne Probleme zurück multiplizieren.
und hier wäre das nicht mehr ohne weiteres möglich.
[mm] \wurzel{10}\wurzel{(\bruch{4t^2}{10}+1)}
[/mm]
auch wenn man es so schreibt,
[mm] \wurzel{10}\wurzel{(\bruch{4t^2}{\wurzel{10}}+1)}
[/mm]
und jetzt ausmultipliziert hat man die Regel verletzt aus Summen die Wurzeln einzeln zu ziehen, oder nicht?
[mm] \wurzel{(\bruch{4t^2}{\wurzel{10}}+\wurzel{10})}
[/mm]
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> Irgendwie kann ich den Substutionsschritt nicht komplett
> nachvollziehen.
>
> [mm]4 *t^2+10= 10 \cdot{(1+\frac{4}{10} t^2)}[/mm]
>
> bis hier hin ist alles klar,
> aber dann kommt es mir komisch vor, dass der Term
>
> [mm]\frac{4}{10} t^2[/mm]
>
> zu [mm]\frac{2}{\sqrt{10}}*t^2[/mm] wird
Das habe ich auch gar nicht behauptet.
Beachte die Klammern, die ich gesetzt habe !
> [mm]10 \cdot{\left(1+{\underbrace{\left(\frac{2}{\sqrt{10}}\ t\right)}_{u}}}^2\right)[/mm]
u steht für [mm] $\frac{2}{\sqrt{10}}\ [/mm] t$
und [mm] 1+u^2 [/mm] ist also [mm] $1+\left(\frac{2}{\sqrt{10}}\ t\right)^2\ [/mm] =\ [mm] 1+\frac{4}{10}\,t^2$
[/mm]
und somit
$\ [mm] 10*(1+u^2)\ [/mm] =\ [mm] 10*\left(1+\frac{4}{10}\,t^2 \right)\ [/mm] =\ [mm] 10+4\,t^2$
[/mm]
wie es sein soll.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 So 24.01.2010 | | Autor: | steem |
Jetzt ist es mir klar ;) Aber auf sowas würde ich in 10 Jahren nicht von selbst kommen... woher wusstest du so schnell wie man das machen kann?
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