Kurve, Kurvenintegrale,... < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:23 So 19.06.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich habe eine recht allgemeine und vermutlich auch banale Frage.
Mathematisch ist mir klar, was eine Kurve ist.
Was kann ich mir aber zum Beispiel unter einem Kurvenintegral vorstellen?
Noch spezieller:
Bei der Cauchy-Integralformel integriet man über den Rand eines Kreises.
Da hört es bei mir mit der Vorstellung auf.
Kann das jemand mit Leben füllen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:38 So 19.06.2005 | | Autor: | Marc |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hallo $\wurzel{\pi}$!
> Ich habe eine recht allgemeine und vermutlich auch banale
> Frage.
> Mathematisch ist mir klar, was eine Kurve ist.
> Was kann ich mir aber zum Beispiel unter einem
> Kurvenintegral vorstellen?
Eine wirklich geometrische Bedeutung wie im Reellen (etwa "Die (orientierte) Fläche, den ein Graph mit der x-Achse einschließt") gibt es wohl nicht mehr, aber im Komplexen beruht ja eh' alles auf dem Imaginärem 
Das Kurvenintegral ist aber eine ganz natürliche und naheliegende Fortführung der reellen Integration ins Komplexe:
Bekannt ist (für $a,b\in\IR$): $f: [a,b]\to\IR$, $t\mapsto f(t)$ und das Integral $\integral_a^b f(t) dt$
Für eine Funktion $f: [a,b]\to\red{\IC}$, $t\mapsto f(t)$ dann ein Integral als $\integral_a^b f(t) dt:=\integral_a^b \mathrm{Re} f(t) dt+i*\integral_a^b \mathrm{Im} f(t) dt$ zu definieren, ist doch recht naheliegend, denn $\mathrm{Re} f(t)$ und $\mathrm{Im} f(t)$ sind schließlich reellwertige Funktionen.
Nun möchte man gerne nicht nur immer die Funktionswerte entlang der reellen Achse auswerten. Das gelingt, indem man das Interval $[a,b]$ vor Auswertung durch $f$ mitteils einer Kurve $\alpha: [a,b]\to\IC$ nach $\IC$ abbildet. Die erste Idee ist da vielleicht zu definieren $\integral_{\alpha} f dz:=\integral_a^b f(\alpha(t)) dt$, dann ist das Integral aber leider nicht unabhängig davon, wie ("schnell") das Bild $\alpha([a,b])$ der Kurve durchlaufen wird, das kannst du dir an einem ganz einfachen (reellen) Beispiel klar machen:
$a=0, b=1$
$f: \IC\to\IC$, $f(z):=z$ und
$\alpha_1: [a,b]\to\IC$, $\alpha_1(t):=t$
$\alpha_2: [a,b]\to\IC$, $\alpha_2(t):=t^2$
Es gilt: $\alpha_1([a,b])=\alpha_2([a,b])$, beide Kurven haben also dasselbe Bild, durchlaufen es aber mit unterschiedlicher "Geschwindigkeit".
Dann hätten wir einmal
$\integral_{\alpha_1} fdz=\integral_0^1 f(t) dt=\integral_0^1 t dt=\left.\bruch{1}{2}t^2\right|_0^1=\bruch{1}{2}-0=\bruch{1}{2}$
$\integral_{\alpha_2} fdz=\integral_0^1 f(t^2) dt=\integral_0^1 t^2 dt=\left.\bruch{1}{3}t^3\right|_0^1=\bruch{1}{3}-0=\bruch{1}{3}$
Dies kann man durch die Definition
$\integral_{\alpha} f dz:=\integral_a^b f(\alpha(t))\red{*\dot{\alpha}(t)} dt$ (Kurvenintegral)
aber ausgleichen, denn der Faktor $\dot{\alpha}$ berücksichtigt jetzt, wie "schnell" (derselbe Weg!) durchlaufen wird; zur Kontrolle das Beispiel von oben:
$\integral_{\alpha_1} fdz=\integral_0^1 f(t)\red{*1} dt=\integral_0^1 t dt=\left.\bruch{1}{2}t^2\right|_0^1=\bruch{1}{2}-0=\bruch{1}{2}$
$\integral_{\alpha_2} fdz=\integral_0^1 f(t^2)\red{*2t} dt=\integral_0^1 2t^3 dt=\left.\bruch{1}{2}t^4\right|_0^1=\bruch{1}{2}-0=\bruch{1}{2}$
So hat man also erreicht, dass das Kurvenintegral von der Art und Weise des Durchlaufens der Kurve unabhängig ist bzw. dass alle Kurvenintegrale den Wert haben, den sie bei konstantem Durchlaufen mit der Geschwindigkeit $\dot{\alpha}=1$ haben. (Klar ist, dass bei dieser Definition die Kurve stetig differenzierbar sein muss, sonst sind die beteiligten Ausdrück ja nicht definiert. Stückweise stetig differenzierbar reicht übrigens auch.)
> Noch spezieller:
> Bei der Cauchy-Integralformel integriet man über den Rand
> eines Kreises.
> Da hört es bei mir mit der Vorstellung auf.
Die Kreislinie kannst du dir aber noch vorstellen, oder? Sie ist einfach die Kurve (wenn der Kreis den Mittelpunkt 0 hat)
$\alpha: [0,2\pi]\to\IC$, $\alpha(t):=e^{it}$
Ausserdem ist diese Kurve geschlossen, d.h., Anfangs- und Endpunkt sind identisch.
Entlang dieser Kurve wird nun in der Cauchyschen Integralformel --wie oben definiert-- das Integral berechnet.
Bei den Cauchyschen Integralsätzen und -formeln sieht man nun auch den "Sinn" für Kurvenintegrale: Man will für holomorphe $f$ Stammfunktionen $F$ finden, also $F'=f$. Dazu reicht die Integration entlang einer Kurve bereits aus.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 So 19.06.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Marc!
Vielen Dank für Deine spitzen Antwort.
Dadurch ist mir nun einiges klarer geworden.
Falls ich noch ein paar Fragen haben sollte, daf ich auf Dich zuückkommen?
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