Kuratowski-Paare und Tripel < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Mi 16.07.2008 | | Autor: | rainman |
Hallo,
ich kämpfe mit dem Verständnis der Kuratowski-Paaren, bzw. mit der Anwendbarkeit bei Tripeln. Lt. Kuratowski wird ein geordnetes Paar ja durch folgende Menge repräsentiert:
(a,b) = {{a}, {a,b}}
Das leuchtet mir (mitlerweile;)) ein. Angewendet auf ein Trripel soll das aber nun nicht mehr "so einfach" gehen, daher wird ein Tripel (und jedes n-Tupel) in geordnete Paar "zerlegt" (a, (b,c)). Intuitiv hätte ich folgedes erwartet:
(a,b,c) = {{a}, {a,b}, {a,b,c}}
Das Script auf
http://www2.staff.fh-vorarlberg.ac.at/~ku/karl/teaching/Mathematik12.pdf
(S.32, oben) deutet die Korrektheit dieser Überlegung für ein Quadrupel auch an (lässt aber die endgültige Beantwortung meines Erachtens offen). Alle anderen Quellen, die ich im Web gefunden habe, sagen aber dies sei nicht korrekt. Dummerweise ist der Beweis wohl allen zu trivial und wird nie explizit gegeben... Auch mein (sehr lesenswertes) Buch "Einführung in den Mengenlehre" von Oliver Deiser gibt an, dass meine Überlegung falsch ist, liefert aber ebenfalls den Beweis nicht.
Ich habe dann versucht (aufbauend auf diesem Beweis für ein geordnetes Paar http://www.informatik.uni-frankfurt.de/~besser/dl/sem1Kap1A8.pdf ) einen ähnlichen Beweis für ein Tripel zu konstruieren. Das in der Hoffnung, einen Widerspruch herleiten zu können Nun sind meine Beweise eh leider noch so eine Sache für sich (da gibt es noch viel zu tun)... Jedenfalls ist mir ein Widerspruch nicht gelungen, im Gegenteil, demnach würde es gehen. Hier ist der Ansatz:
1. {{x,y,z},{x,y},{x}} = {{x',y',z'},{x',y'},{x'}} => x=x' ^ y=y' ^ z=z'
2. x [mm] \not= [/mm] y => {{x,y,z},{x,y},{x}} = {{x',y',z'},{x',y'},{x'}}
3. {{x,x,x}, {x,x}, {x}} [mm] \not= [/mm] {x}
Beweis:
1.{{x,y,z},{x,y},{x}} = {{x',y',z'},{x',y'},{x'}} => Die Elemente der beiden Mengen sind gleich. Da die Elemente wiederum Mengen sind, können wir sie miteinander vergleichen und feststellen, dass {x,y} [mm] \not= [/mm] {x'} und das {x} [mm] \not= [/mm] {x,y}. Gleiches gilt für die anderen Mengen. Es folgt {x,y,z} = {x',y',z'} und {x,y} = {x',y'} und {x} = {x'}. Da letztere Mengen gleich sind, enthalten sie die selben Elemente und es gilt x = x'. Nun vergleichen wir die mittleren beiden Mengen, und stellen fest, dass schonmal ein Element der beiden Mengen sich gleicht (x bzw. x'). Aus der Gleichheit dieser Mengen folgt y=y'. Das wiederholen wir für die ersten Mengen und können mit gleicher Begründung schließen, dass z=z'.
2.Für x [mm] \not= [/mm] y gilt zwar {x,y,z} = {y,x,z}, aber {x} [mm] \not= [/mm] {y}. Aufgrund dieser Ungleichheit können auch die Mengen {{x,y,z},{x,y},{x}} = {{x',y',z'},{x',y'},{x'}} nicht gleich sein, denn sie enthalten nicht die gleichen Elemente. Gleiches gilt für x [mm] \not= [/mm] z.
3.{{x,x,x},{x,x},{x}} = {{x},{x},{x}} Beschreibung redundant
{{x},{x},{x}} = {{x}} Beschreibung redundant
{{x}} [mm] \not= [/mm] {x} Extensionalitätsprinzip
Als letzen Akt meiner Verzweiflung habe ich ein Tripel einmal examplarisch aufgeführt:
(1,2,3) => {{1}, {1,2}, {1,2,3}}
(1,3,2) => {{1}, {1,3}, {1,2,3}}
(2,1,3) => {{2}, {1,2}, {1,2,3}}
(2,3,1) => {{2}, {2,3}, {1,2,3}}
(3,1,2) => {{3}, {1,3}, {1,2,3}}
(3,2,1) => {{3}, {2,3}, {1,2,3}}
Auch hier ergibt sich immer eine Identität des jeweiligen Tupels.
Frage nun: wo liegt mein Denkfehler? Für Hilfe wäre ich sehr dankbar, da ich ein grundsätzliches Verständnisproblem vermute. Das herauszufinden und zu klären, darum geht es mir eigentlich.
Vielen Dank,
Rainer
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> Hallo,
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> ich kämpfe mit dem Verständnis der Kuratowski-Paaren, bzw.
> mit der Anwendbarkeit bei Tripeln. Lt. Kuratowski wird ein
> geordnetes Paar ja durch folgende Menge repräsentiert:
>
> (a,b) = {{a}, {a,b}}
>
> Das leuchtet mir (mitlerweile;)) ein. Angewendet auf ein
> Trripel soll das aber nun nicht mehr "so einfach" gehen,
> daher wird ein Tripel (und jedes n-Tupel) in geordnete Paar
> "zerlegt" (a, (b,c)). Intuitiv hätte ich folgedes
> erwartet:
>
> (a,b,c) = {{a}, {a,b}, {a,b,c}}
>
Hallo Rainer,
weshalb dies so nicht klappt, siehst du an folgendem Beispiel:
(1,2,1) und (1,1,2) sind offensichtlich unterschiedliche Tripel, da sie in
der Reihenfolge nicht übereinstimmen (verschiedene Punkte im [mm] \IR^3).
[/mm]
Nach der Definition (a,b,c) = {{a}, {a,b}, {a,b,c}} wäre aber:
(1,2,1)={{1},{1,2},{1,2,1}}={{1},{1,2},{1,2}}={{1},{1,2}}
(1,1,2)={{1},{1,1},{1,1,2}}={{1},{1},{1,2}}={{1},{1,2}}
Da das Ergebnis beidemal dasselbe ist, kann also nach dieser
Definition zwischen den Tripeln (1,2,1) und (1,1,2) nicht unterschieden
werden.
Und es ist ja noch schlimmer, weil dann (1,2,1)=(1,1,2)=(1,2) wäre,
d.h. es ist nicht einmal mehr zu erkennen, ob man es mit einem
Tripel oder doch nur mit einem Paar zu tun hatte.
LG al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Mi 16.07.2008 | | Autor: | rainman |
ahhhhh (<in-den-Tisch-beissend/>) den Fall hatte ich natürlich die ganze Zeit nicht beachtet. Klar, nun leuchtet es ein und so ganz falsch habe ich es dann wohl doch nicht verstanden ("nur" falsch ausgeführt). Vielen Dank für die super-schnelle Hilfe.
Bleibt noch eine Frage, wenn es nicht zu unverschämt ist: kannst Du mir auch noch mit dem formalen Beweis dazu helfen? Da ich da ohnehin immer noch Probleme habe, wäre das nützlich für mich. Geholfen ist mir aber auf alle Fälle!
Nochmals Danke,
Rainer
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hallo Rainer,
ich denke mal, dass dies wohl ein Fall für vollständige Induktion ist.
Überleg dir konkret vielleicht einmal den Schritt von Tripeln zu Quadrupeln:
Warum können auch Quadrupel aus der Kuratowski-Schreibweise eindeutig
rekonstruiert werden, wenn es für alle Tripel möglich ist ?
al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:40 Mi 16.07.2008 | | Autor: | rainman |
Ich muss leider gleich weg, daher zumindest mal ein Zwischenstand. Ich hatte mich schon vor Deiner Antwort auf einen Weg begeben, den werde ich jetzt zunächst verfolgen.
Ich habe festegestellt, dass es von grundsätzlicher Bedeutung ist, dass beim geordneten Paar genau eine einelementige und eine zweielementige Menge existieren. Aufgrund der Konstruktion muss die zweielementige Menge entweder aus zwei verschiedenen Elementen bestehen, oder aber sie ist einelementig. Einelementig kann sie aber nur sein, wenn x = y ist (denn sonst könnte ich ja nicht die beiden Elemente zu einem "zusammenstreichen"). Wenn aber x = y ist, dann kann ich x und y auch im geordneten Paar vertauschen, und erhalte dennoch immer das gleiche geordnete Paar.
Bei einem n-Tupel (mit n>2) sieht die Welt aber gänzlich anders aus. Nun können durchaus Mengen auftreten, in denen das gleiche Element mehrfach auftritt und zwar ohne das "notwendigerweise die Elemente im n-Tupel zwinged gleich sein müssen". Betrachte ich das geordnete Paar also als Menge von geordneten Paaren, so werden einige geordnete Paare schlicht in einfache Mengen überführt (in denen die Ordnung irrelevant ist). Daher wird es möglich, dass einige der geordneten Paare auf identische Mengen abgebildet werden.
Eine bijektive Abbildung des zugrundeliegenden n-Tupels auf die Mengen ist damit nicht mehr möglich.
Das Ganze klingt bestimmt noch recht verworren und ich muss es noch vernünftig formulieren. Aber ich denke, ich bin auf dem richtigen Weg... - oder? ;)
Ich habe noch ein paar Beispiele zur Verdeutlichung "gerechnet", die ich hier nicht vorenthalten möchte:
(1,2,3,2) => {{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,2}} = {{1},{1,2},{1,2,3}}
(1,2,2,3) => {{1},{1,2},{1,2,2}{1,2,2,3}} = {{1},{1,2},{1,2,3}}
(1,2,3,4) => {{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4}} = {{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4}}
(1,3,2,4) => {{1},{1,3},{1,3,2},{1,3,2,4}} = {{1},{1,3},{1,2,3},{1,2,3,4}}
(1,2,2,4) => {{1},{1,2},{1,2,2},{1,2,2,4}} = {{1},{1,2},{1,2},{1,2,4}} = {{1},{1,2},{1,2,4}}
(1,1,2,4) => {{1},{1,1},{1,1,2},{1,1,2,4}} = {{1},{1},{1,2},{1,2,4}} = {{1},{1,2},{1,2,4}}
Nochmals vielen Dank,
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 24.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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