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| Aufgabe | Gegeben ist die Kugel (x-2)²+(y+1)²+(z-4)²=36
und die Geradenschar [mm] \vektor{1\\ t\\12}+\gamma \vektor{1\\ 0\\2}
[/mm]
Ermittel den Parameter t so, dass die Gerade g(t) die Tangente an der Kugel ist. |
Ich habe ganz allgemein, die Kugel und die Gerade g(t) gleichgesetzt. Habe das gleichungssystem bist [mm] \gamma²+6\gamma+1/5t²+2/5t= [/mm] -31/5 aufgelöst. hab ich irgendeinen fehler oder gibt es nen ganz anderen ansatz
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> Gegeben ist die Kugel (x-2)²+(y+1)²+(z-4)²=36
> und die Geradenschar [mm]\vektor{1\\ t\\12}+\gamma \vektor{1\\ 0\\2}[/mm]
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> Ermittel den Parameter t so, dass die Gerade g(t) die
> Tangente an der Kugel ist.
> Ich habe ganz allgemein, die Kugel und die Gerade g(t)
> gleichgesetzt.
Geht ja nicht. Aber Du kannst sagen, dass Du ein Gleichungssystem für einen (zunächst einmal hypothetischen) Schnittpunkt $S(x|y|z)$ von Kugel und Gerade aufgestellt hast.
> Habe das gleichungssystem bist
> [mm]\gamma²+6\gamma+1/5t²+2/5t=[/mm] -31/5 aufgelöst. hab ich
> irgendeinen fehler oder gibt es nen ganz anderen ansatz
Du schreibst zwar, was Du gerechnet hast, aber nicht wirklich, was denn nun "Dein Ansatz" bei dieser Rechnerei war. Du hättest z.B. zuallererst einmal schreiben können, dass Du den Wert von $t$ so bestimmen willst, dass die Schnittgleichung genau eine Lösung hat (den Parameterwert für den einen gemeinsamen Punkt der Tangente $g(t)$ mit der Kugel, d.h. deren Berührpunkt). Da sich die Variablen $x,y,z$ eliminieren lassen, wird neben dem Parameter der Geraden [mm] $\gamma$ [/mm] nur noch der Parameter $t$ in einer bezüglich [mm] $\gamma$ [/mm] quadratischen Gleichung auftreten. Diese quadratische Gleichung hat bekanntlich genau dann nur eine Lösung, wenn deren Diskriminante $=0$ ist.
Wenn ich nun also in der Kugelgleichung [mm] $x=1+\gamma$, [/mm] $y=t$ und [mm] $z=12+2\gamma$ [/mm] einsetze und ausmultipliziere, dann erhalte ich
[mm]5\gamma^2+30\gamma+t^2+2t+66=36[/mm]
Wenn wir nun alles auf die linke Seite schaffen, erhalten wir also die gewünschte quadratische Gleichung für [mm] $\gamma$ [/mm] in der 'allgemeinen Form':
[mm]5\gamma^2+30\gamma+t^2+2t+30=0[/mm]
Bem: Wie Du siehst, haben wir einen kleinen Unterschied in unseren beiden quadratischen Gleichungen. Es ist möglich, dass meine Gleichung falsch ist - aber schau doch bitte nochmals genau hin, ob der Fehler nicht vielleicht wider Erwarten doch auf Deiner Seite zu suchen ist.
Zu bestimmen ist nun $t$ so, dass die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung $=0$ wird. Also rechne diesen Weg doch mal fertig (nachdem Du die Richtigkeit Deiner quadratischen Gleichung für [mm] $\gamma$ [/mm] mit Parameter $t$ überprüft hast).
Zu anderen Lösungswegen: Im Augenblick fällt mir nur gerade ein, dass man auch den Abstand des Mittelpunktes von der Geraden $g(t)$ gleich dem Kugelradius $r=6$ setzen könnte. Und wie berechnet man den Abstand des Punktes im Raum von einer Geraden? Zum Beispiel kann man dies mit Hilfe des Vektorproduktes machen: Abstand des Kugelmittelpunktes von $g(t)$ ist gleich dem Betrag des Vektorproduktes von Richtungsvektor von $g(t)$ und Vektor vom Trägerpunkt von $g(t)$ zum Kugelmittelpunkt dividiert durch den Betrag des Richtungsvektors von $g(t)$: also gleich dem Betrag des Vektorproduktes von normiertem Richtungsvektor von $g(t)$ und Vektor von Trägerpunkt von $g(t)$ zu Kugelmittelpunkt.
Daraus erhält man wiederum eine Gleichung für den gesuchten Parameterwert $t$ für den Fall, dass $g(t)$ eine Tangente der Kugel ist.
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Schon mal vielen dank... ich meine ich habe richtig gerechnet. Hast du bei (t+1)² = t²+2t+1 raus? ich mein du hast da die 1 nicht berücksichtigt. ich habe trotzdem keine ahnung, wie ich nach t auflöse. das war auch so ein problem von mir. danke schonmal
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> Schon mal vielen dank... ich meine ich habe richtig
> gerechnet. Hast du bei (t+1)² = t²+2t+1 raus? ich mein du
> hast da die 1 nicht berücksichtigt.
Schau, ich rechne es nochmals vor, in kleineren Schritten:
[mm]\begin{array}{rcll}
(x-2)^2+(y+1)^2+(z-4)^2 &=& 36 &|\; \text{$x=1+\gamma$, $y=t$, $z=12+2\gamma$ einsetzen}\\
(\gamma-1)^2+(t+1)^2+(8+2\gamma)^2 &=& 36 &|\; \text{ausmultiplizieren}\\
\gamma^2-2\gamma+1\; +\; t^2+2t+1\;+\; 64+32\gamma+4\gamma^2 &=& 36 &|\; \text{einsammeln}\\
5\gamma^2+30\gamma+t^2+2t+66 &=& 36 &|\; -36\\
\blue{5\gamma^2+30\gamma+t^2+2t+30} &\blue{=}& \blue{0}
\end{array}[/mm]
Wie Du siehst, erhalte ich sturer Kerl noch immer das selbe wie zuvor.
Nun müsste man also den Wert von $t$ so wählen, dass diese quadratische Gleichung für [mm] $\gamma$ [/mm] nur eine einzige Lösung hat. Ist [mm] $a\gamma^2+b\gamma+c=0$ [/mm] die Gleichung, dann muss also für die von $t$ abhängige Diskriminante $D(t)$ der Gleichung gelten
[mm]D(t) = b^2-4ac = 0[/mm]
Wenn ich die Koeffizienten [mm] $a=5,b=30,c=t^2+2t+30$ [/mm] aus meiner quadratischen Gleichung bezüglich [mm] $\gamma$ [/mm] einsetze, erhalten ich eine quadratische Gleichung für $t$ mit den beiden Lösungen [mm] $t_1=3$ [/mm] und [mm] $t_2=-5$. [/mm] Immerhin ganze Zahlen, was ja gewiss nicht unbedingt zu erwarten ist (vor allem nicht, wenn man irgendwo einen zufälligen Rechenfehler einbaut): also einigermassen ermutigendes Ergebnis.
Nachtrag: Natürlich kannst Du die quadratische Gleichung auch auf Normalform [mm] $\gamma^2+p\gamma+q=0$ [/mm] bringen. In diesem Falle ist die Diskriminante [mm] $D(t)=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$. [/mm] Du würdest also $t$ aus der Bedingung [mm] $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q=0$ [/mm] bestimmen.
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dankeschön;) war nicht böse gemeint. hab mich nur vertan und war mir halt sehr sicher. Hab noch teilergebnisse aus der aufgabe davor falsch abgeschrieben...
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