Kugelgleichung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mi 02.01.2013 | | Autor: | ivan19 |
| Aufgabe | Wie ermittelt man die Gleichung einer Kugel, wenn
1) der Radius, ein Punkt und die Tangentialebene diesem Punkt
2) der Mittelpunkt und eine Tangentialebene
gegeben sind? |
Hallo!
Ich soll das jemandem in der Nachhilfe erklären, ich komm aber grad selbst nicht auf die Lösung.
Danke für die Antworten!
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Hallo ivan,
> Wie ermittelt man die Gleichung einer Kugel, wenn
> 1) der Radius, ein Punkt und die Tangentialebene diesem
> Punkt
Stelle den Normalenvektor auf. Dann kannst du durch den Punkt eine Gerade aufstellen, die senkrecht auf der Ebene steht. Suche nun die Punkte auf der Geraden, sodass der Abstand von dem gesuchten Punkt und dem Punkt auf der Ebene gleich dem Radius ist. Damit hat man den Mittelpunkt und den Radius - also alles, was man braucht.
Achtung: Es gibt zwei mögliche Kugeln.
> 2) der Mittelpunkt und eine Tangentialebene
Stelle die Gerade senkrecht zur Ebene auf. Also erneut den Normalenvektor berechnen und dann den Durchstoßpunkt zu der Ebene finden. Berechne dann wieder den Abstand (Länge) von Mittelpunkt und Durchstoßpunkt der Geraden. Damit hast du den Radius und den Mittelpunkt als notwendige Größen ermittelt.
> gegeben sind?
> Hallo!
> Ich soll das jemandem in der Nachhilfe erklären, ich komm
> aber grad selbst nicht auf die Lösung.
> Danke für die Antworten!
Die allgemeine Gleichung im dreidimensionalen Raum für die Kugel ist
[mm] (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2
[/mm]
Dabei bezeichnet [mm] (x_0,\ y_0,\ z_0) [/mm] den Kreismittelpunkt und $r$ den Radius.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mi 02.01.2013 | | Autor: | ivan19 |
Ok danke. Noch eine Frage zu 1: Wie bestimmt man die zur Ebene senkrechte Gerade? Wenn ich die Ebene 2x+2y+z=26 hab und den Punkt P=(4/6/6). Dann ist der Normalenvektor doch (2/2/1) oder? Und dann=
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Hallo ivan,
> Ok danke. Noch eine Frage zu 1: Wie bestimmt man die zur
> Ebene senkrechte Gerade? Wenn ich die Ebene 2x+2y+z=26 hab
> und den Punkt P=(4/6/6). Dann ist der Normalenvektor doch
> (2/2/1) oder? Und dann=
Das ist richtig.
Die Geradengleichung ist dann
[mm] \vec{x}=\vektor{4\\6\\6}+t\vektor{2\\2\\1}, t\in\IR
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Mi 02.01.2013 | | Autor: | ivan19 |
Ah ok, dann war ich soweit richtig unterwegs.  Wie mach ich jetzt weiter? Sorr, aber ich blick grad nicht durch...
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Hi noch einmal,
> Ah ok, dann war ich soweit richtig unterwegs. Wie mach
> ich jetzt weiter? Sorr, aber ich blick grad nicht durch...
Alle Punkte auf der Geraden lassen sich nun schreiben als:
$G=(4+2t|\ 6+2t|\ 6+t)$
Bestimme nun t so, dass der Abstand von $P=(4|\ 6|\ 6)$ und $G=(4+2t|\ 6+2t|\ 6+t)$ dem Radius entspricht. Das heißt also: Bestimme die notwendige Länge des Normalenvektors um den Kugelmittelpunkt zu bestimmen.
$|(G-P)|=r$
Dies führt auf eine quadratische Gleichung, die in der Regel zwei (!) Lösungen besitzt. => Es gibt zwei Kugeln, wie anfangs bereits erwähnt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Mi 02.01.2013 | | Autor: | ivan19 |
Super, dankeschön
schönen Abend noch!
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