Kugel und Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
also ich habe folgende Aufgabe und komm irgendwie nicht auf eine Antwort. Wäre nett wenn ihr mir weiterhelfen würdet:
1) Es sei eine Kugel K, die alle Koordinatenebenen und die Ebene E: 2x + y - 2z = 5 berührt. Begründen Sie, dass M(r|r|-r) als Kugelmittelpunkt gewählt werden kann.
chris
----
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Di 12.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> also ich habe folgende Aufgabe und komm irgendwie nicht auf
> eine Antwort. Wäre nett wenn ihr mir weiterhelfen würdet:
>
> 1) Es sei eine Kugel K, die alle Koordinatenebenen und die
> Ebene E: 2x + y - 2z = 5 berührt. Begründen Sie, dass
> M(r|r|-r) als Kugelmittelpunkt gewählt werden kann.
Der Mittelpunkt einer Kugel hat von JEDEM Kugelpunkt der Abstand r -also auch von den drei beschriebenen Berührungspunkten. Wird eine Kugel von einer Ebene berührt, so steht der Berührungsradius senkrecht auf dieser Ebene. Also stehen die drei Verbindungen von M zu den Berührungspunkten senkrecht auf den Koordinatenebenen, sodass alle drei Koordinaten von M den Betrag r haben.
Für einen Radius r gibt es hier 8 mögliche Lagen des Mittelpunkts:
(r,r,r), (r,r,-r), (r,-r,r), (-r,r,r), (-r,-r,r), (-r,r,-r), (r,-r,-r), (-r,-r,-r), da der Kreis in jedem der 8 Oktanten des räumlichen Koordinatensystems liegen kann.
Du musst nur noch zeigen, dass wenigstens ein Stück der Ebene E im selben Oktanten liegt (x,y positiv, z negativ). Es ist nicht unbedingt erforderlich, den Berührungspunkt mit der Ebene anzugeben. Stelle dir einfach vor, die Kugel ist ein winziger Luftballon, der in der Zimmerecke liegt. Je mehr du ihn aufbläst, um so größer wird er und wird irgendwann eine beliebige Ebene berühren, die durch dein Zimmer verläuft.
>
> chris
>
> ----
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
dankeschön für die erläuterung!!
|
|
|
| |
|
Ich hab leider noch eine Frage! :S
wenn ich die genaueren Koordinaten für den Kreismittelpunkt berechnen möchte, müsste ich doch vom Ursprung die Senkrechte zur Ebene ermitteln und davon die Hälfte der Strecke nehmen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Di 12.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Ich hab leider noch eine Frage! :S
>
> wenn ich die genaueren Koordinaten für den Kreismittelpunkt
> berechnen möchte, müsste ich doch vom Ursprung die
> Senkrechte zur Ebene ermitteln und davon die Hälfte der
> Strecke nehmen oder?
Nein.Der Ursprung ist ja selbst kein Punkt der Kugel. (Außerdem liegen Ursprung, M und der Ebenenberührungspunkt in der Regel nichr auf einer Linie.
Der Kugelmittelpunkt (r|r|-r) liegt auf einer Geraden, die vom Ursprung durch den Punkt (1|1|-1) geht.
Also: [mm] \overrightarrow{OM}=r*\vektor{1 \\1\\-1}. [/mm]
Von jedem beliebigen Punkt dieser Geraden musst du seinen Abstand zr Ebere E (natürlich in Abh. von r) ermitteln und dann denjenigen Wert r ermitteln, für den dieser Abstand eben gleich r ist.
Obwohl: enfacher ist es, den Normalenvektor der Ebene zu ermitteln. Der steht ha senkrecht auf der Ebene (genau wie der Berührungsradius, wenn die Kugel die Ebene berührt. Setze einfach diesen Normalenvektor im Punkt M an und kürze/verlängere ihn so, dass sein Betrag gerade r ist. Dann hast du den Berührungspunkt.
Denke daran, dass du den Normalenvektor in zwei entgegengesetzte Richtungen antragen kannst. Es gibt zwei solche Berührungskugeln.
|
|
|
|
