Kugel konstruieren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mi 30.09.2009 | | Autor: | sunny9 |
| Aufgabe | | Auf einer Kugel liegen die Punkte A(0/0/0), B(6/0/0) und C(0/6/0). Die Kugel berührt die Gerade durch die Punkte P(0/0/10) und Q(5/0/15). Zeigen Sie, dass der Mittelpunkt der Kugel die Form [mm] M(3/3/m_3) [/mm] hat. Geben Sie eine Gleichung der Kugel an. |
Hallo,
ich wollte grade als Vorbereitung auf eine Klausur nächste Woche eine Aufgabe lösen, komme aber jetzt nicht weiter. Vielleicht versteht jemand ja mehr als ich... Die Lösung kenne ich: [mm] m_3=-13 [/mm] +/- [mm] 8\wurzel{5}
[/mm]
Meine Überlegung war nun, dass ich die Gerade gebildet habe:
[mm] g:\vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}.
[/mm]
In die Kugelgleichung: [mm] (x-3)^2+(y-3)^2+(z-m_3)^2=r^2
[/mm]
setze ich die Punkte ein und komme immer auf:
[mm] r^2= 18+(m_3)^2
[/mm]
Außerdem habe ich die Gerade auch noch eingesetzt in die Kugelgleichung, da sie ja einen gemeinsamen Punkt haben müssen: [mm] (5t-3)^2+9+(10+5t-m_3)^2=r^2
[/mm]
Ja, und jetzt fällt mir nicht ein, wie ich weiter vorgehen muss, ich habe schon alles mögliche ausprobiert, aber ich kam nie zu einer sinnvollen Lösung.
Vielen Dank schon mal für die Hilfe.
Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Mi 30.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Auf einer Kugel liegen die Punkte A(0/0/0), B(6/0/0) und
> C(0/6/0). Die Kugel berührt die Gerade durch die Punkte
> P(0/0/10) und Q(5/0/15). Zeigen Sie, dass der Mittelpunkt
> der Kugel die Form [mm]M(3/3/m_3)[/mm] hat. Geben Sie eine Gleichung
> der Kugel an.
> Hallo,
>
> ich wollte grade als Vorbereitung auf eine Klausur nächste
> Woche eine Aufgabe lösen, komme aber jetzt nicht weiter.
> Vielleicht versteht jemand ja mehr als ich... Die Lösung
> kenne ich: [mm]m_3=-13[/mm] +/- [mm]8\wurzel{5}[/mm]
>
> Meine Überlegung war nun, dass ich die Gerade gebildet
> habe:
> [mm]g:\vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}.[/mm]
>
> In die Kugelgleichung: [mm](x-3)^2+(y-3)^2+(z-m_3)^2=r^2[/mm]
> setze ich die Punkte ein und komme immer auf:
> [mm]r^2= 18+(m_3)^2[/mm]
> Außerdem habe ich die Gerade auch noch
> eingesetzt in die Kugelgleichung, da sie ja einen
> gemeinsamen Punkt haben müssen:
> [mm](5t-3)^2+9+(10+5t-m_3)^2=r^2[/mm]
>
> Ja, und jetzt fällt mir nicht ein, wie ich weiter vorgehen
> muss, ich habe schon alles mögliche ausprobiert, aber ich
> kam nie zu einer sinnvollen Lösung.
Hallo,
wenn A, B und C auf der Kugel mit dem Mittelpunkt M liegen, dann liegt auch der Umkreis des Dreiecks auf der Kugeloberfläche. Mittelpunkt dieses Umkreises sei D.
Die Strecke DM steht senkrecht auf der Ebene des Umkreises, es gilt [mm] r^2=(DM)^2+(DA)^2,
[/mm]
wobei [mm] DA=DB=DC=3\wurzel2 [/mm] gilt (denn das Dreieck ABC ist gleichschenklig-rechtwinklig, also ist D der Mittelpunkt von BC).
Gruß Abakus
> Vielen Dank schon mal für die Hilfe.
> Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Do 01.10.2009 | | Autor: | sunny9 |
Vielen Dank schon mal, aber ich habe noch eine Frage.
Woher weiß ich, dass das ein rechtwinkliges-gleichschenkliges Dreieck ist? Und wie kann ich das beweisen?
Vielen Dank nochmal und viele Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo sunny9,
> Vielen Dank schon mal, aber ich habe noch eine Frage.
> Woher weiß ich, dass das ein
> rechtwinkliges-gleichschenkliges Dreieck ist? Und wie kann
> ich das beweisen?
Zeige zunächst, daß 2 der drei Seiten des Dreieecks gleiche Länge haben.
Danach mußt Du zeigen, daß die den Seiten zugeordneten Vektoren
aufeinander senkrecht stehen,
d.h. das Skalarprodukt dieser Vektoren muß 0 ergeben.
> Vielen Dank nochmal und viele Grüße
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Do 01.10.2009 | | Autor: | sunny9 |
Vielen Dank.
Jetzt ist mir alles klar!
Viele Grüße
|
|
|
|
